Методические указания по математике на тему "Дифференциальные уравнения"

Методические указания

Для студентов

по

дисциплине

«Математика»

Раздел «Основы математического анализа

(дифференциальные уравнения)»

Иркутск  2015

Пояснительная записка

Основная задача обучения математике в среднем специальном учебном заведении – обеспечить прочное и сознательное овладение студентами системой математических знаний и умений, необходимых для дальнейшего освоения специальных дисциплин.

Цель: углубление знаний по разделу основы математического анализа и отработка практических навыков решения задач.

Задачи:

1.     Восполнить пробелы в знаниях студентов;

2.     Провести взаимосвязь между дисциплинами, изучаемыми в блоках общепрофессиональных (электроника, электротехника) и специальных дисциплин, по специальностям реализуемым в учебном заведении;

3.     Подготовить студентов к участию в олимпиадах и сдаче интернет-экзамена.

Каждая тема методического пособия содержит теоретический и практический материал (примеры с алгоритмами решений) и задачи для закрепления (домашнее задание) по изучаемой теме.

Данное пособие может использоваться как для аудиторной так и внеаудиторной работы студентов.

Раздел: Основы математического анализа

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тема 1:Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения. Уравнения с разделенными переменными.

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения.

Определение: дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы.

#₁ , ,  - дифференциальные уравнения, так как содержат производные или дифференциалы функции и аргумента.

#₂ установить, какие из указанных ниже уравнений являются дифференциальными:

а) y^,+3x=0; b) y²+x²=5; c) y=e^x ; d) y^,y-x=0; e) y=ln|x|+C; f) 2dy+3xdx=0.

Решение: уравнения b),c),e) не являются дифференциальными, так как не содержат производной искомой функции или дифференциалов аргумента и искомой функции; уравнения a), d), f) являются дифференциальными.

Определение: решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение: общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

# общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Определение: частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение: дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

# xy^,-y=4 – ДУ первого порядка, так как наивысший порядок производной, входящей в него, - первый.

Уравнения с разделенными переменными.

Определение: уравнение вида f(x)dx+g(y)dy=0   (1), где f(x) и g(y) – данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

# Решить уравнение xdx+ydy=0/

Решение: Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим

 .

Так как С произвольна, то можно обозначить 2С через С², учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид x²+y²=C². Это и есть общее решение.

# Решить уравнение 2ydy=3x²dx.

Решение: Здесь g(y)=2y, f(x)=3x². Интегрируя обе части уравнения, имеем

. Получили общее решение ДУ. Это решение можно записать в явной форме: .

# Найти частное решение ДУ , если  y=4 при x=1.

Решение: Имеем , откуда . Итак, получаем ответ: .

Замечание:                                  

Задания для решения

1.   Даны уравнения:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

Какие из них являются дифференциальными?

2.  Решить уравнения:

1)  

2)

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

3. Найти частное решение ДУ:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

Домашнее задание

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1.     ydy=xdx; y=4 при x=-2;

2.     xdx=ydy; y=6 при x=2.

Тема 2: Уравнения с разделяющимися переменными, общее и частное решения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение: Уравнение вида  (2), где - заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

# - ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными 1.  Выражают производную функции через дифференциалы dx  и dy. 2.  Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку. 3.  Разделяют переменные. 4.  Интегрируют обе части равенства и находят общее решение. 5.  Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

# Решить ДУ .

Решение: заменим , получим , перемножим крест на крест ,

разделим переменные , проинтегрируем обе части , вычисляя интеграл, получаем решение. Выразим из этого выражения переменную y .

Общее и частное решения уравнений с разделяющимися переменными.

# Найти частное решение уравнения , если y=4  при x=1.

Решение: Разделяем переменные:

Интегрируя, получим

 (здесь С заменено на lnC). Потенцируя, находим - общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Найдем теперь частное решение данного уравнения по заданным начальным условиям. Полагая в общем решении x=1, y=4, имеем 2²=4С, откуда С=1. Следовательно, y=(1+x)².

Задания для решения

Решить уравнение с разделяющимися переменными:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

3.а)  Найти общее решение уравнений;

   б)  и частные решения по начальным условиям  при :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Домашнее задание

Найти частные решения уравнения по начальным условиям  при

Тема 3: Линейные ДУ первого порядка. Линейные однородные уравнения

        1-гопорядка. Линейные неоднородные уравнения 1-гопорядка.

Определение: уравнение вида

                             (1),

где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Определение: если , то уравнение  (1) называется линейным однородным уравнением. Если , то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

Замечание: линейные однородные ДУ решаются как ДУ с разделяющимися переменными (см тему 2). Линейные неоднородные ДУ решаются методом Бернулли.

Метод Бернулли 1.     Приводят уравнение к виду . 2.     Используя подстановку , находят и подставляют эти выражения в уравнение. 3.     Группируют члены уравнения, выносят одну из функций u или v за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение. 4.     Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию. 5.     Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и  в равенство . 6.     Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

# Решить уравнение.

Решение: это линейное уравнение, так как оно имеет вид , где , . Положим ; тогда .

Подставив выражения  в исходное уравнение, получим

или

 (1)

приравняем выражение в скобках в уравнении (1)к нулю:

.

Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем

 (произвольную постоянную С приравняли к нулю).

Найденное значение v подставляем в уравнение (1):

 (здесь С писать обязательно, иначе получится не общее решение, а частное решение).

Тогда окончательно получим .

Задания для решения

Решить уравнение:

1)  (); 

2) ; 

3) ;

4) ;

5) ;

 6) ;

7) ; 

8)

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19)

20)

21) ;

22) .

Домашнее задание

Решить уравнение:

1) ; 2) .

Тема 4: Задача Коши для линейного ДУ первого порядка.

Если требуется  найти частное решение, то определяют  из начальных условий и подставляют в общее решение.

# Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решение: поскольку данное уравнение является линейным, полагаем и, следовательно, . Подставляя выражения  в исходное уравнение, имеем

 или  (4). Выберем  так, чтобы , откуда  Подставив выражение  в уравнение (4), для определения получаем уравнение  откуда  Поскольку , общее решение заданного уравнения записывается в виде  Теперь, используя начальные условия , находим С; имеем , откуда С=1. Следовательно, частное решение заданного уравнения имеет вид .

Задания для решения

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1.    ; 

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

   Домашнее задание

1.   

2.   

3.   

Тема 5:Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение: линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,                            (1)

где  и   - постоянные величины.

Замечание. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение ,                   (2) 

которое получается из уравнения (1) заменой   и  на соответствующие степени , причем сама функция  заменяется единицей.

            Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней  и  характеристического уравнения (2).

Дифференц. уравнение
Характерист. уравнение
Дискриминант
Корни характеристического уравнения
Множества решений

# решить уравнение

Решение: составим характеристическое уравнение . Здесь Тогда общее решение данного уравнения имеет вид

Задания для решения

Решить уравнения

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

Домашнее задание

Литература

1.    Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.

2.   Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.

3.   Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: учебное пособие- 2-е изд., перераб и допол. – М.: Наука, 1990. -576 с.

4.   Геометрия: Учебник / Под ред. Г.Н. Яковлева.- 3-е изд.- М.: Наука, 1989.-320с.

5.   Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2006. – 552с.

6.   Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991.- 480с.

7.   Погорелов А.В. Геометрия: Уч. пособие для 6-10 классов средней школы.- 5-е изд. – М.: Просвещение.-1986.-302с.

8.   Сборник задач по математике для техникумов: Уч. пособие для техникумов/ Под ред. Афанасьевой О.Н., - 2-е изд. переаб.- М.: Наука, 1992.- 208 с.

9.   Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.