Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания по математике на тему "Дифференциальные уравнения"

Методические указания по математике на тему "Дифференциальные уравнения"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:






Методические указания

Для студентов

по

дисциплине

«Математика»

Раздел «Основы математического анализа

(дифференциальные уравнения)»
























Иркутск 2015

Пояснительная записка

Основная задача обучения математике в среднем специальном учебном заведении – обеспечить прочное и сознательное овладение студентами системой математических знаний и умений, необходимых для дальнейшего освоения специальных дисциплин.

Цель: углубление знаний по разделу основы математического анализа и отработка практических навыков решения задач.

Задачи:

  1. Восполнить пробелы в знаниях студентов;

  2. Провести взаимосвязь между дисциплинами, изучаемыми в блоках общепрофессиональных (электроника, электротехника) и специальных дисциплин, по специальностям реализуемым в учебном заведении;

  3. Подготовить студентов к участию в олимпиадах и сдаче интернет-экзамена.


Каждая тема методического пособия содержит теоретический и практический материал (примеры с алгоритмами решений) и задачи для закрепления (домашнее задание) по изучаемой теме.

Данное пособие может использоваться как для аудиторной так и внеаудиторной работы студентов.

Раздел: Основы математического анализа

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тема 1:Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения. Уравнения с разделенными переменными.

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения.

Определение: дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы.

#1 hello_html_m5fdb2a78.gif, hello_html_m2a024d10.gif, hello_html_m7188ea81.gif - дифференциальные уравнения, так как содержат производные или дифференциалы функции и аргумента.

#2 установить, какие из указанных ниже уравнений являются дифференциальными:

а) y,+3x=0; b) y2+x2=5; c) y=ex ; d) y,y-x=0; e) y=ln|x|+C; f) 2dy+3xdx=0.

Решение: уравнения b),c),e) не являются дифференциальными, так как не содержат производной искомой функции или дифференциалов аргумента и искомой функции; уравнения a), d), f) являются дифференциальными.

Определение: решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение: общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

# общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Определение: частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение: дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

# xy,-y=4 – ДУ первого порядка, так как наивысший порядок производной, входящей в него, - первый.

Уравнения с разделенными переменными.

Определение: уравнение вида f(x)dx+g(y)dy=0 (1), где f(x) и g(y) – данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

# Решить уравнение xdx+ydy=0/

Решение: Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим

hello_html_m7d7bd4a4.gif.

Так как С произвольна, то можно обозначить 2С через С2, учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид x2+y2=C2. Это и есть общее решение.

# Решить уравнение 2ydy=3x2dx.

Решение: Здесь g(y)=2y, f(x)=3x2. Интегрируя обе части уравнения, имеем

hello_html_3ad5ff9a.gif. Получили общее решение ДУ. Это решение можно записать в явной форме: hello_html_3da8ccc7.gif.

# Найти частное решение ДУ hello_html_294b6d27.gif, если y=4 при x=1.

Решение: Имеем hello_html_4e25a8fc.gif, откуда hello_html_m4aba0b36.gif. Итак, получаем ответ: hello_html_17a108f8.gif.

Замечание: hello_html_3b95b86a.gifhello_html_1b1ba7d.gif


Задания для решения

  1. Даны уравнения:

a) hello_html_2aec6fe6.gif; b) hello_html_m1a8f46c5.gif; c) hello_html_m61fe5c40.gif; d) hello_html_m1ace20b1.gif; e) hello_html_500e4ca9.gif; f) hello_html_m2839ce60.gif.

Какие из них являются дифференциальными?

2. Решить уравнения:

1) hello_html_m26194f43.gif

2) hello_html_436c507e.gif

3) hello_html_31ece5d0.gif;

4) hello_html_m16ab4f3b.gif;

5) hello_html_m8a57e16.gif;

6) hello_html_4a600b5d.gif;

7) hello_html_m3b5ff365.gif;

8) hello_html_m65eea2ed.gif.

3. Найти частное решение ДУ:

1) hello_html_38a1000.gif;

2) hello_html_7884f656.gif;

3) hello_html_77ea86aa.gif;

4) hello_html_m3ea37770.gif;

5) hello_html_12fae6a.gif

Домашнее задание

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

  1. ydy=xdx; y=4 при x=-2;

  2. xdx=ydy; y=6 при x=2.

Тема 2: Уравнения с разделяющимися переменными, общее и частное решения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение: Уравнение вида hello_html_1803bcc0.gif (2), где hello_html_m51fbfb69.gif- заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

# hello_html_7335ea93.gif- ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.


Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными

  1. Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.

  2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.

  3. Разделяют переменные.

  4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.

  5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

# Решить ДУ hello_html_m4b4fff40.gif.

Решение: заменим hello_html_3277d57e.gif, получим hello_html_7711540d.gif, перемножим крест на крест hello_html_5c85648b.gif,

разделим переменные hello_html_3aefcbd7.gif, проинтегрируем обе части hello_html_m19132ae2.gif, вычисляя интеграл, получаем решениеhello_html_m355b838b.gif. Выразим из этого выражения переменную y hello_html_m312c1329.gif.


Общее и частное решения уравнений с разделяющимися переменными.

# Найти частное решение уравнения hello_html_m4fa0654.gif, если y=4 при x=1.

Решение: Разделяем переменные:

hello_html_e6c32f.gif

Интегрируя, получим

hello_html_45ff865c.gif(здесь С заменено на lnC). Потенцируя, находим hello_html_7baa9c34.gif- общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Найдем теперь частное решение данного уравнения по заданным начальным условиям. Полагая в общем решении x=1, y=4, имеем 22=4С, откуда С=1. Следовательно, y=(1+x)2.



Задания для решения

Решить уравнение с разделяющимися переменными:

1) hello_html_17f234f5.gif;

2) hello_html_m4dc7131e.gif;

3) hello_html_371cec9f.gif;

4) hello_html_m1511a88b.gif;

5) hello_html_m1baa0671.gif;

6) hello_html_m76e59009.gif;

7) hello_html_m7501cc45.gif;

8)hello_html_m2c4608c8.gif

9) hello_html_m3e94c4a2.gif

10) hello_html_mda5ad0c.gif

11) hello_html_1b93201f.gif

12)hello_html_m60a3e32f.gif

13) hello_html_m3d8bcc67.gif


14)hello_html_7ee42ca3.gif

15)hello_html_mdb51d6c.gif

16)hello_html_m608c1711.gif

17) hello_html_142aa2e9.gif

18)hello_html_m5871ca69.gif

19)hello_html_6785900b.gif

3.а) Найти общее решение уравнений;

б) и частные решения по начальным условиям hello_html_709fe7c7.gif при hello_html_m49ed4af9.gif:

1) hello_html_60114632.gif;

2) hello_html_m42bda33c.gif;

3) hello_html_2cce9ee6.gif;

4) hello_html_m547913ea.gif.

Домашнее задание

Найти частные решения уравнения hello_html_6d756a5b.gifпо начальным условиям hello_html_m4e936d9d.gif при hello_html_m204d8597.gif



Тема 3: Линейные ДУ первого порядка. Линейные однородные уравнения

1-гопорядка. Линейные неоднородные уравнения 1-гопорядка.

Определение: уравнение вида

hello_html_2b1c14d0.gif(1),

где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Определение: если hello_html_m5e514f8c.gif, то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением. Если hello_html_35929973.gif, то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

Замечание: линейные однородные ДУ решаются как ДУ с разделяющимися переменными (см тему 2). Линейные неоднородные ДУ решаются методом Бернулли.


Метод Бернулли

  1. Приводят уравнение к виду hello_html_2b1c14d0.gif.

  2. Используя подстановку hello_html_7905b24f.gif, находят hello_html_45922eae.gifи подставляют эти выражения в уравнение.

  3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций u или v за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

  4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

  5. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций hello_html_mcbbf10b.gifи hello_html_397c1811.gif в равенство hello_html_7905b24f.gif.

  6. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.


# Решить уравнениеhello_html_1b3ffe9c.gif.

Решение: это линейное уравнение, так как оно имеет вид hello_html_2b1c14d0.gif, где hello_html_m7db894f.gif, hello_html_46f0715e.gif. Положим hello_html_7905b24f.gif; тогда hello_html_45922eae.gif.

Подставив выражения hello_html_m6b00a912.gif в исходное уравнение, получим

hello_html_m3ea8934d.gif

или

hello_html_m734c0db8.gif(1)


приравняем выражение в скобках в уравнении (1)к нулю:

hello_html_445ddf4a.gif.

Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем

hello_html_7bfab996.gif(произвольную постоянную С приравняли к нулю).

Найденное значение v подставляем в уравнение (1):

hello_html_6c7667f9.gif(здесь С писать обязательно, иначе получится не общее решение, а частное решение).

Тогда окончательно получим hello_html_4c5bff1a.gif.


Задания для решения

Решить уравнение:

1) hello_html_m1c68944b.gif (hello_html_m7afd8e28.gif);

2) hello_html_2a05f03e.gif;

3) hello_html_mf23ba50.gif;

4) hello_html_26df5d71.gif;

5) hello_html_m34b63b01.gif;

6) hello_html_c44f706.gif;

7) hello_html_6553abc5.gif;

8) hello_html_66e4bac1.gif

9) hello_html_m1057885d.gif;

10) hello_html_59cac82e.gif;

11) hello_html_m106d2307.gif;

12) hello_html_m6483635d.gif;

13) hello_html_m46425b9a.gif;

14) hello_html_m6fb9b5ac.gif;

15) hello_html_453425fb.gif;

16) hello_html_m2772e7c3.gif;

17) hello_html_635070dc.gif;

18) hello_html_m4ef6aec1.gif;

19) hello_html_m5a63d3b4.gif

20) hello_html_m39d5be9b.gif

21) hello_html_79b298d8.gif;

22) hello_html_m7bd19ed4.gif.

Домашнее задание

Решить уравнение:

1) hello_html_38820f7.gif; 2) hello_html_5a9a1f00.gif.

Тема 4: Задача Коши для линейного ДУ первого порядка.

Если требуется найти частное решение, то определяют hello_html_m19d07077.gif из начальных условий и подставляют в общее решение.

# Найти частное решение уравнения hello_html_1d1fe233.gif, удовлетворяющее начальным условиям hello_html_66e7af1.gif

Решение: поскольку данное уравнение является линейным, полагаем hello_html_7905b24f.gifи, следовательно, hello_html_45922eae.gif. Подставляя выражения hello_html_m6b00a912.gif в исходное уравнение, имеем

hello_html_44fd27b.gifили hello_html_8bcf1a6.gif (4). Выберем hello_html_5d81a21a.gif так, чтобы hello_html_3766bf51.gif, откуда hello_html_62c12180.gif Подставив выражение hello_html_5d81a21a.gif в уравнение (4), для определения hello_html_m4f0d8bd2.gifполучаем уравнение hello_html_7196114c.gif откуда hello_html_m77ef22c5.gif Поскольку hello_html_7905b24f.gif, общее решение заданного уравнения записывается в виде hello_html_b74aacf.gif Теперь, используя начальные условия hello_html_66e7af1.gif, находим С; имеем hello_html_c127e8b.gif, откуда С=1. Следовательно, частное решение заданного уравнения имеет вид hello_html_m69eb91f7.gif.

Задания для решения

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

  1. hello_html_4bb7bb31.gif; hello_html_m7211fce4.gif

  2. hello_html_67e39fa3.gif

  3. hello_html_1e718db4.gif

  4. hello_html_45bf74bc.gif

  5. hello_html_m1689d416.gif

  6. hello_html_m31b17504.gif

Домашнее задание

  1. hello_html_63afc182.gif

  2. hello_html_5b0581a1.gif

  3. hello_html_m17facbd8.gif

Тема 5:Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение: линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

hello_html_3bd0a6c8.gif, (1)

где hello_html_m1e5e065b.gif и hello_html_640f545.gif - постоянные величины.

Замечание. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение hello_html_m7e8f1e59.gif, (2)

которое получается из уравнения (1) заменой hello_html_33cc8c17.gif и hello_html_5573cbd.gif на соответствующие степени hello_html_1e5cdb45.gif, причем сама функция hello_html_5573cbd.gif заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней hello_html_m4ab98586.gif и hello_html_26ceefbf.gif характеристического уравнения (2).

Дифференц.

уравнение

hello_html_3bd0a6c8.gif

Характерист.

уравнение

hello_html_m7e8f1e59.gif

Дискриминант

hello_html_m4658c26a.gif

hello_html_eddb6ae.gif

hello_html_1f338c6c.gif

Корни характеристического уравнения

hello_html_m9c6de6b.gif

hello_html_m4e983f7.gif

hello_html_m4da16ed4.gif

Множества

решений

hello_html_215084ef.gif

hello_html_m1a48957e.gif

hello_html_22c7f7a9.gif

# решить уравнение hello_html_m2aea689f.gif

Решение: составим характеристическое уравнение hello_html_m3b9e48a8.gif. Здесь hello_html_2904411d.gifТогда общее решение данного уравнения имеет вид hello_html_531c4140.gif

Задания для решения

Решить уравнения

  1. hello_html_2780a7a.gif

  2. hello_html_m2898eacb.gif

  3. hello_html_6ce226df.gif

  4. hello_html_m2fb8ae11.gif

  5. hello_html_61c23533.gif

  1. hello_html_m6a9e202e.gif

  2. hello_html_m35b7f9c7.gif

  3. hello_html_m2d58e3c9.gif

  4. hello_html_339d623f.gif

Домашнее задание

hello_html_4712d7cf.gif

Литература

  1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.

  3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: учебное пособие- 2-е изд., перераб и допол. – М.: Наука, 1990. -576 с.

  4. Геометрия: Учебник / Под ред. Г.Н. Яковлева.- 3-е изд.- М.: Наука, 1989.-320с.

  5. Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2006. – 552с.

  6. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991.- 480с.

  7. Погорелов А.В. Геометрия: Уч. пособие для 6-10 классов средней школы.- 5-е изд. – М.: Просвещение.-1986.-302с.

  8. Сборник задач по математике для техникумов: Уч. пособие для техникумов/ Под ред. Афанасьевой О.Н., - 2-е изд. переаб.- М.: Наука, 1992.- 208 с.

  9. Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров325
Номер материала ДВ-007162
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх