Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: "Комплексные числа"

Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: "Комплексные числа"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifДисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 11

Тема: Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Методические указания для практической работы

Теоретические сведения к практической работе

1. Понятие комплексного числа

Комплексными числами называются числа вида

hello_html_6747abc9.gif, (1.1)

где x, y – действительные (вещественные) числа, а число i определяемое равенством hello_html_m3bf0b300.gif= – 1 (hello_html_77e87950.gif), называется мнимой единицей.

Число x называется действительной (вещественной) частью комплексного числа (используется обозначение hello_html_m48014871.gif); y – мнимой частью комплексного числа z (hello_html_701f67d1.gif).

Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного

числа.

Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если hello_html_m3215951b.gif, то получается вещественное число hello_html_m2bedfba5.gif.

Два комплексных числа hello_html_70035c29.gif и hello_html_216e7344.gif называются сопряженными. Используя формулу разности квадратов, получаем, что hello_html_m6c5be0c1.gif.

Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m5f130e27.gif.

Решение. Дискриминант данного уравнения: hello_html_m7654ce7e.gif меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

hello_html_m722e7599.gif, т.е. hello_html_2e789ea9.gif; hello_html_635fb678.gif.

Два комплексных числа hello_html_41016db6.gif и hello_html_m3f5afbec.gif равны друг другу, если hello_html_m5b69285d.gif и hello_html_47b381c0.gif; комплексное число z считается равным нулю, если hello_html_15d9a41.gif.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чиселhello_html_m29576dcc.gif:http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m2/obj.files/image028.gif





х

Число z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс–действительной, а ось ординат–мнимой осью комплексной плоскости.

Число hello_html_9b0a451.gif называется модулем комплексного числа hello_html_7a8e0d25.gif и обозначается hello_html_29a7d749.gif или hello_html_508f29cc.gif.


2. Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси Oх располагаются вещественные числа hello_html_2f1480a4.gif, а на оси OY – чисто мнимые числа hello_html_m29561ea9.gif).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка hello_html_m7e82da0d.gif (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. hello_html_69654a2e.gif. Аргументом комплексного числа (hello_html_m2f7f411e.gif) назовем угол, который вектор hello_html_m14dd259c.gif образует с положительным направлением оси Oх. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию hello_html_4c94c47d.gif.

При этом выражение вида

hello_html_m1c67a431.gif(1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

hello_html_4ac1b251.gif

и, сравнивая с (1.2), получаем, что φ – аргумент комплексного числа z можно найти, решив систему

hello_html_m3971e26a.gifили hello_html_244460f1.gif (1.3)

Заметим, что при выборе значений φ из последнего уравнения необходимо учитывать знаки x и y.

φ – аргумент комплексного числа z можно найти формул hello_html_m4d86d3b0.gif, hello_html_50f2fdb8.gif (1.3) или в силу того, что hello_html_m5a07f4ee.gif, hello_html_5e014027.gif.


Пример 2. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

  1. 6i; b) hello_html_m76913a94.gif, указать модуль и аргумент комплексного числа.

Решение. a) Здесь х=0, у=6 hello_html_3e95c0b5.gif .

Поскольку число 6i лежит на положительной полуоси Оу, то значение аргумента hello_html_m52101d06.gif, поэтому hello_html_m662a682a.gif.

  1. Здесь х=1, у=hello_html_35b962c5.gif hello_html_11852162.gif.

По определению hello_html_7a8bedf3.gif. Для определения аргумента воспользуемся формулой: hello_html_61ef0b2c.gif. Получаем, что hello_html_m755de83b.gif. Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: hello_html_2a14f184.gif.

Пример 3. Записать в тригонометрической форме комплексное число hello_html_m11e8bd35.gif.

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа: hello_html_28dbb766.gif. Угол φ найдем из соотношений hello_html_m267ef953.gif, hello_html_cca03ab.gif. Тогда получим hello_html_2b0b42a7.gif. Очевидно, точка hello_html_50215cb1.gif находится во второй четверти: hello_html_m1cbabe49.gif.

Подставляя в формулу (1.2) найденные r и φ, имеем hello_html_421e6e9e.gif.


3. Действия над комплексными числами

1) Сумма двух комплексных чисел hello_html_e87e1e4.gif и hello_html_m39a36522.gif определяется согласно формуле hello_html_701e1cd.gif.

2) Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число hello_html_1754c2aa.gif, если hello_html_mcd727c4.gif, является разностью комплексных чисел z1 и z2. Тогда hello_html_m484c007.gif.

Пример 4. Выполнить действия: а) (4+2i)+(1+5i); b) (3+5i)-(6+3i).

а) По правилу сложения комплексных чисел получим

(4+2i)+(1+5i)=(4+1)+(2+5) i =5+7i.

b) По правилу вычитания комплексных чисел получим

(3+5i)-(6+3i)=(3-6)+(5-3)i=-3+2i.

3) Произведение двух комплексных чисел hello_html_447074c0.gif и hello_html_m46f35a.gif определяется по формуле hello_html_m7809eafc.gif hello_html_fa7e463.gifhello_html_1a75c638.gif. В частностиhello_html_m65c10548.gifhello_html_38098e00.gif.

Можно получить формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Имеем hello_html_m3f441cfb.gif.

Пример5. Выполнить действия: а) 2i hello_html_79c0f69b.gif3i; b) (2-3i)-(2+3i); с) (5-4i)-(3+2i).

а) 2i hello_html_79c0f69b.gif3i=6i2=-6;

b) (2-3i)-(2+3i)=4-9i2=4+9=13;

с) (5-4i)-(3+2i)=(5hello_html_79c0f69b.gif3-(-4)hello_html_79c0f69b.gif2)+ i(5hello_html_m75241010.gif+3(-4)=23-2i.

Можно выполнить умножение по правилу умножения многочленов:

(5-4i)-(3+2i)=15+10i -12 i +8=23-2i.

4) Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению, то есть число hello_html_18cb7c70.gif называется частным от деления z1 на z2, если hello_html_m5b111c56.gif. Тогда hello_html_61502966.gif

hello_html_53db5ef4.gif .

Окончательно hello_html_476d6476.gif.

B тригонометрической форме:

hello_html_77146a07.gif.


Операция деления возможна только в случае, когда hello_html_m2ee8c7de.gif).

Пример 6. Выполнить действия: а) hello_html_525904e8.gif ; b) hello_html_m26882d58.gif ; с) hello_html_m28a68a4f.gif; d)hello_html_76f2b7d8.gif

и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение.

а)Умножаем делимое и делитель на i, получим hello_html_24f474d5.gif .

b) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю: hello_html_m17a87765.gif.


с) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю: hello_html_7925b6c8.gif.


d)hello_html_11852162.gif Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю:

hello_html_m6d35e46a.gif;

Вещественная и мнимая части равны: hello_html_m4f4220b7.gif, hello_html_m14950b23.gif.

5) Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой hello_html_m1c67a431.gif, то справедлива формула Муавра

hello_html_m13b4bd82.gif. (1.4)

6) Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

hello_html_79962279.gif, k=0,1,…,n-1. (1.5)

Пример 7. Вычислить: hello_html_2daca77c.gif.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме.

Имеем: hello_html_m7e4a08d6.gif; hello_html_m13298306.gif и hello_html_m640fc443.gif, т.е. hello_html_m33a4b941.gif (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, hello_html_m16e01b65.gif и hello_html_c055d9f.gif (в силу (1.4)). Учитывая, что hello_html_m18d8c33f.gif и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

hello_html_7ec4e768.gif.

Пример 8. Возвести число hello_html_4aa69c2f.gif в пятую степень.

Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z. hello_html_2b2f44b.gif. Отсюда hello_html_m3acf1167.gif, а hello_html_m951a686.gif. Тогда по формуле Муавра получим: hello_html_m23bed4df.gif

hello_html_73b46505.gif.

Пример 9. Вычислить: hello_html_m3d6df2e3.gif.

Тригонометрическая форма заданного числа имеет вид hello_html_4c0aa6bb.gif (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

hello_html_3842de47.gif, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

hello_html_m51140e4a.gif;

hello_html_a276382.gif;

hello_html_m16251503.gif.






























Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 11

Тема: Комплексные числа и действия с ними.


Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Задание 1. Выполните сложение комплексных чисел, выпишите вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел:

а) (5+3i)+(1+10i); б) (3+i)+(-3-8i); в) (-6+2i)+(-6-2i).

Задание 2. Выполните действия:

а) (2-3i)+(5+6i)+(-3-4i); б) (1-i)-(7-3i)-(2+i)+(6-2i).

Задание 3. Выполните умножение комплексных чисел:

а) (5-3i)hello_html_79c0f69b.gif2i ; б) -ihello_html_7187dafa.gif в) (5+3i)(2-5i); г)(3+4i)(3-4i).

Задание 4. Выполните деление комплексных чисел:

а) hello_html_m6e0c141e.gif ; б) hello_html_6aa50fce.gif ; в) hello_html_m3a987542.gif; г) hello_html_69db23c5.gif .

Задание 5. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) 3i ; б) hello_html_m3eb525f7.gif; в) 2-2i; г) hello_html_35b962c5.gif-i

Задание 6. Решите уравнения:

а) hello_html_5375e0aa.gif; г) hello_html_21e50a99.gif;

б) hello_html_5f9dfe5.gif; д) hello_html_7735f02d.gif;

в) hello_html_23d76d53.gif; е) hello_html_741f23ef.gif.

Задание 7. Выполните действия:

а)(1-i)12; б) hello_html_46839267.gif; в)hello_html_m750555ff.gif; г) hello_html_m9f20573.gif





9


Автор
Дата добавления 27.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1075
Номер материала ДВ-385106
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх