Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания по математике на тему "Дифференциальные уравнения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания по математике на тему "Дифференциальные уравнения"

библиотека
материалов






Методические указания

Для студентов

по

дисциплине

«Математика»

Раздел «Основы математического анализа

(дифференциальные уравнения)»
























Иркутск 2015

Пояснительная записка

Основная задача обучения математике в среднем специальном учебном заведении – обеспечить прочное и сознательное овладение студентами системой математических знаний и умений, необходимых для дальнейшего освоения специальных дисциплин.

Цель: углубление знаний по разделу основы математического анализа и отработка практических навыков решения задач.

Задачи:

  1. Восполнить пробелы в знаниях студентов;

  2. Провести взаимосвязь между дисциплинами, изучаемыми в блоках общепрофессиональных (электроника, электротехника) и специальных дисциплин, по специальностям реализуемым в учебном заведении;

  3. Подготовить студентов к участию в олимпиадах и сдаче интернет-экзамена.


Каждая тема методического пособия содержит теоретический и практический материал (примеры с алгоритмами решений) и задачи для закрепления (домашнее задание) по изучаемой теме.

Данное пособие может использоваться как для аудиторной так и внеаудиторной работы студентов.

Раздел: Основы математического анализа

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тема 1:Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения. Уравнения с разделенными переменными.

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения.

Определение: дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы.

#1 hello_html_m5fdb2a78.gif, hello_html_m2a024d10.gif, hello_html_m7188ea81.gif - дифференциальные уравнения, так как содержат производные или дифференциалы функции и аргумента.

#2 установить, какие из указанных ниже уравнений являются дифференциальными:

а) y,+3x=0; b) y2+x2=5; c) y=ex ; d) y,y-x=0; e) y=ln|x|+C; f) 2dy+3xdx=0.

Решение: уравнения b),c),e) не являются дифференциальными, так как не содержат производной искомой функции или дифференциалов аргумента и искомой функции; уравнения a), d), f) являются дифференциальными.

Определение: решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение: общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

# общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Определение: частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение: дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

# xy,-y=4 – ДУ первого порядка, так как наивысший порядок производной, входящей в него, - первый.

Уравнения с разделенными переменными.

Определение: уравнение вида f(x)dx+g(y)dy=0 (1), где f(x) и g(y) – данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

# Решить уравнение xdx+ydy=0/

Решение: Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим

hello_html_m7d7bd4a4.gif.

Так как С произвольна, то можно обозначить 2С через С2, учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид x2+y2=C2. Это и есть общее решение.

# Решить уравнение 2ydy=3x2dx.

Решение: Здесь g(y)=2y, f(x)=3x2. Интегрируя обе части уравнения, имеем

hello_html_3ad5ff9a.gif. Получили общее решение ДУ. Это решение можно записать в явной форме: hello_html_3da8ccc7.gif.

# Найти частное решение ДУ hello_html_294b6d27.gif, если y=4 при x=1.

Решение: Имеем hello_html_4e25a8fc.gif, откуда hello_html_m4aba0b36.gif. Итак, получаем ответ: hello_html_17a108f8.gif.

Замечание: hello_html_3b95b86a.gifhello_html_1b1ba7d.gif


Задания для решения

  1. Даны уравнения:

a) hello_html_2aec6fe6.gif; b) hello_html_m1a8f46c5.gif; c) hello_html_m61fe5c40.gif; d) hello_html_m1ace20b1.gif; e) hello_html_500e4ca9.gif; f) hello_html_m2839ce60.gif.

Какие из них являются дифференциальными?

2. Решить уравнения:

1) hello_html_m26194f43.gif

2) hello_html_436c507e.gif

3) hello_html_31ece5d0.gif;

4) hello_html_m16ab4f3b.gif;

5) hello_html_m8a57e16.gif;

6) hello_html_4a600b5d.gif;

7) hello_html_m3b5ff365.gif;

8) hello_html_m65eea2ed.gif.

3. Найти частное решение ДУ:

1) hello_html_38a1000.gif;

2) hello_html_7884f656.gif;

3) hello_html_77ea86aa.gif;

4) hello_html_m3ea37770.gif;

5) hello_html_12fae6a.gif

Домашнее задание

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

  1. ydy=xdx; y=4 при x=-2;

  2. xdx=ydy; y=6 при x=2.

Тема 2: Уравнения с разделяющимися переменными, общее и частное решения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение: Уравнение вида hello_html_1803bcc0.gif (2), где hello_html_m51fbfb69.gif- заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

# hello_html_7335ea93.gif- ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.


Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными

  1. Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.

  2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.

  3. Разделяют переменные.

  4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.

  5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

# Решить ДУ hello_html_m4b4fff40.gif.

Решение: заменим hello_html_3277d57e.gif, получим hello_html_7711540d.gif, перемножим крест на крест hello_html_5c85648b.gif,

разделим переменные hello_html_3aefcbd7.gif, проинтегрируем обе части hello_html_m19132ae2.gif, вычисляя интеграл, получаем решениеhello_html_m355b838b.gif. Выразим из этого выражения переменную y hello_html_m312c1329.gif.


Общее и частное решения уравнений с разделяющимися переменными.

# Найти частное решение уравнения hello_html_m4fa0654.gif, если y=4 при x=1.

Решение: Разделяем переменные:

hello_html_e6c32f.gif

Интегрируя, получим

hello_html_45ff865c.gif(здесь С заменено на lnC). Потенцируя, находим hello_html_7baa9c34.gif- общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Найдем теперь частное решение данного уравнения по заданным начальным условиям. Полагая в общем решении x=1, y=4, имеем 22=4С, откуда С=1. Следовательно, y=(1+x)2.



Задания для решения

Решить уравнение с разделяющимися переменными:

1) hello_html_17f234f5.gif;

2) hello_html_m4dc7131e.gif;

3) hello_html_371cec9f.gif;

4) hello_html_m1511a88b.gif;

5) hello_html_m1baa0671.gif;

6) hello_html_m76e59009.gif;

7) hello_html_m7501cc45.gif;

8)hello_html_m2c4608c8.gif

9) hello_html_m3e94c4a2.gif

10) hello_html_mda5ad0c.gif

11) hello_html_1b93201f.gif

12)hello_html_m60a3e32f.gif

13) hello_html_m3d8bcc67.gif


14)hello_html_7ee42ca3.gif

15)hello_html_mdb51d6c.gif

16)hello_html_m608c1711.gif

17) hello_html_142aa2e9.gif

18)hello_html_m5871ca69.gif

19)hello_html_6785900b.gif

3.а) Найти общее решение уравнений;

б) и частные решения по начальным условиям hello_html_709fe7c7.gif при hello_html_m49ed4af9.gif:

1) hello_html_60114632.gif;

2) hello_html_m42bda33c.gif;

3) hello_html_2cce9ee6.gif;

4) hello_html_m547913ea.gif.

Домашнее задание

Найти частные решения уравнения hello_html_6d756a5b.gifпо начальным условиям hello_html_m4e936d9d.gif при hello_html_m204d8597.gif



Тема 3: Линейные ДУ первого порядка. Линейные однородные уравнения

1-гопорядка. Линейные неоднородные уравнения 1-гопорядка.

Определение: уравнение вида

hello_html_2b1c14d0.gif(1),

где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Определение: если hello_html_m5e514f8c.gif, то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением. Если hello_html_35929973.gif, то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

Замечание: линейные однородные ДУ решаются как ДУ с разделяющимися переменными (см тему 2). Линейные неоднородные ДУ решаются методом Бернулли.


Метод Бернулли

  1. Приводят уравнение к виду hello_html_2b1c14d0.gif.

  2. Используя подстановку hello_html_7905b24f.gif, находят hello_html_45922eae.gifи подставляют эти выражения в уравнение.

  3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций u или v за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

  4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

  5. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций hello_html_mcbbf10b.gifи hello_html_397c1811.gif в равенство hello_html_7905b24f.gif.

  6. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.


# Решить уравнениеhello_html_1b3ffe9c.gif.

Решение: это линейное уравнение, так как оно имеет вид hello_html_2b1c14d0.gif, где hello_html_m7db894f.gif, hello_html_46f0715e.gif. Положим hello_html_7905b24f.gif; тогда hello_html_45922eae.gif.

Подставив выражения hello_html_m6b00a912.gif в исходное уравнение, получим

hello_html_m3ea8934d.gif

или

hello_html_m734c0db8.gif(1)


приравняем выражение в скобках в уравнении (1)к нулю:

hello_html_445ddf4a.gif.

Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем

hello_html_7bfab996.gif(произвольную постоянную С приравняли к нулю).

Найденное значение v подставляем в уравнение (1):

hello_html_6c7667f9.gif(здесь С писать обязательно, иначе получится не общее решение, а частное решение).

Тогда окончательно получим hello_html_4c5bff1a.gif.


Задания для решения

Решить уравнение:

1) hello_html_m1c68944b.gif (hello_html_m7afd8e28.gif);

2) hello_html_2a05f03e.gif;

3) hello_html_mf23ba50.gif;

4) hello_html_26df5d71.gif;

5) hello_html_m34b63b01.gif;

6) hello_html_c44f706.gif;

7) hello_html_6553abc5.gif;

8) hello_html_66e4bac1.gif

9) hello_html_m1057885d.gif;

10) hello_html_59cac82e.gif;

11) hello_html_m106d2307.gif;

12) hello_html_m6483635d.gif;

13) hello_html_m46425b9a.gif;

14) hello_html_m6fb9b5ac.gif;

15) hello_html_453425fb.gif;

16) hello_html_m2772e7c3.gif;

17) hello_html_635070dc.gif;

18) hello_html_m4ef6aec1.gif;

19) hello_html_m5a63d3b4.gif

20) hello_html_m39d5be9b.gif

21) hello_html_79b298d8.gif;

22) hello_html_m7bd19ed4.gif.

Домашнее задание

Решить уравнение:

1) hello_html_38820f7.gif; 2) hello_html_5a9a1f00.gif.

Тема 4: Задача Коши для линейного ДУ первого порядка.

Если требуется найти частное решение, то определяют hello_html_m19d07077.gif из начальных условий и подставляют в общее решение.

# Найти частное решение уравнения hello_html_1d1fe233.gif, удовлетворяющее начальным условиям hello_html_66e7af1.gif

Решение: поскольку данное уравнение является линейным, полагаем hello_html_7905b24f.gifи, следовательно, hello_html_45922eae.gif. Подставляя выражения hello_html_m6b00a912.gif в исходное уравнение, имеем

hello_html_44fd27b.gifили hello_html_8bcf1a6.gif (4). Выберем hello_html_5d81a21a.gif так, чтобы hello_html_3766bf51.gif, откуда hello_html_62c12180.gif Подставив выражение hello_html_5d81a21a.gif в уравнение (4), для определения hello_html_m4f0d8bd2.gifполучаем уравнение hello_html_7196114c.gif откуда hello_html_m77ef22c5.gif Поскольку hello_html_7905b24f.gif, общее решение заданного уравнения записывается в виде hello_html_b74aacf.gif Теперь, используя начальные условия hello_html_66e7af1.gif, находим С; имеем hello_html_c127e8b.gif, откуда С=1. Следовательно, частное решение заданного уравнения имеет вид hello_html_m69eb91f7.gif.

Задания для решения

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

  1. hello_html_4bb7bb31.gif; hello_html_m7211fce4.gif

  2. hello_html_67e39fa3.gif

  3. hello_html_1e718db4.gif

  4. hello_html_45bf74bc.gif

  5. hello_html_m1689d416.gif

  6. hello_html_m31b17504.gif

Домашнее задание

  1. hello_html_63afc182.gif

  2. hello_html_5b0581a1.gif

  3. hello_html_m17facbd8.gif

Тема 5:Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение: линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

hello_html_3bd0a6c8.gif, (1)

где hello_html_m1e5e065b.gif и hello_html_640f545.gif - постоянные величины.

Замечание. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение hello_html_m7e8f1e59.gif, (2)

которое получается из уравнения (1) заменой hello_html_33cc8c17.gif и hello_html_5573cbd.gif на соответствующие степени hello_html_1e5cdb45.gif, причем сама функция hello_html_5573cbd.gif заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней hello_html_m4ab98586.gif и hello_html_26ceefbf.gif характеристического уравнения (2).

Дифференц.

уравнение

hello_html_3bd0a6c8.gif

Характерист.

уравнение

hello_html_m7e8f1e59.gif

Дискриминант

hello_html_m4658c26a.gif

hello_html_eddb6ae.gif

hello_html_1f338c6c.gif

Корни характеристического уравнения

hello_html_m9c6de6b.gif

hello_html_m4e983f7.gif

hello_html_m4da16ed4.gif

Множества

решений

hello_html_215084ef.gif

hello_html_m1a48957e.gif

hello_html_22c7f7a9.gif

# решить уравнение hello_html_m2aea689f.gif

Решение: составим характеристическое уравнение hello_html_m3b9e48a8.gif. Здесь hello_html_2904411d.gifТогда общее решение данного уравнения имеет вид hello_html_531c4140.gif

Задания для решения

Решить уравнения

  1. hello_html_2780a7a.gif

  2. hello_html_m2898eacb.gif

  3. hello_html_6ce226df.gif

  4. hello_html_m2fb8ae11.gif

  5. hello_html_61c23533.gif

  1. hello_html_m6a9e202e.gif

  2. hello_html_m35b7f9c7.gif

  3. hello_html_m2d58e3c9.gif

  4. hello_html_339d623f.gif

Домашнее задание

hello_html_4712d7cf.gif

Литература

  1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.

  3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: учебное пособие- 2-е изд., перераб и допол. – М.: Наука, 1990. -576 с.

  4. Геометрия: Учебник / Под ред. Г.Н. Яковлева.- 3-е изд.- М.: Наука, 1989.-320с.

  5. Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2006. – 552с.

  6. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991.- 480с.

  7. Погорелов А.В. Геометрия: Уч. пособие для 6-10 классов средней школы.- 5-е изд. – М.: Просвещение.-1986.-302с.

  8. Сборник задач по математике для техникумов: Уч. пособие для техникумов/ Под ред. Афанасьевой О.Н., - 2-е изд. переаб.- М.: Наука, 1992.- 208 с.

  9. Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров415
Номер материала ДВ-007162
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх