Наглядный материал по математике (основные формулы)

Д Е Й С Т В И Я   С  К О Р Н Я М И

	АРИФМЕТИЧЕСКИМ КОРНЕМ - ой степени из неотрицательного числа  называется неотрицательное число b, для которого
		при       Например:

 
 

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

 

1.          Вынесение общего множителя за скобки выполняется по распределительному  закону:

               

2.          Группировка. Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют общие множители, и вынести общий множитель за скобки в каждой группе:

              

Применение формул сокращенного умножения позволяет разложить многочлен на множители:

	Разность квадратов
	Квадрат суммы
	Квадрат разности
	Разность кубов
	сумма кубов
	Куб суммы
	Куб разности

              

К В А Д Р А Т Н Ы Е  У Р А В Н Е Н И Я

	Уравнение вида  где  - некоторые числа (),- переменная, называется квадратным уравнением.
	Формула корней квадратного уравнения:

 

Для решения уравнения следует вычислить дискриминант

Значение	Количество решений уравнения
	Одно решение
	Два решения
	Нет решений

Квадратный трехчлен  можно разложить на множители следующим образом: решим квадратное уравнение  и найдем корни этого уравнения  и . Тогда

Разложение квадратного трехчлена на множители

	Пример Разложить на множители выражение		Решаем уравнение		Находим корни уравнения		Ответ:

 

                               

ПРИВЕДЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

	Уравнение вида  где , называется п р и в е д е н н ы м      к в а д р а т н ы м   у р а в н е н и е м.

 

Решение приведенного квадратного уравнения можно быстро найти, используя теорему Виета.

Теорема Виета

	Сумма корней приведенного квадратного уравнения      равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
			Пример.   Решить уравнение                   подбираем значения:

 

	Квадратный трехчлен     можно разложить на множители
		Если    уравнение примет вид:         Решение:
		Если     уравнение принимает вид   Решение:

 

Д Е Й С Т В И Я   С   Н Е Р А В Е Н С Т В А М И

1. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.	a>b                     +  c>d                 --------                    a+c>b+d
2. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого производится вычитание.	a<b                 +                     c>d                ------------                  a-c>b-d
3. Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.	Если                 a>b>0, c>d>0,           то   ac>bd.
4. Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень или извлекать корень одной и той же степени.	Если     a>b, то        ak >bk    и              где a>0, b>0; k,nN

НЕКОТОРЫЕ  ВАЖНЫЕ  НЕРАВЕНСТВА

	Модуль суммы не превосходит суммы модулей

 
 

 

А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К А Я    П Р О Г Р Е С С И Я

	Арифметической прогрессией называется последовательность чисел   , в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Это число d  называется разностью арифметической прогрессии.
	При d>0 прогрессия является возрастающей. Пример: . Назвать первые пять членов: 2, 5, 8, 11, 14.			При d<0 прогрессия является убывающей. Пример: . Назвать первые пять членов прогрессии: 12, 9, 6, 3, 0.
		Задача. В арифметической прогрессии  известно, с2=-2, d=3. Найдите с1 и сумму первых пяти членов. Решение. c2=c1+d c1=c2-d=-2-3=-5;c1=-5 c5=c1+d(5-1)=-5+=7; S5 = Ответ.

 

	1, 2, 3, 4, 5, … - арифметическая прогрессия с d=1. это натуральный ряд чисел

 

                                                  

Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К А Я    П Р О Г Р Е С С И Я

	Геометрической прогрессией называется последовательность чисел , в которой каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же неизменное число, не равное нулю. Это неизменное число q называется знаменателем прогрессии.
		При  прогрессия называется убывающей. Пример. . Назвать первые пять членов геометрической прогрессии: 24; 12; 6; 3; 1,5.

 

При  прогрессия называется возрастающей. Пример. Назвать первые пять членов геометрической прогрессии: 1, 2, 4, 8, 16.

                                                       

			Задача. Дана геометрическая прогрессия -2; 1; … Найдите частное от деления ее двенадцатого члена на шестой. Ответ. 64.
	Формула n- го члена геометрической прогрессии:
	Формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
				Задача. Дана геометрическая прогрессия . Найдите сумму первых десяти членов: Ответ. 5115.

 

Формула суммы n членов геометрической прогрессии:

                                                    ЗЗ

Ф

Л О Г А Р И Ф М Ы   И   ИХ   С В О Й С Т В А

Логарифмом положительного числа b по основанию  , где   называется показатель степени , в которую нужно возвести число , чтобы получить b. Обозначение:

 

Запись     равносильна  , где  .

	Основное логарифмическое тождество:

 

    

                          

Свойства логарифмов  

1.  

2.  

3.  

	Формула перехода к новому основанию: ,

 

	Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут      вместо
		Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию    и пишут    вместо

 

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

	Теорема.  Если      и   то
	Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения  ,  что  равносильно

 

Примеры.  Решить уравнения:

                                        

                              Ответ. 
    Ответ.           

Пусть     Данное уравнение

сводится к квадратному   .

Корни уравнения находим по теореме Виета:

  не имеет корней.

                  Ответ.  

, - возрастающая функция		- убывающая функция

                                          

ГРАДУСНОЕ И РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Радиус  ОА  называется  начальным радиусом.

y

             В                       

Если повернуть начальный радиус около точки О по часовой стрелке, то угол поворота считается  отрицательным.

               

             +        А

                         x

О           -

	Если повернуть начальный радиус около точки О против часовой стрелки, то угол поворота считается  положительным.

 

               С

Углы и дуги могут измеряться в градусах и радианах.

	Угол в 10 – это угол, который опишет начальный радиус, совершив  часть полного оборота вокруг своей начальной точки против часовой стрелки.		Угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

 

Радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины дуги АВ, описанной произвольным радиусом из центра О и заключенной между сторонами угла, к радиусу ОА этой дуги.

углы в градусах	3600	1800	900	600	450	300
Углы в радианах	2

Формула перехода от радианной меры угла к градусной: .

Формула перехода от градусной меры угла в радианы: .

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

градусы	0	300	450	600	900
	0				1
	1				0
	0		1		-
	-		1		0

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

1.      ,   

2.     ,  

3.           

4.              

                  Частные случаи решения уравнений   1  и   2.

уравнение	решение

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

функция	производная
	0
	1

функция	производная
	-

Правила дифференцирования

Пусть k- постоянное число,  и  две функции,  дифференцируемые

на некотором интервале 

Постоянный множитель можно                                                выносить за знак производной.

                                                                

 

Правила  дифференцирования

 

ПРОИЗВОДНАЯ  СЛОЖНОЙ  ФУНКЦИИ

	Если    есть функция от    :  , где  ,   то есть если  зависит от   через промежуточный аргумент  ,  то называется функцией от функции или сложной функцией.
	Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному  аргументу на производную этого аргумента по независимой  переменной.

 

Производные сложных функций 

функция	производная	функция	производная

П Е Р В О О Б Р А З Н А Я

Функция    называется  первообразной функцией от  на некотором промежутке, если для всех  из этого промежутка выполняется условие:

 

Операция, обратная дифференцированию, называется  интегрированием. Выполняя интегрирование, мы находим первообразную функцию, используя формулы интегрирования.

Таблица  первообразных

функция	первообразная
1

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть точка движется прямолинейно по закону   S=S(t), где S – перемещение точки за время t.

      S                           

                                 S(t)             

S₂(t₂)

Средняя скорость точки за промежуток времени

S₁(t₁)

                            

 O                   t₁             t₂     t

Мгновенная скорость точки в данный момент времени t₁  равна значению производной от закона движения.    .

Такие величины как перемещение, скорость и ускорение  при движении точки связаны между собой.

Производную от производной называют второй производной или производной второго порядка.

                                                                                                      

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

 

  Y                                    

f(x₀)                                                 Производная функции в точке  

                                                      равна тангенсу угла наклона касательной,

                                                      проведенной к графику функции в точке 

                                                   с координатами       

   О                   x₀             x

,

                              -  угловой коэффициент касательной.

Уравнение касательной к графику  , проведенной в точке с координатами   имеет вид:

СВЯЗЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО АРГУМЕНТА

                                                Теорема Пифагора  : 

              y

                                                                  

                   1  

                                                                     Основное тригонометрическое

              О        x                                            тождество:

                                                    

Основные формулы:

 
 

Знаки тригонометрических функций

y                                     y                                      y                                   y

2      1                         +      +                             -       +                           -        +

3      4           x                O                 x                 O                  x                O                                                                         

                                     -        -                             -       +                           +        -

Нумерация                   знаки синуса                       знаки косинуса                 знаки тангенса

координатных                                                                                                      и котангенса   

четвертей

ПРИМЕРЫ  ПРИМЕНЕНИЯ  ФОРМУЛ

	Если известна одна из тригонометрических функций, то , используя формулы, можно вычислить все остальные тригонометрические функции угла, учитывая в какой четверти лежит заданный угол.
			так как синус в 4 четверти отрицателен.
	Угол  лежит в 4 четверти

 
 

Ф О Р М У Л Ы   П Р И В Е Д Е Н И Я

Тригонометрические функции углов вида   могут быть выражены через функции угла с помощью формул приведения.

 

Правило формул приведения:

Для углов   и   название исходной функции сохраняется. Для углов  и   название исходной функции заменяется на кофункцию.

Функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция.

Угол  считать острым.

Примеры:

                                                         y

                                                              

                                                                      

                                                 2          1

                                                                               x

                                                  3         4