ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ
ХАНТЫ – МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА – ЮГРЫ
Б Ю Д Ж Е Т Н О Е У Ч Р Е Ж Д Е Н И Е
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА - ЮГРЫ
«Ю Г О Р С К И Й П О Л И Т Е Х Н И Ч Е С К И Й К О Л Л Е Д Ж»
Методические указания и контрольные задания
По учебной общеобразовательной дисциплине
основной профессиональной образовательной программы подготовки специалистов среднего звена
специальность 13.02.11 «Техническая эксплуатация и обслуживание
электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)»
для обучающихся заочной формы обучения
|
ОДОБРЕНА методическим объединением общеобразовательных дисциплин
Протокол № _1_ От «_31_»__августа_2020г.
Председатель _____/Горбунова Н.В./
|
Методические указания разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования, Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и Рабочей программы общеобразовательной учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для специальности 13.02.11 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)» Заместитель директора по учебной работе
________________ /Крицына И.А./
|
Разработчик: Исламшина Н.С., преподаватель БУ «Югорский политехнический колледж» высшей квалификационной категории
СОДЕРЖАНИЕ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА............................................... 3
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ............................................................ 7
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ..................................................... 10
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.......................................................................... 15
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА................................................................. 46
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» (далее «Математика») предназначены для студентов заочной формы обучения, получающих среднее общее образование в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы СПО (ОПОП СПО) на базе основного общего образования по специальности 13.02.11 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)»
Содержание дисциплины «Математика» направлено на достижение следующих целей:
- обеспечения сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;
- обеспечения сформированности логического, алгоритмического и
математического мышления;
- обеспечения сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;
- обеспечения сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
Освоение содержания учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:
личностных:
- сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
- понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
- готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной
профессиональной и общественной деятельности;
- готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
- отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем; метапредметных:
- умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
- умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
- владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
- готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
- владение языковыми средствами – умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
- владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения;
- целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира; предметных:
- сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
- сформированность представлений о математикеческих понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
- владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
- владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
- сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;
- владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
- сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
- владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен обладать общими компетенциями, включающими в себя способность:
ОК 1 Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности применительно к различным контекстам.
ОК 2 Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности.
ОК 3 Планировать и реализовывать собственное профессиональное и личностное развитие.
ОК 4 Работать в коллективе взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами.
ОК 5 Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке Российской Федерации с учетом особенностей социального и культурного контекста.
ОК 6 Проявлять гражданско-патриотическую демонстрировать осознанное поведение на основе традиционных общечеловеческих ценностей.
ОК 7 Содействовать сохранению окружающей ресурсосбережению, эффективно действовать в чрезвычайных ситуациях.
OK 9 Использовать информационные технологии профессиональной деятельности.
Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении домашней контрольной работы по дисциплине «Математика». Настоящие методические указания содержат общие рекомендации студентам – заочникам по работе над курсом математики, контрольные задания по математике, которые позволят студентам закрепить теорию по наиболее сложным разделам курса.
НАД КУРСОМ «МАТЕМАТИКА»
Формой обучения студента – заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит их следующих элементов: изучение теоретического материала, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В процессе самостоятельной работы студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. В помощь заочникам организуются чтение лекций, практические занятия. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача семестрового экзамена в соответствии с учебным планом по специальности.
Изучение теоретического материала осуществляется на портале дистанционного обучения колледжа http://yupkdo.ru/course/view.php?id=438 .
При самостоятельном изучении материала полезно вести конспект. В конспект по мере проработки материала рекомендуется вписывать определения, теоремы, формулы, уравнения и примеры решения задач. Поля конспектов могут послужить для выделения тех вопросов, на которые необходимо получить письменную или устную консультации. Ведение конспекта должно быть аккуратным, расположение текста хорошо продуманным. Конспект поможет в подготовке к теоретической части экзамена.
После изучения теоретического материала необходимо пройти тест по данному разделу. После этого можно переходить к изучению следующего раздела.
При изучении теоретического материала или при решении задач у студента могут возникнуть вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается. В такой ситуации студенту следует обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. При этом необходимо точно указать вопрос, учебник и место в учебнике, где рассмотрен затрудняющий студента вопрос. Если непреодолимые затруднения возникли при решении задачи, то следует указать характер затруднения, привести план решения.
В процессе изучения курса студент должен выполнить одну контрольную работу, которая проходит рецензирование. По полученным результатам студент может сделать выводы о степени усвоения им соответствующего раздела курса, внести коррективы в процесс последующей самостоятельной работы по изучению теоретического материала.
К выполнению контрольной работы следует приступать после тщательного разбора имеющихся в учебнике, видеоуроках, сборниках задач решений с ответами. В дополнение к предложенным задачам сборников в данном пособии рассмотрены некоторые примеры.
Контрольные работы должны выполняться самостоятельно, так как в противном случае рецензирование работы как диалог общения преподавателя – рецензента и студента с целью оказания последнему методической помощи не достигнет цели.
Прорецензированные и зачтенные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять, поскольку без их предъявления студент не допускается к сдаче экзамена.
При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться
следующими указаниями:
1. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку, на титульном листе которой должны быть написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, курс, специальность.
2. Задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи надо полностью переписать ее условие.
3. Ход решения каждой задачи студент обязан оформить аккуратно, в полном соответствии с порядком решения типичной задачи, приведенной в данных методических указаниях.
4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба.
5. На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.
6. Контрольная работа выполняется самостоятельно.
7. В случае незачета по контрольной работе студент обязан в кратчайший срок исправить все отмеченные ошибки и предоставить работу на повторную проверку.
8. Студент выполняет тот вариант, который совпадает с порядковым номером в списке группы.
Во время экзаменационных сессий для студентов - заочников читаются лекции, проводятся занятия. На лекциях и практических занятиях проводится обзор наиболее важных разделов курса, могут рассматриваться отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освященные в рекомендуемых учебных пособиях.
Экзамен проводится в письменной форме. Студенту предстоит ответить на вопросы экзаменационного билета. Как правило, экзаменационный билет содержит один теоретический вопрос и три практических задания. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела: решение задач должно выполняться без ошибок и уверенно. Только при выполнении этих условий знания студента могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявленными программой.
Содержание учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
Введение
Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.
АЛГЕБРА
Развитие понятия о числе
Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления. Комплексные числа.
Корни, степени и логарифмы
Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.
Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.
Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений.
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Основные понятия
Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.
Основные тригонометрические тождества.
Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения Формулы половинного угла.
Преобразования простейших тригонометрических выражений.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
Тригонометрические уравнения и неравенства.
Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.
Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.
ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.
Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.
Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.
Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.
Определения функций, их свойства и графики.
Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.
Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций.
Применение производной к исследованию функций и построению графиков.
Производные обратной функции и композиции функции.
Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, её геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.
Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.
Примеры применения интеграла в физике и геометрии.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.
Равносильность уравнений, неравенств, систем.
Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).
Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.
Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.
Прикладные задачи. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
Элементы комбинаторики
Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементы теории вероятностей
Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.
Элементы математической статистики
Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики.
Решение практических задач с применением вероятностных методов.
Прикладные задачи. Представление числовых данных. Прикладные задачи.
ГЕОМЕТРИЯ
Прямые и плоскости в пространстве
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол.
Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.
Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.
Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.
Многогранники
Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы.
Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.
Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.
Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.
Сечения куба, призмы и пирамиды.
Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).
Тела и поверхности вращения
Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию.
Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.
Измерения в геометрии
Объем и его измерение. Интегральная формула объема.
Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамида и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.
Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.
Координаты и векторы Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.
Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.
Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.
АЛГЕБРА «Выполнение действий действительными числами»
1. Первоначально под числом понимали лишь натуральные числа. Которых достаточно для счёта отдельных предметов.
Множество N = {1; 2; 3...} натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это значит, что сумма и произведение натуральных чисел являются числами натуральными.
2. Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда является натуральным
числом.
(Приведите примеры: 5 – 5 = 0; 5 – 7 = – 2, числа 0 и – 2 не являются натуральными). Так, результат вычитания двух одинаковых натуральных чисел приводит к понятию нуля и введению множества целых неотрицательных чисел
Z0 = {0; 1; 2;...}.
3. Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отрицательные целые числа, то есть числа, противоположные натуральным. Таким образом получают множество целых чисел Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2;...}.
Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, не равное нулю, необходимо к множеству всех целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей. В результате получается множество рациональных чисел Q = {mn , m ϵ Z , n ϵ N}.
При выполнении четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа.
4. Каждое рациональное число можно представить в виде периодической десятичной дроби.
Вспомним, что такое периодическая дробь. Это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби. Например, 0,3333…= 0,(3); 1,057373…=1,05(73).
Читаются эти дроби так : “0 целых и 3 в периоде”, “1 целая, 5 сотых и 73 в периоде”.
Запишем рациональные числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби:
натуральное число 25 = 25,00…= 25,(0); целое число -7 = -7,00…= -7,(0);
(пользуемся алгоритмом деления уголком).
5. Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное число.
Иррациональные числа – это числа, не представимые в виде обыкновенной дроби, т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби. Например: π = 3,1416…, е = 2,7182…; =1,4142…
Все эти числа называют действительными числами – R.
Определение процента: 1% - это 1/100 часть числа.
Пример 1. Найдите значение выражения 
Решение.
Найдём значение выражения:
Ответ: 0,2
Пример 2. Найдите значение выражения 
.
Решение.
Выполним действия в знаменателе:
Разделим числитель исходной дроби на найденный знаменатель
Пример 3. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг.
Решение:
400 ∙ 0,18 = 72 (кг) - масса влаги в цементе на складе;
400 – 72 = 328 (кг) - масса цемента без влаги (сухого); 328 ∙ 100 : 80 = 410 (кг) - масса привезённой смеси со склада.
Ответ: 410 кг.
Пример 4. Вычислите |-9,6|+|-7,4|-2.
Решение:
На основании определения модуля |-9,6|+|-7,4|-2 = 9,6 + 7,4 – 2 = 15.
Ответ: 15.
«Корни, степени, логарифмы» Корень n-ой степени.
Определение: Корнем п-ой степени из числа a называется такое число b, п-я степень которого равна а.
= 4, 42 = 16;
= 3, 33 = 27;
32;
Свойства корней.
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
,
5. 
k ,
6. 
= a ,
7. Для
любых чисел a и b, таких, что 0≤a<b,
выполняется неравенство 
. Примеры:
а)
= 
б)
= 
= 2 · 5 = 10;
в)
Степень и ее свойства.
Определение: Степенью числа a>0 c рациональным
показателем r 
, где m-целое
число, а n-натуральное (n>1), называется число 
.
Степень числа 0 определена только для положительных
показателей степени (
Свойства степени:
1.
2.
3.
4.
5.
Примеры:
Найти значение выражения:
1. 
.
.
Логарифм и его свойства.
Логарифмом положительного числа b по основанию а (a>0, a≠1) называется показатель степени x, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.
Записывается таким образом:
Примеры:
а)
по
тому
б)
по
тому
в)
по
тому
Основное логарифмическое тождество:
b>0, a>0, a≠1.
Примеры:
а)
б)
Основные свойства логарифмов.
При любом a>0 (a≠0) и любых положительных x и у выполнены равенства:
1.
2.
3.
х у 
у
4.
х х 
у
у
5.
6.
7. Формула
переходаотодногооснованиялогарифмакдругомуосновани 
Десятичныйлогарифм
lg x
(основание a = 10)
Примеры:
1. Найти х, если 
5. Найти значение выражения: 
.
Градусный и радианный способы измерения углов равноправны и используются достаточно широко.
В некоторых случаях используют доли градуса – минуты и секунды. Минута – это 1/60 доля градуса и записывается так: 1=(1/60)0; секунда – это 1/60 доля минуты и
записывается так: 1=(1/60) .
Отметим, что при градусном измерении обозначения нужно обязательно записывать (знаки 0 , ,), а радианное обозначение всегда пропускают, записывая просто число радианов: 1; 0,75; 4,5; .
Часто приходится переходить от градусного измерения к радианному и обратно. При этом используют следующие формулы:
y 0 1800 рад
II
l2 I 
1
A
R=1 рад
00 2 l1
180
0 x
III IV рис.1
Определение. Синусом угла называется ордината точки А пересечения подвижного луча и единичной окружности; косинусом угла называется абсцисса точки А ; тангенсом угла называется отношение ординаты точки А к ее абсциссе; котангенсом угла называется отношение абсциссы точки А к ее ординате.
Значения тригонометрических функций некоторых углов приведены в следующей таблице:
Тригонометрические функции связаны между собой следующими основными тождествами:
|
I. cos2 sin21 sin II.
tg
cos cos III.
ctg
sin |
IV. tgctg1 1 V.
1tg2 cos 1 VI.
1
ctg 2
|
Из тождества I вытекают формулы sin 21 cos2 и cos21 sin2 , которыми мы будем часто пользоваться.
С помощью основных тригонометрических тождеств решается задача отыскания значений всех тригонометрических функций по известному значению одной из них.
1. sin() sincos sincos
2. sin() sincos sin cos
3. cos() coscos sinsin
4. cos() coscos sinsin
5.
tg() 
tg
tg
1tgtg
6.
tg() tgtg
1 tgtg
Формулы двойных и половинных углов
Полагая в формулах 1, 3, 5 сложения аргументов, получим следующие формулы двойных углов:
1. sin2 2sincos
2. cos2 cos2sin2
2tg
3.
tg2 
2
1tg
Из формулы 2 вытекают два часто употребляемых соотношения
4. 1 cos2 2cos2 или cos2 2cos21
5. 1 cos2 2sin 2 или cos21 2sin 2
Из формул 4. и 5. можно получить формулы половинных углов:
6.
sin 1cos, cos 1cos,
2 2 2 2
где знак зависит от четверти, в которой оканчивается угол /2.
Заменяя в равенствах 1.- 3. 2 на , а на /2, находим:
7.
sin 2sincos
2 2
8.
cos
cos2 
sin2
2 2
2tg
9.
tg 2
1 tg 2
2
Кроме того, и выражаются через тангенс половинного угла по формулам
2tg
10.
sin 2
1tg 2 2
1tg 2
11.
cos 2
1 tg 2
2
Формулы приведения
Значения тригонометрических функций острых углов вычисляют по таблицам. Значения функций любых углов можно вычислить с помощью формул приведения к острому углу.
Сформулируем общее правило написания формул приведения:
1. Знак тригонометрической функции определяют по первоначально заданному углу.
2. Если аргумент можно представить как сумму или разность , 2 и острого угла, то название функции не изменяют.
3. Если аргумент можно представить как сумму или разность /2, 3/2 и острого угла, то название функции изменяют на сходное (синус – на косинус, тангенс – на котангенс).
|
Функция
|
|
Аргумент |
|
|
|
2 |
|
3 2 |
2 |
|
|
sin
|
cos |
msin |
-cos |
sin |
|
cos
|
msin |
-cos |
sin |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
tg
|
m ctg |
tg |
m ctg |
tg |
|
ctg
|
m tg |
ctg |
m tg |
ctg |
Формулы сложения одноименных
тригонометрических функций позволяют преобразовать сумму и
разность функций в произведение этих функций. Они имеют следующий вид: 1. sinsin
2sincos
2 2
2.
sinsin
2sincos
2 2
3.
coscos
2coscos
2 2
4.
coscos
2sinsin
2 2
Как их получаем? Сложим соответственно левые и правые
части формул сложения аргументов 1. и 2., введем новые
переменные:
x и
y , тогда x y x
y 
и
.
2 2
Т.е. sin x sin y 2sin x
y cos x
y
2 2
Теперь заменим y на y и получаем формулу сложения синусов:
sin x sin y 2sin x
y cos x
y
2 2
Аналогичные действия производим с формулами суммы и разности аргументов косинусов.
Примеры:
Упростите выражение 1cos2 x.
Решение: Используем для решения формулу sin2 xcos2 x 1 .
1cos2 x sin2 xcos2 xcos2 x sin2 x
Пример 1. Найдите
значение tg,
если cos
4 ,
.
5 2
sin x , sin2 xcos2 x1 sin2 x1cos2 x sin x
1cos2 x Решение: tg
cosx
sin x 1
tg
sin x :
4
3
5
3 cosx 4 5 5 5 4 4
5
8
Пример. 2Найдите значение cos 
. 3
cos8cos
62cos62cos2
2cos2cos
3cos3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
cos
cos1
3 3 2
Пример 3. Найдите значение sin300.
3
Решение: sin300sin90210
cos210 2
Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимость . Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.
Обозначение: 
Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.
Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.
Обозначения: 
D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Способы задания функции
1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы.
Например, 
2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y).
3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.
Область определения функции
1) дана функция, содержащая
некоторую дробь 
. Как вы знаете, на ноль делить нельзя: 
,
поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в
область определения данной функции.
Не буду останавливаться на самых простых функциях
вроде 
и т.п., поскольку все прекрасно видят точки,
которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные
дроби:
Пример
Найти область определения функции
Решение: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Давайте приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки:
Полученное уравнение имеет два корня: 
. Данные
значения не
входят в область определения функции. Действительно,
подставьте 
в функцию и
вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.
Ответ: область определения: 
2) Функция с квадратным корнем 
определена
только при тех значениях «икс», когда подкоренное выражение неотрицательно:
.
Если
корень расположился в знаменателе 
,
то условие очевидным образом ужесточается: 
. Аналогичные выкладки
справедливы для любого корня положительной чётной степени: 
, правда,
корень уже 4-й степени в исследованиях функций не припоминаю.
Пример
Найти область определения функции
Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
В неравенстве перенесём «тройку» в правую
часть со сменой знака
(правило №1):
Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):
Умножим
обе части неравенства на 
(правило №2):
Ответ: область определения: 
3) Третья распространённая функция
– логарифм. В качестве образца я буду рисовать натуральный логарифм, который
попадается примерно в 99 примерах из 100. Если некоторая функция содержит
логарифм 
, то в её область определения должны входить
только те значения «икс», которые
удовлетворяют неравенству .
Если логарифм находится в знаменателе: 
, то дополнительно
накладывается условие 
(так как 
).
Пример
Найти область определения функции
Решение: в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:
Графическое решение для чайников:
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Производная — то скорость
изменения функции. Производная функции в точке 
равна угловому ко ффициенту касательной, проведенной к
графику функции в той точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции y = f(x).
Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:
Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимнообратные действия.
Ньютона-Лейбница)
графиком
непрерывной функции 
, осью 
и прямыми 
и
. Пусть
Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:
Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама
формула 
носит
название «Формула Ньютона-Лейбница».
На рисунке изображён график некоторой функции .
Пример:
Функция 
— одна из первообразных
функции 
Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком
функции на
отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах
отрезка, то есть
В нашей задаче имеем:
Дальше — просто арифметика.
Ответ: 13,5.
Уравнение – это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными.
Значения переменных, которые обращают уравнение в верное числовое равенство, называются корнями или решениями уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Обычный путь решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям.
Два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения есть решение второго и наоборот, каждое решение второго есть решение первого. Перечислим преобразования, приводящие данное уравнение к равносильному ему уравнению:
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то получится уравнение, равносильное данному.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же выражение, которое не обращается в нуль ни при каких значениях переменных, то получится уравнение, равносильное данному.
Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все его решения (или доказать, что их нет).
Решение показательных уравнений.
Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным: ах = b (a>0, a≠1, ax>0).
Уравнение при любом положительном а, отличном от 1, и b > 0 имеет единственный корень. Для того чтобы его найти, надо b представить в виде
. Очевидно, что с является решением.
Примеры:
Решить уравнения:
1. 2х = 8 2х = 23 х = 3.
Ответ: 3.
х
Ответ: -1.
3. 3х = 5
Уравнение можно записать: 3х = 
х = 
Ответ: 
4. 25х = - 25
Так как – 25<0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней.
5. 
х
х
х 
х
х
х
Ответ
6. 
х
х
х
х 
х = 1
Ответ: 1.
Решение логарифмических уравнений.
Уравнение
вида 
(a>0, a≠1, x>0) называется простейшим
логарифмическим уравнением. Для любого b данное уравнение имеет, и
притом только одно, решение. Из определения логарифма следует, что ab
является таким решением.
Примеры:
1. 
х
= 4
Найдем область определения уравнения:
х
х = 81
Ответ: 81
2. 
х
Найдем область определения уравнения:
х – 5 >0 x > 5
х 
х – 5 = 8 х = 13
Ответ: 13.
3. 
х
Найдем область определения уравнения:
lg(x – 3)·(x – 2) = lg2
(x – 3)·(x – 2) = 2 x2 – 5x + 6 = 2 x2 – 5x + 4 = 0
x1 = 1 – не удовлетворяет области определения, x2 = 4 Ответ: 4.
Решение показательных и логарифмических неравенств.
Примеры:
1. 2x > 8 2x > 23 a = 2, a >1, функция у = 2х возрастает. х > 3.
Ответ: (3; + ).
2.
а = 
, 0<a<1, функция у = 
х
убывает.
х
Ответ: (- ; - 3].
3. 
Найдем область определения:
0<a<1, функция убывает.
5– 2х < 9 2x < 4 x > 2
Ответ: (- 2; +
.
4. 
х
Найдем область определения:
3х + 1
а >1, функция возрастает.
3х + 1 
3х 
х 
Ответ: (
С помощью обратных тригонометрических функций можно решать простейшие тригонометрические уравнения:
|
|
|
Вид неравенства |
Множество решений неравенства (nZ ) |
|
|
xarcsin a 2n; arcsin a 2n |
|
|
x arcsin a 2n;arcsin a 2n |
|
|
x arccosa 2n;arccosa 2n |
|
|
xarccosa 2n;2 arccosa 2n |
|
tgx f a |
xarctga n; |
|
tgx p a |
x 2 |
|
ctgx f a |
xn;arcctgan |
|
ctgx p a |
xarcctgan;n |
КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Комбинаторика- это раздел математики который изучает вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов. Вероятность - это отношение числа появления события к числу экспериментов. Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных явлениях, происходящих в природе и обществе.
Примеры решения задач:
1. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла, и буквой Р выпадение «решки».
а) Подбросим монету два раза. Появление двух орлов записывается как 00. Это одно из элементарных событий этого опыта. Выпишите все элементарные события этого опыта.
б) Подбросим монету три раза. Выпишите все элементарные события этого опыта.
в) Во сколько раз больше число элементарных событий при трех бросаниях
монеты, чем при двух бросаниях монеты?
Решение.
а) 00, РО, OP, PP. Здесь встречается типичная ошибка: отождествляются
элементарные события РО и ОР. Это разные события!
б) 000, OOP, ОРР, ОРО, POO, POP, РРО, РРР.
в) при двух бросаниях 4 элементарных события, при 3 бросаниях — 8 событий, то есть в 2 раза больше.
2. В коробке лежат 24 одинаковые авторучки. Из них 13 красные, 5 зеленые, остальные — синие. Продавец наудачу достает одну авторучку. Найдите вероятности событий:
а) «извлеченная ручка красная»;
б) «извлеченная ручка не зеленая».
Решение. Элементарными событиями в описанном опыте являются со бытия К, 3 и С.
а) Вероятность элементарного события К равна 13/24.
б) Вероятность элементарного события 3 равна 5/24. Синих ручек 6,
следовательно, вероятность элементарного события С равна 6/24.
Событию А «извлеченная ручка не зеленая» благоприятствуют элементарные события К и С, поэтому Р(A) = 13/24 + 6/24 = 19/24.
4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, если цифры в числе не повторяются?
Р е ш е н и е . На месте сотен поставим любую из трех цифр. После каждого такого выбора на месте десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр, так как цифры в числе не повторяются. Наконец, на месте единиц можно поставить оставшуюся одну цифру. Повторным применением правила произведения найдем число трехзначных чисел, равное N = 3 • 2 • 1 = 6 .
Аксиомы стереометрии 
Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А 
рис. 4
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости
АB 
Прямая АВ лежит в плоскости
рис. 5
Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
а
= М
Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.
рис. 6
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
=
a 
и пересекаются по прямой
а.
рис. 7
Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
|
Название |
Рисунок |
Площадь боковой поверхности |
Площадь полной поверхности |
Объем |
|
Куб |
|
Sбп 4a2 |
Sпп 6a2 |
V a3 |
|
Прямоугольный параллелепипед |
|
Sбп 2(bc ac)
|
Sпп 2(abbc ac) |
V abc |
|
Параллелепипе д прямой |
|
Sбп Pосн H |
Sпп Sбп 2Sосн |
V Sосн H |
|
Наклонный параллелепипед |
|
Сумма площадей боковых граней |
Sпп Sбп 2Sосн |
V Sосн H |
|
Призма прямая |
|
Sбп Pосн H |
Sпп Sбп 2Sосн |
V Sосн H |
|
Пирамида |
|
Сумма площадей боковых граней |
Sпп Sбп Sосн |
1 V 3
|
|
Цилиндр |
|
Sбп 2RH |
Sпп 2R(H R) |
V R2H |
|
Конус |
|
Sбп RL |
Sпп R(LR
|
V
|
|
Шар, сфера |
|
|
Sпп 4R2 |
V
|
|
Тетраэдр |
|
|
|
V 12 |
1. Найдите значение числового выражения:
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
2. Найдите значение числового выражения:
3. Упростите выражение:
|
1 |
sin2 x1 |
sinsincos |
|
2 |
cos2 x 1sin 2 x |
sin 6 2 |
|
3 |
sin2 x2cos2 x1 |
sincossin
sin cossin |
|
4 |
1sin x1sin x |
cos2sinsin
2sincossin |
|
5 |
cosx11cosx |
sin 2x
sin x |
|
6 |
1sin2 xcos2 x |
cos2xsin2 x |
|
7 |
cos2 x 12sin 2 x |
sin 2x
cos x |
|
8 |
sin xcosxtgx |
2cos2 x
sin 2x |
|
9 |
sin xcosxctgx1 |
1tg2xcos2 x |
|
10 |
sin 2 x tgxctgx |
cos2 xcos2x |
4. Найдите область определения функции
5. Найдите производную заданной функции
|
1 |
f (x) x7 5x4 12x2 0,5x125 |
f (x) x3 cos x
|
tgx f (x)
|
f (x) sinx3 4x2 5x14
|
|
2 |
f (x) 3x8 3x5 11x2 0,3x127 |
f (x) x4 sin x
|
ctgx f (x) x |
f (x) cosx4 4x3 4 |
|
3 |
f (x) 3x6 2x4 14x2 0,5x250 |
f (x) x5cosx |
f (x)
|
f (x) lпx3 4x2 5x14
|
|
4 |
f (x) 4x9 2x5 12x3 0,2x550 |
f (x) x3sin x |
tgx f (x) x |
f (x) lпx4 4x3 4 |
|
5 |
f (x) x7 5x4 12x2 0,5x125 |
f (x) x5cosx
|
tgx f (x) 3x |
f (x) tgx3 4x2 5x 14
|
|
6 |
f (x) 3x8 3x5 11x2 0,3x127 |
f (x) x7 sin x |
x3 f (x) ctgx |
f (x) ctgx4 4x3 4 |
|
7 |
f (x) 3x6 2x4 14x2 0,5x250 |
f (x) x5cosx
|
x3 f (x)
сtgx |
f (x)cosx3 4x2 5x14 |
|
8 |
f (x) 5x8 2x5 12x3 0,2x 50 |
f (x) x3 sin x
|
5x4 f (x) tgx |
f (x) sinx5 4x3 4 |
|
9 |
f (x) 4x9 5x5 32x3 0,2x 5 |
f (x) x4 sin x
|
x3 f (x)
ctgx
|
f (x) cosx4 5x3 5 |
|
10 |
f (x) 9x9 2x5 12x3 3x 10 |
f (x) x6 sin x
|
tgx f (x) 5x |
f (x) cosx4 4x3 4 |
6. Решите уравнения:
|
1 |
|
9x - 8·3x – 9 = 0
|
|
sin2x = 1 |
|
2 |
|
|
|
cos2x =1 |
|
3 |
|
|
|
2sin2x = 1 |
|
4 |
|
|
|
3tgx = 1 |
|
5 |
|
|
|
2cos2x =1 |
|
6 |
(x + 2)2 = (x − 4)2. |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
3tgx = 1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
9 |
(x - 1)2 = (x + 4)2. |
|
|
|
|
10 |
(x + 1)2 = (x − 3)2. |
|
|
2sin2x
= |
7. Решите неравенства:
1. log (2 )5 x log5 x log 85 .
x 1
4
2. 2
3. log2 xlog8 x 4
4. log3 x 2
5. log0,29(7x2 2) log0,29 9
6. lg(12 5 ) x 0
1x 1
4
4
7.
8. 5x216 1.
9. 0,52 3x 0,251x
8. Решите задачу:
В коробке лежат 28 одинаковые авторучки. Из них 12 красные, 5 зеленые, остальные — синие. Продавец наудачу достает одну авторучку. Найдите вероятности событий:
а) «извлеченная ручка красная»;
б) «извлеченная ручка не зеленая».
9. Решите задачу:
1. Из точки А к плоскости проведена наклонная АВ . Найти длину проекции этой наклонной на плоскость , если АВ=26 см, а точка А удалена от плоскости на 10 см.
2. Из точки А, взятой вне плоскости , проведены к ней две наклонные, длины которых равны 10 и 17 см. Разность проекций этих наклонных на плоскость равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
3. Расстояние от точки М до всех вершин квадрата равно
10 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 12 см.
4. Из точки М к плоскости проведена наклонная МN. Найти длину наклонной , если длина её проекции на плоскость равна 8 см, а точка М удалена от плоскости на 6 см.
5. Из точки А, взятой вне плоскости , проведены к ней две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на
13 см больше другой, а проекции наклонных на плоскость равны 6 и 20 см.
6. Расстояния от точки S до всех вершин правильного треугольника равны по 5 см, а до плоскости треугольника - 3 см. Найдите высоту треугольника.
7. Из точки А к плоскости проведена наклонная АВ . Найти расстояние от точки А до плоскости , если АВ=17 см, а длина проекции АВ на плоскость равна 8 см.
8. Из точки А, взятой вне плоскости , проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 2 и 14 см, а наклонные относятся как 1:2. Найдите длины наклонных.
9. Расстояния от точки М до всех вершин квадрата равны по
13 см, а до плоскости квадрата – 12 см. Найдите диагональ квадрата.
10. Из точки М к плоскости проведена наклонная МN. Найти длину проекции этой наклонной на плоскость , если
МN =20 см, а точка М удалена от плоскости на 12 см.
10. Решите задачу:
1. Площадь основания правильной четырёхугольной призмы равна 16 см2, боковое ребро призмы равно 8 см. Чему равна площадь боковой грани в см2?
2. Площадь боковой поверхности правильной пятиугольной призмы равна 300 см2. Высота призмы равна 10 см. Чему равна сторона основания призмы в см?
3. В прямом параллелепипеде в основании лежит параллелограмм ABCD с острым углом 30о, меньшая диагональ равна 13 см, боковое ребро - 12 см. Чему равен радиус окружности, описанной вокруг треугольника АBD в см?
4. Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 см, 5 см и 6 см. Чему равна площадь большей грани в см2?
5. Дана правильная треугольная пирамида, боковое ребро равно 10, медиана основания - 9. Чему равна высота пирамиды?
6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 80 см2, площадь его основания - 25π см2. Вычислите площадь сечения в см2, параллельного оси и отстоящего от неё на расстоянии 3 см.
7. Объём цилиндра равен 72π, высота цилиндра - 8. Чему равен периметр осевого сечения?
8. Площадь основания конуса равна 18 см2, а высота ‒ 10 см. Чему равен объём конуса?
9. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник с периметром 24. Чему равна длина образующей конуса?
10. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 6 вращают вокруг меньшего катета. Найдите периметр осевого сечения полученного тела вращения.
1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы : базовый и углубл. уровни – М. «Просвещение»: 2016
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10-11 классы: базовый и углубл. уровни – М. «Просвещение»: 2016
3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017
4. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017
Интернет-ресурсы
5. https://infourok.ru/ – Инфоурок.
6. https://resh.edu.ru/ - Российская электронная школа.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В данной методической разработке краткая теория по всем разделам математики. В конце дана домашняя контрольная работа для заочников на базе 9 классов
6 666 007 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Исламшина Надежда Сабировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.