Конспект урока по математике на тему "Решение тригонометрических уравнений" (10 класс)

Урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе

Тема урока: "Решение тригонометрических уравнений"

Учитель математики Гедровец Ж. Н.

МАОУ «Гимназия №16»

г. Кунгур

Цель: закрепление навыка решения тригонометрических уравнений. Работа учащихся состоит из нескольких этапов. Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4 этапа, чтобы получить оценку “4” - 5 этапов, чтобы получить оценку “5” - 6 этапов. На каждом этапе ученик встретится с указаниями учителя о том, что нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к выполнению заданий. Прочитав указания учителя, ученик выполняет самостоятельные работы данного этапа, проверяет ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет учитель. Если допущены ошибки, то ученик их исправляет и решает задания другого варианта, аналогичные тем, где он допустил ошибки. После этого можно переходить к следующему этапу. 1 этап. Задача: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений. Указания учителя. Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений.  Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут) Решите уравнения: 1 вариант 2 вариант 1) cos x = 1/2 1) sin x = -1/2 2) sin x = -/2 2) cos x = /2 3) tg x = 1 3) ctg x = -1 4) cos (x+) = 0 4) sin (x – /3) = 0 5) 2 cos x = 1 5) 4 sin x = 2 6) 3 tg x = 0 6) 5 tg x = 0 7) sin 4x = 1 7) cos 4x = 0 2 этап. Задача: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному. Указания учителя. Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y. Пример. 4 – cos2 x = 4 sin x Так как cos2 x = 1 – sin2 x, то 4 – (1 – sin2 x) = 4 sin x, 3 + sin2 x = 4 sin x, sin2 x - 4 sin x + 3 = 0, Пусть y = sin x, получим уравнение y 2 - 4 y +3 = 0 у1=1; у2=3. sin x =1 или sin x = 3, x = /2 + 2 n, n= Z, решений нет. Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z. Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут) Решите уравнения: 1 вариант 2 вариант 1) tg2 x - 3 tg x + 2 = 0; 1) 2 + cos2 x - 3 cos x = 0; 2) 2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 0; 2) 4 - 5 cos x - 2 sin2 x =0; 3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3; 3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3. 3 этап. Задача: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Указания учителя. Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений. Пример. 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0 Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2 x - sin2 x. (2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin x) = 0, Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos2 x = 1 - sin x. sin x (2sin2 x – 1) – (1 - 2 sin2 x) = 0, sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x - 1) = 0, (2 sin2 x - 1) • ( sin x + 1) = 0. 2 sin2 x – 1 = 0 или sin x + 1 = 0 sin2 x = 1/2, sin x = - 1 sin x = ±1/v2 Ответ: x1 = ± /4 + n, n = Z, x2 = - /2 +2k, k = Z. Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут) Решите уравнения: 1 вариант 2 вариант 1) sin2 x - sin x = 0, 1) ctg2 x - 4 ctg x = 0, 2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0, 2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0. 4 этап. Задача: закрепить навык решения однородных уравнений Указания учителя. Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0, a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, и т.д., где a, b, c – числа. Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0 Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем, что cos x 0 (или sin x 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin2 x + cos2 x = 1). Значит, можно делить на cos x: 5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение 5 tg x – 2 = 0 tg x = 2/5, x = arctg 2/5 + n, n = Z. Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z. Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos2 x (или на sin2 x). Пример 2. 12 sin2 x + 3 sin 2x - 2 cos2 x = 2. Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x + 2cos2 x. Приведя подобные члены, получим уравнение 10sin2 x + 6sin x cos x - 4 cos2 x = 0. (Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может быть, т.к. sin2 x + cos2 x = 1, значит, cos x 0). Разделим обе части уравнения на cos2 x. 10 tg2 x +6 tg x - 4 = 0, tg x = -1 или tg x = 2/5, x = - /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z. Ответ: x1 = - /4 + n, n = Z, x2 = arctg 2/5 + k, k = Z. Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут) Решите уравнения: 1 вариант 2 вариант 1) sin x - cos x = 0, 1) 5sin x +6cos x = 0, 2) sin2 x - sin 2x = 3 cos2 x, 2) 3sin2 x - 2sin 2x +5cos2 x = 2. 5 этап. Указания учителя. Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы. Выполните письменно самостоятельную работу (20 минут) Решите уравнения: 1 вариант 2 вариант 1) cos 2x -5 sin x – 3 = 0, 1) cos 2x + 3 sin x = 2, 2) sin 2x + cos 2x = 0, 2) sin 2x - cos 2x = 0, 3) cos2 x - cos 2x = sin x, 3) 6 - 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x, 4) sin 4x - cos 2x = 0, 4) cos x cos 2x = 1, 5) 5 - 5 cos (/2 - x ) = 2 cos2 ( – x), 5) cos2 (/2 + x ) - cos2 (2 + x) = /2. 6 этап. Указания учителя. Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях. Выполните письменно самостоятельную работу (Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)). Решите уравнения: 1.     sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x, 2.     29 - 36 sin2 (x – 2) - 36 cos (x – 2) = 0, 3.     2sin x cos x + – 2 cos x - v3 sin x = 0, 4.     sin 4x = 2 cos2 x – 1, 5.     sin x (sin x + cos x ) = 1, 6.     1/(1 + cos2 x) + 1/(1 + sin2 x) =16/11. Подсказки:   1.     Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x. 2.     Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 - cos2 y. 3.     Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители. 4.     Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x – 1 = cos 2x. 5.     Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество. 6.     Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите уравнение к квадратному. Оцените свои работы самостоятельно. Домашнее задание: Если вы выполнили задания всех этапов, то дома № 163-165 – любое уравнение Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома задания 6 этапа. Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома задания 5 этапа, и т.д.