План конспект по Алгебре 9 класс на тему: «Преобразование неравенств».

План конспект по Алгебре 9 класс на тему: «Преобразование неравенств».

Цель урока: добиться усвоения учащимися содержания понятия «добавить неравенства почленно» и «перемножить неравенства почленно», а также содержания свойств числовых неравенств, выраженные теоремами о почленне добавление и почленне умножение числовых неравенств и следствий из них. Выработать умение воспроизводить названные свойства числовых неравенств и использовать эти свойства для оценки значений выражений, а также продолжить работу по отработке навыков доказательства неравенств, сравнение выражений с использованием определения и свойств числовых неравенств

Тип урока: усвоение знаний, выработка первичных умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект.

Ход урока

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

 II. Проверка домашнего задания

Учащиеся выполняют тестовые задания с последующей проверкой.

 III. Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся

Для сознательного участия учащихся в формулировке цели урока можно предложить им практические задачи геометрического содержания (например, на оценку периметра и площади прямоугольника, длины смежных сторон которого оценено в виде двойных неравенств). Во время беседы учитель должен направить мысль учеников на тот факт, что хотя задачи похожи на те, что были решены на предыдущем уроке (см. урок № 4, оценить значение выражений), однако в отличие от названных не могут быть решены теми же средствами, поскольку необходимо оценить значения выражений, содержащих две (а в перспективе и более) буквы. Таким образом ученики осознают существование противоречия между знаниями, которые они получили до этого момента, и необходимостью решения определенной задачи.

Результатом выполненной работы является формулировка цели урока: изучить вопрос о такие свойства неравенств, которые могут быть применены в случаях, подобных описанным в предложенном задании ученикам; для чего следует четко сформулировать математическим языком и в словесном виде, а затем довести соответствующие свойства числовых неравенств и научиться использовать их в комплексе с изученными ранее свойствами числовых неравенств для решения типовых задач.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Сравните числа а и b, если:

1) а - b = -0,2;

2) а - b = 0,002;

3) а = b - 3;

4) а - b = m2;

5) а = b - m2.

2. Известно, что 0 а 2. Оцените значение выражения:
1) a + 1; 2) а - 1; 3) 2; 4) ; 5) .

3. Сравните значения выражений а + b и ab, если а = 3, b = 2. Ответ обоснуйте. Будет выполняться полученное соотношение, если:

1) а = -3, b = -2;

2) a = -3, b = 2?

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Свойство о почленне добавление числовых неравенств (с доводкой).

2. Свойство о почленне умножение числовых неравенств (с доводкой).

3. Следствие. Свойство о почленне умножение числовых неравенств (с доводкой).

4. Примеры применения доказанных свойств.

Опорный конспект

Теорема (свойство) о почленне добавление числовых неравенств
Если а b и c d, то a + c b + d.
Доведение .
Теорема (свойство) о почленне умножение числовых неравенств
Если 0 а b и 0 c d, то ac bd. Доведение . Следствие. Если 0 а b, то an bn, где n - натуральное число.
Доведение
			(по теореме о почленне умножение числовых неравенств).
Пример 1. Известно, что 3 а 4; 2 b 3. Оценим значение выражения:  1) а + b; 2) а - b; 3) b; 4) . Решение
1)		2) а - b = а + (-b)     2 b 31 ∙ (-1) - 2 > -b > -3		3)		4)     (0) 2 b 3
Пример 2. Докажем неравенство (m + n)(mn + 1) > 4mn, если m > 0, n > 0.
Доведение Использовав неравенство (где а ≥ 0, b ≥ 0) и полученную из нее неравенство a + b ≥ 2 (а ≥ 0, b ≥ 0), для m ≥ 0 и n ≥ 0 имеем:
m + n ≥ 2, (1) mn + 1 ≥ 2. (2)
По теореме о почленне умножения неравенств перемножим неравенства (1) и (2) почленно. Тогда имеем: (m + n)(mn + 1) ≥ 2 ∙ 2, (m + n)(mn + 1) ≥ 4, следовательно, (m + n)(mn + 1) ≥ 4mn, где m ≥ 0, n ≥ 0.

Методический комментарий

Для осознанного восприятия нового материала учитель может на этапе актуализации опорных знаний и умений учащихся предложить решения устных упражнений с воспроизведением соответственно определение сравнения чисел и изученных на предыдущих уроках свойств числовых неравенств (см. выше), а также рассмотрение вопроса о соответствующие свойства числовых неравенств.

Обычно ученики хорошо усваивают содержание теорем о почленне сложение и умножение числовых неравенств, однако опыт работы свидетельствует о склонности учащихся к определенным ложных обобщений. Поэтому с целью предупреждения ошибок при формировании знаний учащихся по этому вопросу путем демонстраций примеров и контрпримеров учителю следует сделать акцент на следующих моментах:

· сознательное применение свойств числовых неравенств невозможно без умения записывать эти свойства как математическим языком, так и в словесном виде;

· теоремы о почленне сложение и умножение числовых неравенств выполняются только для неровностей одинаковых знаков;

· свойство о почленне добавление числовых неравенств выполняется при определенном условии (см. выше) для любых чисел, а теорема о почленне умножения (в том виде, как это заявлено в опорном конспекте № 5) только для положительных чисел;

· теоремы о почленне вычитания и почленне деление числовых неравенств не изучаются, поэтому в случаях, когда необходимо оценить разницу или долю выражений, эти выражения представляются в виде суммы или произведения соответственно, и далее уже при определенных условиях используют свойства о почленне сложения и умножения числовых неравенств.

VI. Формирование умений

Устные упражнения

1. Добавьте почленно неравенства:

1) а > 2, b > 3;

2) с -2, d 4.

Или можно те же неравенства почленно перемножить? Ответ обоснуйте.

2. Перемножте почленно неравенства:

1) а > 2, b > 0,3;

2) с > 2, d > 4.

Или можно те же неровности добавить? Ответ обоснуйте.

3. Определите и обоснуйте, является ли правильным утверждение, что если 2 а 3, 1 b 2, то:

1) 3 а + b 5;

2) 2 аb 6;

3) 2 - 1 а - b 3 - 2;

4) ?

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) добавить и перемножить почленно данные числовые неравенства;

2) оценить значение суммы, разности, произведения и частного двух выражений по данным оценкам каждого из этих чисел;

3) оценить значение выражений, содержащих данные буквы, по данным оценкам каждой из этих букв;

4) доказать неравенство с использованием теорем о почленне сложение и умножение числовых неравенств и с использованием классических неравенств;

5) на повторение свойств числовых неравенств, изученных на предыдущих уроках.

Методический комментарий

Письменные упражнения, которые предлагаются для решения на этом этапе урока, должны способствовать выработке устойчивых навыков по-членного сложение и умножение неравенств в простых случаях. (При этом отрабатывается очень важный момент: проверка соответствия записи неравенств в условии теоремы и правильная запись суммы и произведения левой и правой частей неравенств. Подготовительная работа проводится во время выполнения устных упражнений.) Для лучшего усвоения материала следует требовать от учащихся воспроизведения изученных теорем при комментировании действий.

После успешной проработки учащимися теорем в простых случаях они могут постепенно переходить к более сложных случаев (на оценивание разности и частного двух выражений и более сложных выражений). На этом этапе работы учителю следует внимательно следить за тем, чтобы ученики не допустили типичных ошибок, пытаясь разницу и оценивать долю за собственными ложными правилами.

Также на уроке (конечно, если позволяет время и уровень усвоения учащимися содержания материала) следует уделить внимание упражнениям на применение изученных теорем для доказательства более сложных неравенств.

VII. Итоги урока
Контрольное задание

Известно, что 4 а 5; 6 b 8. Найдите неверные неравенства и исправьте ошибки. Ответ обоснуйте.

1) 10 а + b 13;

2) -4 а - b -1;

3) 24 аb 13;

4) ;

5) ;

6) 16 а2 25;

7) 100 а2 + b2 169?

VIII. Домашнее задание

1. Изучить теоремы о почленне сложение и умножение числовых неравенств (с доводкой).

2. Выполнить упражнения репродуктивного характера, аналогичные упражнениям классной работы.

3. На повторение: упражнения на применение определение сравнения чисел (на доведение неровностей и на сравнение выражений).

Учебник А.Г. Мордкович № 2.4, 2.7 (в, г)