Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методический материал. Опорные таблицы по тригонометрии

Методический материал. Опорные таблицы по тригонометрии


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Название документа алг10 триг Обложка.doc

Поделитесь материалом с коллегами:


hello_html_m370bbe8e.jpghello_html_m30bed78b.jpg







Т

Опорные конспекты

ригонометрия


















hello_html_m7a7e3ffb.jpghello_html_5feeaae7.jpg

Название документа алг10 триг Опорные конспекты.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Формулы тройных углов


hello_html_m35280b4.gifhello_html_1a10dde7.gif




Обратные тригонометрические функции


hello_html_m5838e9b1.gif hello_html_m4173882.gif




Некоторые значения тригонометрических функций

таблица 3

Функция

sin

cos

tg

ctg

15 hello_html_6a59f831.gif

hello_html_2d0bf7bb.gif

hello_html_ebcf277.gif

hello_html_m756c9564.gif

hello_html_m5f7cca1a.gif

18 hello_html_3d9b06fe.gif

hello_html_5a982b7f.gif

hello_html_7021f77.gif

hello_html_m37161f4.gif

hello_html_5abdcbcc.gif

36 hello_html_m28899140.gif

hello_html_4c49d2f4.gif

hello_html_m23e5b45.gif

hello_html_7e634767.gif

hello_html_m4bb6d30b.gif

54 hello_html_m391b8474.gif

hello_html_m23e5b45.gif

hello_html_4c49d2f4.gif

hello_html_m4bb6d30b.gif

hello_html_7e634767.gif

72 hello_html_4686f795.gif

hello_html_7021f77.gif

hello_html_5a982b7f.gif

hello_html_5abdcbcc.gif

hello_html_m37161f4.gif

75 hello_html_4e4b79ad.gif

hello_html_ebcf277.gif

hello_html_2d0bf7bb.gif

hello_html_m5f7cca1a.gif

hello_html_m756c9564.gif


Вопросы для проверки



1. Что такое числовая окружность?

2. Перечислите признаки числовой окружности.

3. Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?

4. Что такое радиан?

5. По каким формулам переводят градусную меру угла в радианную и наоборот?

6. Выразите в радианах углы, равные 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360.

7. Почему ошибочна запись = 180?

8. При каком условии длина дуги равна ее радианной мере?

9. Какой угол называется углом поворота?

10. Какой угол поворота называется положительным? отрицательным?

11. Задайте формулой общий вид углов поворота.

12. Сформулируйте правило «полного оборота».

13. Какие функции называются тригонометрическими?

14. Дайте определение функции синус; косинус; тангенс; котангенс.

15. При каких углах не определен тангенс? котангенс?

16. Назовите значения тригонометрических функций углов 30, 45, 60.

17. Какие значения может принимать синус? косинус? тангенс? котангенс?

18. Определите знаки тригонометрических функций в зависимости от того, в какой четверти находится аргумент.

19. Какие из тригонометрических функций являются четными, какие – нечетными?

20. Чему равен период синуса? косинуса? тангенса? котангенса?





hello_html_20912a03.gif

1. Числовая прямая




Алгебраические функции — это функции, заданные аналитическим выражением, в записи которого используются алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).


hello_html_m502fe0cd.gifу = 2х + 3, hello_html_m58627fab.gif


Числовая прямая — это математическая модель для представления чисел, в которой каждое число соответствует точке на прямой, причем расстояние от точки до начала отсчета равно модулю числа:


hello_html_m7302116d.gif






Признаки числовой прямой:

1) начало отсчета;

2) единичный отрезок;

3) положительное направление (стрелка).
















hello_html_1b65e890.gif

11. Простейшие тригонометрические неравенства




hello_html_69173533.gif













Чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство нужно:


1. Провести прямую к линии соответствующей функции.

2. Выделить дугу, на которой лежат решения неравенства.

3. Найти концы этой дуги, помня, что обход совершается против часовой стрелки от меньшего числа к большему.

4. Прибавить к концам интервала числа, кратные периоду функции.



Рhello_html_m502fe0cd.gifешить неравенство hello_html_5d15a13d.gif.

Решение.


Вhello_html_m70951a3b.gifсе решения, удовлетворяющие заданному неравенству, лежат на дуге l. Найдем ее концы:

hello_html_m140787b2.gif

С учетом периода синуса, запишем ответ:

hello_html_m3ce4f9dd.gif.

Ответ: hello_html_ec0b3c7.gif


hello_html_1b65e890.gif

10. Простейшие тригонометрические уравнения



hello_html_197099.gif











hello_html_1c71c650.gif

Если правая часть уравнения — отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:

hello_html_m27ce2a6e.gif


hello_html_77b14cee.gif

При а = 1; 0; –1 решение уравнения записывается в виде (n Z):

hello_html_715bec02.gif



















hello_html_1b65e890.gif

2. Числовая окружность




Единичная окружность — это окружность, радиус которой принят за единицу измерения.


Числовая окружность — это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности:

hello_html_d0bfa9c.gif








hello_html_477475c8.gifhello_html_77b14cee.gif

Указанное соответствие можно определить следующим образом: каждому числу соответствует такая точка Р числовой окружности, чтобы дуга ОР имела длину || и была отложена в положительном направлении если > 0 и в отрицательном, если < 0:


Признаки числовой окружности:

1) начало отсчета – правый конец горизонтального диаметра;

2) единичный отрезок – длина радиуса окружности;

3) положительное направление – против часовой стрелки.


hello_html_1c71c650.gif

Откладывать можно дуги какой угодно длины. То есть числовую окружность можно рассматривать как окружность радиуса 1, на которую «намотана» числовая прямая:

hello_html_7009e2b4.gif









hello_html_1b65e890.gif

3. Радианная мера углов и дуг




Угол в 1 — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна части окружности.


Угол поворота — это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.


Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.


hello_html_1048a031.gifhello_html_m281aea8b.gif


hello_html_77b14cee.gif

Радианная мера угла численно равна пути, который проходит точка по дуге единичной окружности, на которую опирается этот угол:



Для связи радианов и градусов используют развернутый угол:

hello_html_m18247f21.gif








1hello_html_1c71c650.gif. Говорят: «угол радиан» или чаще «угол ». Обозначение «радиан» или «рад», как правило, опускают.

2. Термин «радианное измерение углов» равносилен термину «числовое измерение углов», т.е. фраза «угол равен двум радианам» равносильна фразе «угол равен числу 2» и даже «угол равен двум». Поэтому вопрос типа «Чему равно ?» некорректен. Нужно спрашивать: «Чему равен угол ?» (60) или «Чему равно число ?» ( 1,05).

hello_html_1b65e890.gif

9. Обратные тригонометрические функции



hello_html_1aa4413c.gif

Арксинусом числа а называется такое число х из интервала hello_html_m402ba445.gif, синус которого равен а.


hello_html_m5799f2cc.gif

hello_html_m6c0d779c.gif

Арккосинусом числа а называется такое число х из интервала [0; ], косинус которого равен а.


hello_html_m14e170a4.gif

hello_html_m27d8cf9d.gif


Арктангенсом числа а называется такое число х из интервала hello_html_1958cf77.gif, тангенс которого равен а.


hello_html_16e23905.gifhello_html_557754db.gif


Арккотангенсом числа а называется такое число х из интервала (0; ), котангенс которого равен а.


hello_html_53d9bd37.gif


hello_html_77b14cee.gif

1. Для отрицательных значений аргумента:

hello_html_m2cabb2b2.gif hello_html_2fbbed3b.gif






2. Из определения аркфункции сразу следует, что:

hello_html_3673c0f0.gif hello_html_4d912929.gif





VI. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):

hello_html_e2bfac0.gif


VII. Формулы сумм:

hello_html_m6be10a7f.gif


VIII. Формулы произведений:

hello_html_2fb58021.gif


IX. Универсальная тригонометрическая подстановка:

hello_html_362f1415.gif

X. Некоторые дополнительные формулы:

hello_html_679baa46.gif

hello_html_1b65e890.gif

4. Угол поворота




Полный оборот — это угол поворота, равный 2 рад (или 360).

hello_html_m4970860e.gif
















hello_html_1c71c650.gif

Некоторые положения конечной точки угла поворота:

hello_html_6205f65f.gif






















hello_html_1b65e890.gif

5. Определение тригонометрических функций




Функция косинус — это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t абсциссу точки М(t) координатной окружности.


Фhello_html_m317fcadb.gifункция синус — это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t ординату точки М(t) координатной окружности.


Если М(t) = М(х; у),
то
х = cos t, у = sin t

Таким образом,

М(t) = М(cos t; sin t)


hello_html_1c71c650.gif

Запись М(t) показывает положение точки М на координатной окружности, а запись М(cos t; sin t) – положение той же точки на координатной плоскости.


Функция тангенс — это частное от деления функции синус на функцию косинус.


Функция котангенс — это частное от деления функции косинус на функцию синус.

hello_html_77b14cee.gif

Поскольку деление на нуль невозможно, функции tg t и ctg t определены не для всех значений аргумента. Тангенс определен лишь для значений аргумента, при которых cos t 0, котангенс определен при sin t 0:


hello_html_462dd4f9.gif



Тригонометрические функции — это общее название функций синус, косинус, тангенс и котангенс.




I. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

hello_html_m17960387.gif


II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

hello_html_406f6d18.gif


III. Формулы приведения:

1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;

2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая углом первой четверти.


IV. Формулы двойного аргумента:

hello_html_m7bcc887c.gif


V. Формулы понижения степени:

hello_html_3b5d2e43.gif

Значения тригонометрических функций
некоторых углов

таблица 1

0






sin

0


hello_html_a0142f1.gif

hello_html_fa0a419.gif

1

0

1

cos

1

hello_html_fa0a419.gif

hello_html_a0142f1.gif


0

1

0

tg

0

hello_html_51479958.gif

1

hello_html_1f08aa35.gif

0

ctg

hello_html_1f08aa35.gif

1

hello_html_51479958.gif

0

0





Связь между тригонометрическими функциями
одного аргумента

таблица 2

Выражение искомой функции через

sin 

cos 

tg 

сtg 

sin  =

sin 

hello_html_m46160f8.gif

hello_html_7eeec02b.gif

hello_html_3d23e2d3.gif

cos  =

hello_html_511bee88.gif

cos 

hello_html_64847bb8.gif

hello_html_m26a9059c.gif

tg  =

hello_html_m17c87c15.gif

hello_html_m3f5239e2.gif

tg 

hello_html_m382e3c25.gif

сtg  =

hello_html_6cd0a017.gif

hello_html_42dd6f9a.gif

hello_html_m8969d51.gif

сtg 

hello_html_1b65e890.gif

6. Графики тригонометрических функций




Тригонометрический набор координат:

hello_html_m7dd86877.gif










уhello_html_m6ff608b0.gif = sin x синусоида








уhello_html_78c8a46d.gif = cos x косинусоида








у = tg x у = ctg x

тангенсоида котангенсоида

hello_html_m755e3648.gif











hello_html_6137b9fe.gif

7. Свойства синуса и косинуса







|sin t| 1


sin(–t) = –sin t






|cos t| 1


cos(–t) = cos t




D(sin) = R

D(cos) = R

Область значений

E(sin) = [–1; 1]

E(cos) = [–1; 1]

Четность – нечетность

нечетная функция

четная функция

Периодичность

sin(x 2) = sin x

cos(x 2) = cos x

8. Свойства тангенса и котангенса

hello_html_6137b9fe.gif






tg t (; +)


tg(–t) = –tg t



hello_html_m5793f22f.gif

hello_html_m856274e.gif

hello_html_m4b0ab145.gif

ctg t (; +)


ctg(–t) = –ctg t




hello_html_m190619e5.gif

Область значений

E(tg) = (; +)

E(ctg) = (; +)

Четность – нечетность

нечетная функция

нечетная функция

Периодичность

tg(x ) = tg x

ctg(x ) = ctg x


18 3


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

Материал не мой, скачала в интернете очень давно и активно пользуюсь. Распечатываю для каждого ученика. Есть еще такая же брошюрка с тренингом. Тренинг полностью не распечатываю, но задания беру. А опорные в 10 и 11 классах присутствуют на уроках вместе с учебником обязательно. Очень удобно и во время изучения материала, и во время повторения и подготовки к ГИА

Спасибо автору.

Автор
Дата добавления 22.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров14
Номер материала ДБ-282453
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх