Методическое указание Интегрирование по частям и рациональных дробей

 Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна»

Инженерная школа одежды (колледж)

МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕ

по выполнению практической работы № 4

на тему: «Неопределенный интеграл. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей»

для студентов по специальностям:

«Конструирование, моделирование и технология швейных изделий»,

 «Финансы»,

«Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)»,

«Гостиничный сервис»,

«Дизайн одежды» (по отраслям)

                          Составила:

Преподаватель: Л.Н. Барабашова

                                                                  Рассмотрено на заседании

                                                                  цикловой комиссии

                                                                  математических и общих

                                                                  естественнонаучных дисциплин

                                                                  Протокол № __________

                                                                  «_____»________ 20 ___ г.

                                                                  Председатель комиссии:

                                                                  ___________ Л.Н. Барабашова

2015

Практическая работа № 4

Неопределенный интеграл. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей  

 

Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления неопределенного интеграла методами интегрирования по частям и интегрирование рациональных дробей.

Содержание работы

I.                        Свойства неопределенного интеграла.

II.                      Таблицы основных интегралов.

III.                  Метод интегрирования по частям.

IV.                 Примеры на применение метода интегрирования по частям.

V.                    Примеры на применение метода интегрирования рациональных дробей.

VI.                 Примеры для самостоятельного вычисления.

VII.              Рекомендуемая литература:

Методические указания

I. А) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

 

Б) Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций

 

B) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла

II.  Таблицы основных интегралов

1.                            2.

                   3.                         4.     

                   5.                      6.     

                   7.                  8.

                   9.                  10.

                   11.

III. Метод интегрирования по частям сводится к вычислению интеграла по формуле

Для вычисления интеграла по этой формуле необходимо подынтегральное выражение исходного интеграла представить как udv. Т.е. часть выражения принять за u, а часть - за dv.

IV. Решим пример на интегрирование по частям:

Решение:

 Положим

   u=lnx          dv=x²dx

дифференцируя u  и интегрируя dv  получим:

           

Постоянная С в этом случае не ставится; она будет поставлена в окончательном результате, когда будет найден данный интеграл.

Обращаемся теперь к формуле интегрирования по частям:

V. Решим пример на интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби:

Решение:

Знаменатель дроби раскладывается на множители:

 x³- 7x²+14x-8=(x-1)(x-2)(x-4)

Так как каждый из двучленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:

Освобождаясь от знаменателя, получим

x²+2x+6=A(x-2)(x-4)+B(x-1)(x-4)+C(x-1)(x-2)

Следовательно,

x²+2x+6=A(x²-6x+8)+B(x²-5x+4 )+C(x²-3x+2)

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

x²+2x+6=(A+B+C)x²+(-6A-5B-3C)x+(8A+4B+2C)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему:

Из которой найдем  A=3, B=-7, C=5.

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

                           

Таким образом,

VI.            Выполнить самостоятельно

Интегрирование по частям

 1.

 2.

 3.

    Интегрирование рациональных дробей

 1.

 2.

 3.

VII. Рекомендуемая литература:

1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977.

2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987.

3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989.

4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., 1980.