Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по математике на тему "Решение тригонометрических уравнений" (10 класс)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Конспект урока по математике на тему "Решение тригонометрических уравнений" (10 класс)

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

Урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе

Тема урока: "Решение тригонометрических уравнений"



Учитель математики Гедровец Ж. Н.

МАОУ «Гимназия №16»

г. Кунгур



Цель: закрепление навыка решения тригонометрических уравнений.

Работа учащихся состоит из нескольких этапов. Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4 этапа, чтобы получить оценку “4” - 5 этапов, чтобы получить оценку “5” - 6 этапов. На каждом этапе ученик встретится с указаниями учителя о том, что нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к выполнению заданий.

Прочитав указания учителя, ученик выполняет самостоятельные работы данного этапа, проверяет ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет учитель. Если допущены ошибки, то ученик их исправляет и решает задания другого варианта, аналогичные тем, где он допустил ошибки. После этого можно переходить к следующему этапу.

1 этап.

Задача: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя.

Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений.

 Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) cos x = 1/2

1) sin x = -1/2

2) sin x = -http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1588.gif/2

2) cos x = http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1588.gif/2

3) tg x = 1

3) ctg x = -1

4) cos (x+http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1589.gif) = 0

4) sin (x – http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1589.gif/3) = 0

5) 2 cos x = 1

5) 4 sin x = 2

6) 3 tg x = 0

6) 5 tg x = 0

7) sin 4x = 1

7) cos 4x = 0

2 этап.

Задача: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. 4 – cos2 x = 4 sin x

Так как cos2 x = 1 – sin2 x, то

4 – (1 – sin2 x) = 4 sin x,

3 + sin2 x = 4 sin x,

sin2 x - 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

y 2 - 4 y +3 = 0

у1=1; у2=3.

sin x =1 или sin x = 3,

x = http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1589.gif/2 + 2 http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1589.gifn, n= Z, решений нет.

Ответ: x = http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1589.gif/2 + 2 http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1589.gifn, n= Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) tg2 x - 3 tg x + 2 = 0;

1) 2 + cos2 x - 3 cos x = 0;

2) 2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 0;

2) 4 - 5 cos x - 2 sin2 x =0;

3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3;

3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3.

3 этап.

Задача: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Указания учителя.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Пример. 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2 x - sin2 x.

(2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos2 x = 1 - sin x.

sin x (2sin2 x – 1) – (1 - 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,

(2 sin2 x - 1) • ( sin x + 1) = 0.

2 sin2 x – 1 = 0

или

sin x + 1 = 0

sin2 x = 1/2,


sin x = - 1

sin x = ±1/v2



Ответ: x1 = ± http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gif/4 + http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gifn, n = Z, x2 = - http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gif/2 +2http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gifk, k = Z.



Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) sin2 x - sin x = 0,

1) ctg2 x - 4 ctg x = 0,

2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0,

2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0.

4 этап.

Задача: закрепить навык решения однородных уравнений

Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, и т.д., где a, b, c – числа.

Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1591.gif0 (или sin x http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1591.gif0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin2 x + cos2 x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0

tg x = 2/5,

x = arctg 2/5 + http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gifn, n = Z.

Ответ: x = arctg 2/5 + http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gifn, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos2 x (или на sin2 x).

Пример 2. 12 sin2 x + 3 sin 2x - 2 cos2 x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x + 2cos2 x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin2 x + 6sin x cos x - 4 cos2 x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может быть, т.к. sin2 x + cos2 x = 1, значит, cos x http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1592.gif0).

Разделим обе части уравнения на cos2 x.

10 tg2 x +6 tg x - 4 = 0,

tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = - http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gif/4 + http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gifn, n = Z, x = arctg 2/5 + http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gifk, k = Z.

Ответ: x1 = - http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gif/4 + http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gifn, n = Z, x2 = arctg 2/5 + http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1590.gifk, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) sin x - cos x = 0,

1) 5sin x +6cos x = 0,

2) sin2 x - sin 2x = 3 cos2 x,

2) 3sin2 x - 2sin 2x +5cos2 x = 2.

5 этап.

Указания учителя.

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

Выполните письменно самостоятельную работу (20 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) cos 2x -5 sin x – 3 = 0,

1) cos 2x + 3 sin x = 2,

2) sin 2x + cos 2x = 0,

2) sin 2x - cos 2x = 0,

3) cos2 x - cos 2x = sin x,

3) 6 - 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x,

4) sin 4x - cos 2x = 0,

4) cos x cos 2x = 1,

5) 5 - 5 cos (http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1593.gif/2 - x ) = 2 cos2 (http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1593.gif – x),

5) cos2 (http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1593.gif/2 + x ) - cos2 (2http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1593.gif + x) = http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1594.gif/2.

6 этап.

Указания учителя.

Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Выполните письменно самостоятельную работу

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

  1. sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,

  2. 29 - 36 sin2 (x – 2) - 36 cos (x – 2) = 0,

  3. 2sin x cos x + http://festival.1september.ru/articles/550841/Image1595.gif– 2 cos x - v3 sin x = 0,

  4. sin 4x = 2 cos2 x – 1,

  5. sin x (sin x + cos x ) = 1,

  6. 1/(1 + cos2 x) + 1/(1 + sin2 x) =16/11.

Подсказки:  

  1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.

  2. Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 - cos2 y.

  3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.

  4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x – 1 = cos 2x.

  5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

  6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.



Домашнее задание:

Если вы выполнили задания всех этапов, то дома № 163-165 – любое уравнение

Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома задания 6 этапа.

Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома задания 5 этапа, и т.д.




Общая информация

Номер материала: ДВ-007157

Похожие материалы