Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: "Комплексные числа"

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 11

Тема: Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Методические указания для практической работы

Теоретические сведения к практической работе

1. Понятие комплексного числа

Комплексными числами называются числа вида

                                            ,                                         (1.1)

где x, y – действительные (вещественные) числа,  а  число i  определяемое равенством = – 1 (),  называется мнимой единицей.

Число x называется действительной (вещественной) частью комплексного числа (используется обозначение );  y – мнимой частью комплексного числа z ().

Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного

числа.

Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если , то получается вещественное число . Два комплексных числа  и  называются сопряженными. Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа. Пример 1. Решить уравнение . Решение. Дискриминант данного уравнения:  меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей: , т.е. ;   . Два комплексных числа  и  равны друг другу, если  и ; комплексное число z считается равным нулю, если . Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чисел: х Число z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс–действительной, а ось ординат–мнимой осью комплексной плоскости. Число  называется модулем комплексного числа  и обозначается  или .

2. Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку  M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси Oх располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка  (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор  образует с положительным направлением оси Oх. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию .

При этом выражение вида

                                                           (1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что φ – аргумент комплексного числа  z  можно найти, решив систему

                    или                         (1.3)

Заметим, что при выборе значений φ из последнего уравнения необходимо учитывать знаки  x и y.

φ – аргумент комплексного числа  z  можно найти формул ,  (1.3) или в силу того, что , .

Пример 2.  Записать комплексное число в тригонометрической форме:

a)   6i;    b) , указать модуль и аргумент комплексного числа.

Решение. a)   Здесь х=0, у=6  .

Поскольку число 6i лежит на положительной полуоси Оу, то значение аргумента , поэтому   .

b)  Здесь х=1, у= .

По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .

Пример 3. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа: . Угол φ найдем из соотношений , . Тогда получим . Очевидно, точка  находится во второй четверти: .

Подставляя в формулу (1.2) найденные r и φ, имеем .

3. Действия над комплексными числами

1) Сумма двух комплексных чисел  и  определяется согласно формуле .

2) Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число , если , является разностью комплексных чисел z₁ и z₂. Тогда .

 Пример 4. Выполнить действия: а) (4+2i)+(1+5i);  b) (3+5i)-(6+3i).

а) По правилу сложения комплексных чисел получим

(4+2i)+(1+5i)=(4+1)+(2+5) i =5+7i.

b) По правилу вычитания комплексных чисел получим

(3+5i)-(6+3i)=(3-6)+(5-3)i=-3+2i.

3) Произведение двух комплексных чисел  и  определяется по формуле  . В частности.

Можно получить формулу умножения комплексных чисел в  тригонометрической форме.

Имеем .

Пример5. Выполнить действия: а) 2i 3i;  b) (2-3i)-(2+3i); с) (5-4i)-(3+2i).

а) 2i 3i=6i²=-6;

b) (2-3i)-(2+3i)=4-9i²=4+9=13;

с) (5-4i)-(3+2i)=(53-(-4)2)+ i(5+3(-4)=23-2i.

Можно выполнить умножение по правилу умножения многочленов:

(5-4i)-(3+2i)=15+10i -12 i +8=23-2i.

4) Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению, то есть число  называется частным от деления z₁ на z₂, если . Тогда

 .

Окончательно .

B  тригонометрической форме:

.

 Операция деления возможна только в случае, когда ).

Пример 6. Выполнить действия: а)  ;    b)   ;   с) ;    d)

и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение.

а)Умножаем делимое и делитель на  i, получим    .

b) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю:      .

с) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю:      .

d) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю:

;

Вещественная и мнимая части равны: ,  .

5) Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра

                     .                                   (1.4)

6) Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

,   k=0,1,…,n-1.         (1.5)

Пример 7. Вычислить:  .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме.

Имеем: ;    и  , т.е.  (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно,  и   (в силу (1.4)). Учитывая, что  и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

.

Пример 8. Возвести число  в пятую степень.

Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z. . Отсюда , а . Тогда по формуле Муавра получим:

.

Пример 9. Вычислить: .

Тригонометрическая форма заданного числа имеет вид   (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

;

;

.

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 11

Тема: Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

    Задание 1. Выполните сложение комплексных чисел, выпишите    вещественную и мнимую  части полученных комплексных чисел:

    а) (5+3i)+(1+10i);      б) (3+i)+(-3-8i);     в) (-6+2i)+(-6-2i).

Задание 2. Выполните действия:

      а)  (2-3i)+(5+6i)+(-3-4i);               б)  (1-i)-(7-3i)-(2+i)+(6-2i).

Задание 3. Выполните умножение комплексных чисел:

а) (5-3i)2i ;         б) -i        в) (5+3i)(2-5i);         г)(3+4i)(3-4i).

Задание 4. Выполните деление комплексных чисел:

      а)  ;               б)   ;                 в) ;               г)    .

Задание 5. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

       а) 3i ;       б) ;      в) 2-2i;         г) -i

Задание 6. Решите  уравнения:

а) ;                               г) ;

 б) ;                   д) ;   

 в) ;                  е) .

Задание 7. Выполните действия:

а)(1-i)¹²;       б) ;      в);       г)