Обобщающий урок геометрии в 8-м классе по теме "Признаки подобия треугольников"

Обобщающий урок геометрии в 8-м классе по теме

 "Признаки подобия треугольников"

Учитель математики: Азикова Жанна Хасеновна

 Цели урока: 

 Образовательные:

• обобщить и систематизировать, расширить  знания по теме: “Признаки подобия треугольников”;
• продолжить формирование у учащихся навыков применения признаков подобия треугольников при решении задач.

Развивающие:

• развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать, делать выводы;
• развивать интерес учащихся к изучаемому предмету, самостоятельность;
• развивать творческие способности учащихся.

Воспитательные:

• формировать мотивы познавательной деятельности,
• эстетическое воспитание учащихся.

Оборудование:

• мультимедийный проектор, экран;
• презентация для сопровождения урока;   
• раздаточный материал;
• оценочный лист.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Структура урока:

1.      Организационный момент.

2.      Актуализация опорных знаний:
а) проверка  домашнего задания (самостоятельная работа);
б) повторение теоретического материала;
в) устное решение задач;                                                                                                                     г) письменное решение задач;

3.      Воспроизведение знаний на новом уровне (Дифференцированная работа)

4.      Обобщающая деятельность учащихся

5.      Исторические сведения

6.      Домашнее задание.

7.      Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Слово учителя о цели этого урока.

         Треугольник – самая простая геометрическая фигура, знакомая нам с детства. К треугольнику на уроках геометрии мы обращаемся чаще всего. Эта фигура таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты.     Один мудрец сказал: “Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление ума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная”. Это одна из основных  фигур школьного курса планиметрии. Подобие, наряду с равенством треугольников, является одним из важнейших геометрических отношений. Если равенство объектов мы понимаем как «одинаковость» и по форме, и по размеру, то подобие объектов означает их                         « одинаковость» только по форме. Умение решать задачи на применение признаков подобия широко используется в геометрии, физике, астрономии.

Сегодняшний урок мы посвятим решению задач по теме: “Признаки подобия треугольников”. Это урок обобщения и систематизации знаний, где мы с вами      рассмотрим применение признаков подобия при решении   задач. Запишите число, классная работа и тему урока

II. Актуализация опорных знаний.

Оценка за урок будет складываться из набранных на каждом этапе урока баллов.

Критерии оценки:

·         Выше 18      баллов – «5»

·          15-18          баллов – «4»

·          10-14          баллов  -  «3»

·         Менее  10    баллов – «2»

Чтобы урок прошел успешно, надо повторить теоретический материал. Но сначала проверим, как вы справились с домашним заданием.

Итак, я вам предлагаю небольшую самостоятельную работу на 3–5 минут.

а)  Самостоятельная работа по теме “Признаки подобия треугольников”  (Приложение  1.)

Критерии :  1 балл-« 1 задание», по 2 балла – «2 и 3 задания».   

б) Повторение теоретического материала:

 Критерии : по 1 баллу за каждое правило 

1)      Дайте определение подобных треугольников. [ Два треугольника называются подобными, если три угла первого треугольника равны трём углам второго треугольника, а три стороны первого треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго]   

2)       Дайте определение коэффициента подобия.  [Коэффициентом подобия называется отношение сходственных сторон подобных треугольников]

3)      Каков коэффициент подобия двух равных треугольников?  [1]

4)      Чему равно отношение площадей двух подобных треугольников? [отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия]

5)      Перечислите признаки подобия треугольников.[ 1 признак – подобие треугольников по двум углам; 2 признак – подобие треугольников по пропорциональности двух сторон и углу между ними;  3 признак – признак подобия по пропорциональности трёх сторон]

в) Устное решение задач:

Учащиеся фронтально решают устные задачи по готовым чертежам (на слайдах), объясняя ход решения задачи.

 Критерии : по 2  балла за  каждое верно решённое задание

Пример 1                                                                            

Дано: PEMD – трапеция

Найти подобные треугольники и                                                     

доказать их подобие.

Пример 2

Найти подобные треугольники и                                                      

доказать их подобие.

Пример 3                                                                                        

                                                                                                                         ∆ ABC ~ ∆ A₁B₁C₁

                                                                                                                         Найти: х, у

г) Письменное   решение задач.

Задача №1.        Три стороны треугольника равны 6см, 8см, 9см. Через середину стороны  длины 8 см проведена прямая, которая пересекает сторону треугольника, рассекая искомый  на треугольник, подобный исходному, и четырёхугольник, не являющийся трапецией. Найдите периметр четырёхугольника.

                                Дан рисунок.                                                                Исправленный рисунок

 

Рисунок выполнен неверно.  На рисунке М= С. Но   Но   М и С – соответственные при прямых  NM и ВС и секущей АС. Тогда по признаку параллельности прямых  MN || ВС и    четырёхугольник  BNMC – трапеция, что противоречит условию задачи.

Угол А у подобных треугольников – общий. Тогда прямая MN  пересекает сторону АВ по другому.

Дано:  АВС- треугольник: АВ=6,  АС=8, ВС=9. М- середина АС, MN         ВС,               

            ∆АВС  ~  ∆AMN, BNMC – четырёхугольник.

Найти:   периметр четырёхугольника BNMC .

                                                              Решение:

BNMC – произвольный четырёхугольник.

∆АВС  ~  ∆AMN   ( по условию). Тогда выполняется условие:

АВ : АМ =ВС : МN=АС : AN

МС=АМ=½ АС= 4. ( по условию М- середина АС).

6 : 4=9 : МN = 8 : AN,             9 : МN = 3 :2;     МN= (9∙2) :3 =6(см).

8 : AN = 3 :2;     AN = (8∙2) :3 = 16/3 = 5 1/3.

NB= АВ – AN,   NB= 6 – 5  1/3 =2/3,     Р = 4+ 6 +2/3 +9 = 19 2/3(см)

Ответ: 19 2/3(см)

Задача №2.    Биссектриса  AD  треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки CD и  BD, равные соответственно 3,5см и 10,5см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 46см.

                                                                                                     Дано:     ∆АВС , D  ВС,

                                                                                                     AD – биссектриса треугольника,

                                                                                                      CD=3,5см, BD=10,5см

                                                                                                      Р _∆АВС = 46см.

                                                                                                      Найти: АВ иАС

                                                                    Решение:

По условию AD – биссектриса треугольника. Тогда по свойству биссектрисы  выполняется соотношение:  CD : BD= АС : АВ.  АС : АВ = ⅓, т.е. АВ = 3АС. Р _∆АВС = 46см

ВС = 10,5 + 3,5 = 14(см).  Имеем:  АВ + АС + ВС = 46,  3АС + АС +14 = 46,   4АС = 32,

АС = 8(см), АВ = 3∙ 8 =24(см)

Ответ: 8см и 24см.

III. Воспроизведение знаний на новом уровне ( дифференцированная работа)

1.  Тест. Я предлагаю Вам небольшой тест, проверьте каждый сам себя, как хорошо вы изучили тему. В тесте 5 вопросов, внимательно прочтите сначала вопрос, затем предложенные ответы и лишь потом подчеркните ответ, который вы считаете правильным. (Приложение 2.)   Самопроверка.

Критерии оценок:    по 1  баллу-«1 и 2 задания »,   по 2 балла – «3 – 5 задания ».   

2.  Индивидуальная работа по карточкам (Приложение 3.)    

IV. Подготовка учащихся к обобщающей деятельности.

В геометрии подобными могут быть не только треугольники, но и совершенно произвольные фигуры. На слайде мы видим подобные пятиугольники, фигуры, подобные на звёзды, фигуры со стрелками, параллелограммы.

Как вы думаете, какими свойствами они все обладают?  [ У них одинаковые формы, но разные размеры]

Пропорциональность проявляется везде: в подобном строении дерева и его ветвей, в форме снежинок и кристаллов

Стекло и хрусталь состоят из мельчайших частиц, кристаллов. Поверхность хрустальной вазы состоит из геометрических фигур, которые подобны друг другу.

 V . Выступление ученика о практической деятельности в Древней Руси.

    Вот такие задачи т. е. -  измерительные работы на местности:

1.             Измерение высоты предмета ( телеграфного столба, водонапорной башни, высоты дерева )

2.            Расстояние до недоступной точки ( ширина реки, болота) с использованием признаков подобия мы будем решать в следующей теме.

Геометрия- это наука, которая обладает всеми свойствами хрустального стекла, такая же прозрачная в рассуждениях, безупречная в доказательствах, ясная в ответах. Геометрия до конца не изученная наука, и может быть, многие открытия ждут именно вас.

VI.      Домашнее задание  ( по группам – по карточкам) (Приложение 4.)   

1.Менее 14 баллов– « 3 балла»

2. 15 – 18 баллов–       «5 баллов»

3. Более 18 баллов– « 7 баллов»

VII.  Итог урока.( Слайд  17)  

Пришло время подвести итог: используя схему на слайде, ответьте на вопросы:

·               Что вы узнали нового?  Я знаю…

·               Чему научились?  Я умею..

·               Что вам показалось особенно трудным? Я не могу..

Вы все активно работали на уроке, аккуратно выполняли чертежи, хорошо справились с тестом, отлично выполнили  самостоятельную работу, открыли для себя  что – то новое, были очень внимательны и любознательны. Поэтому за урок вы получаете следующие оценки…………………………….

    Всем удачи, спасибо за урок.

Приложение 1:  Самостоятельная работа  в 2 вариантах

Приложение 2:  Тест в 2 вариантах

Приложение 3:  Набор карточек для индивидуальной работы.

Приложение 4:  Набор карточек для домашней работы

Приложение 5:  Оценочный лист.

Приложение 1

Самостоятельная работа

1.	Доказать подобие треугольников и найти коэффициент подобия  (1 балл)
2.	Доказать, что ∆DOC ~ ∆AOB  и найти   D, если   A=350  (2 балла)
3.	Найти х, если АВ=21, ВС=30, МС=10  (2 балла)
4.                                         дополнительно	Найти х, если АN=6, AС=12, AE=10  (3 балла)

Вариант 1

 

 

 

Самостоятельная работа

1.	Доказать подобие треугольников и найти коэффициент подобия  (1 балл)
2.	Доказать, что ∆DOC ~ ∆AOB  и найти   D, если   A=250  (2 балла)
3.	Найти х, если АВ=16, ВС=20, МС=5  (2 балла)
4.                    дополнительно	Найти х, если АО=10, AС=40, РА=20  (3 балла)

Вариант 2

 

Приложение 2

Тест

Вариант 1

1.                 Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то треугольники:

а) равны;   б) подобны;   в) нет ответа  (1 балл)

 

2. Если треугольники подобны, то :

а) стороны равны;   б) углы пропорциональны;   в) углы равны  (1 балл)

 

3. Углы треугольника равны 20⁰, 40⁰, А⁰. Угол, соответствующий углу А подобного треугольника, равен:

а) 40⁰;   б) 120⁰;   в) 60⁰ ; г) 20⁰  (2 балла)

 

4. По какому признаку ∆AВО подобен ∆СДО, если  В=Д:

а)II;   б) I;   в) III       (2 балла)

5. Отношение        , если АВ=4;, СД=12:

а)9;   б) 8;   в) 4         (2 балла)

                    

Тест

Вариант 2

1.Если углы одного треугольника равны углам другого треугольника, то треугольники:

а) подобны;   б) нет ответа; в) равны;     (1 балл)

 

2. Если треугольники подобны, то :

а) стороны пропорциональны;   б) стороны равны;   в) углы пропорциональны (1 балл)

 

3. Углы треугольника равны 15см, 21см, 30см. Две стороны подобного ему треугольника- 10см и 5 см. Длина третьей стороны:

а) 7см;   б) 3см;   в) 12см ; г) 10см  (2 балла)

 

4. По какому признаку ∆AВО подобен ∆СДО, если  В=Д:

а)II;   б) I;   в) III       (2 балла)

 

5. Отношение        , если АВ=6;, СД=4:

а)4/9;   б) 9/4;   в) 2/3         (2 балла)

 

                    

 

Приложение 3

Карточка для индивидуальной работы Вариант 1 Найдите АВ и ВС , если DE ║ AC

Решение

1.                  ∆DBE  ~ ∆ABC (по 2 углам: В- общий, А =D как соответственные при DE ║ AC и секущей АВ)

2.                  Тогда выполняется равенство

DB : AB = BE : BC = DE : AC,   AB = x+6

6 : (х+6) = 8 : ВС = 10 : 15, к= 2 : 3

3. 6 : (х+6) = 2 : 3  и 8 : ВС= 2 : 3

2х + 12 = 18, 2х = 6, х = 3

ВС= (8 * 3):2=12  АВ = 3+6=9

Ответ: ВС=12, АВ = 9

Критерии баллов:

5 баллов: решение выполнено верно и без ошибок

4 балла: допущена одна ошибка и ответ получен неверно

3 балла: найдена только одна из сторон ВС или АВ

2 балла: доказано подобие треугольников и составлено отношение сторон

1 балл: доказано подобие треугольников

Карточка для индивидуальной работы Вариант 2 (дополнительно) Прямые а и b параллельны. Найдите х и у

 

 

 

Карточка для индивидуальной работы Вариант 3 (дополнительно) В треугольнике АВС  АС=12см, ВС=8см, АВ=6см. Продолжение сторон АВ и СВ за точку В соответственно равны : ВЕ=3см, ВМ=4см. Найдите длину отрезка ЕМ

Карточка для индивидуальной работы Вариант 4 (дополнительно) ABCD – параллелограмм, ВН и ВЕ – высоты. Найдите ВС , если АН=6см, DE=1см, ЕС=9см

Карточка для индивидуальной работы Вариант 5 (дополнительно) Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5см и 6 см. Разность площадей этих треугольников составляет 22см2. Чему равна площадь меньшего из треугольника?

Приложение 4

Набор карточек для домашней работы

Карточка на 3 балла

Задача 1.

                                                                     Дано: AB ║ CD

                                                                               AO = 1,5см

                                                                               OB = 1 см

                                                                               CO = 3 см

                                                                               CD = 4,5см

 

 

                                                                    Найти: 1)  подобны ли треугольники AOB и DOC

                                                                                 2)  укажите сходственные стороны , К

                     3) AB-?  OD-?

4)

 

Задача 2.

                                                                    Найдите АС, если ВС= 12см,

                                                                                                               NM = 6см,

                                                                                                               CN = 4см,

                                                                                                                BM = NC                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Карточка на 5 баллов

Задача 1.

Одна из диагоналей трапеции, равная 16 см, делит другую диагональ на части, равные 7см и          5 см. Определить, на какие части делится точкой пересечения первая диагональ, и найти большее основание трапеции, если меньшее ее основание равно 4 см.

Задача 2.

В треугольнике АВС АВ=15см, АС=20см, ВС=32см. На стороне АВ отложен отрезок AD=9см, а на стороне АС- отрезок АЕ=12см. Найти DE и отношение площадей треугольников АВС и  ADE

 

Карточка на 7 баллов

Задача 1.

Две параллельные улицы пересекаются двумя улицами, выходящими из одного пункта А. Длины параллельных улиц, заключенных между лучевыми улицами, равны 0,75км и 1,25км. Трамвай идет по одной из лучевых улиц от пункта А до первой из параллельных улиц 15 мин. Сколько времени он при такой же скорости будет идти по той же лучевой улице от первой до второй из параллельных улиц.

Задача 2.

В треугольнике АВС и MNK, В = N. Отношение сторон, заключающих угол В, к сторонам, заключающих угол N, равно 0,6. Найдите стороны АС и MK, если их разность равна 24дм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 5

 

Лист самооценки ученика

№п/п	Вид работы	Кол – во баллов
1.	Самостоятельная работа по проверке домашнего задания
2.	Теоретический материал
3.	Устное решение задач
4.	Дифференцированная работа
	Итого:

Критерии  оценки:   менее 10 баллов – «2»

                                  10 – 14 баллов  - «3»

                                   15-18  баллов -  «4»

                                    более 18 баллов – «5»