Презентация к факультативному занятию по математике на тему "Делимость чисел"

• 1 слайд

  Делимость чисел
  Делимость - способность одного числа делиться на другое.
  решето Эратосфена.
  

• 2 слайд

  Таблица простых чисел до 1500.
  

• 3 слайд

  Решето Эратосфена.
  

• 4 слайд

  Если простые числа отличаются на 2, то их называют числами-близнецами.
  
  
  Ответ: 419 и 421, 431 и 433, 461 и 463.
  Например, в первой сотне это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19,
  
  29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73.
  
  Назовите числа-близнецы из пятой сотни.
  
  

• 5 слайд

  Марен Мерсенн (1588 - 1648) - французский математик и философ.
  Мр = 2р - 1, где р – простое число.
  
  М2 = 22- 1 = 3; простое число;
  
  М3= 23- 1 = 7; простое число;
  

• 6 слайд

  Задание 2. Найдите первых шесть чисел Мерсена и определите, есть ли среди них составные числа.
  
  Решение.
  М5 = 25- 1 = 31; простое число.
  М7 = 127 - простое число.
  М11 = 2047 – составное (23∙89).
  М13 =8191 –простое.
  
  Ответ: М11 – составное число.
  

• 7 слайд

  Леонард Эйлер в своё время
  нашел большое простое число
  2³¹ − 1 = 2147483647.
  
  

• 8 слайд

  Число называется совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от него самого.
  6 – совершенное число, так как 6 = 1 + 2 + 3.
  
  Найдите ещё несколько совершенных чисел
  
  Просто ли это сделать?
  
  В чём трудность?
  

• 9 слайд

  Задание 3. Найдите три совершенных числа.
  
  Решение.
  Если р = 3, 2р- 1 = 23- 1 = 7,
  2p–1(2p – 1) = 23–1(23 – 1) = 4∙7 = 28. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
  
  Если р = 5, 2р- 1 = 25- 1 = 31,
  2p–1(2p – 1) = 25–1(25 – 1) =16∙31 =496.
  496 = 1 + 2 + 4 + 6 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
  
  Если р = 7, 2р- 1 = 27- 1 = 127,
  2p–1(2p – 1) = 27–1(27– 1) =64∙127 =8128.
  8128 = 1 + 2 + 4 +8 + 16 + 32+ 64 + 127 + 254 + 508 +1016 + 2032 + 4064.
  
  Ответ: 28, 496, 8128.
  

• 10 слайд

  Любое целое число можно представить в виде произведения простых чисел или разложить на простые множители.
  504 = 2×2×2×3×3×7
  
  504 = 3×2×7×3×2×2 = 7×3×2×2×3×2
  Основная теорема арифметики.
  Любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на произведение простых чисел единственным образом.
  Запись числа в виде произведения степеней в порядке возрастания их оснований называется каноническим разложением числа:
  504 = 23×32×71
  

• 11 слайд

  Признаки делимости
  по ним можно определить, делится ли натуральное число n на данное простое число р.
  Число делится на 2, если оно оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то есть если оно чётное.
  
  Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
  
  Число делится на 3 или на 9, если сумма цифр числа делится на 3 или на 9 соответственно.
  
  Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.
  
  Например, число 1969 делится на 11, т.к. сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна 18, а на нечётных - 7.
  
  Число делится на 7 или на 13, если на эти числа делится разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами; эта операция уменьшает число знаков в числе, и последовательное её применение приводит к трёхзначному числу.
  Например, 825678 делится на 7, т.к. 825-678 = 147 делится на 7.
  

• 12 слайд

  Признаки делимости на составные числа.
  Число делится на 4, если число, записываемое двумя последними цифрами этого числа, делится на 4.
  
  
  Число делится на 8, если число, записываемое тремя последними цифрами этого числа, делится на 8.
  

• 13 слайд

  если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение.
  на 6 = 2×3, на 12 = 3×4, на 15 = 3×5, на 18 = 2×9 и т.д.
  На 6 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 3.
  
  Например, 12432 делится на 6, так как делится и на 2 и на 3.
  
  На 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель).
  
  Например, 75348 делится на 12, так как делится и на 3 и на 4.
  
  На 15 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 5.
  
  Например, 23520 делится на 15, так как делится и на 3 и на 5.
  
  На 18 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 9.
  
  Например, 13518 делится на 18, так как делится и на 2 и на 9, и т.д.
  

• 14 слайд

  Свойства делимости
  Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
  
  Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.
  
  Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.
  
  Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.
  
  Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.
  

• 15 слайд

  Задание 5. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.
  

• 16 слайд

• 17 слайд

  Задание 7. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.
  
  А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
  Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.
  
  Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
  Ложное. Пример: 6  10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся
  
  В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
  Ложное. Пример: 6  10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.
  
  Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
  Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.
  

• 18 слайд

  Общие делители и кратные.
  Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные числа делятся без остатка.
  НОД (48, 36, 24)=
  
  Взаимно простые числа –
  Числа у которых наибольший общий делитель равен единице.
  Например, НОД (16, 27) =1
  12
  

• 19 слайд

  Например, числа 18, 12, 6, 120, 60 являются общими кратными для чисел 2 и 3.
  
  Наименьшим общим кратным нескольких чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.
  Например, 6 – наименьшее общее кратное для 2 и 3.
  Общим кратным данных чисел называется любое натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел (без остатка).
  

• 20 слайд

  Рассмотрим множество делителей числа 20 и множество делителей числа 30:
  Д(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
  Д(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
  Найдем объединение и пересечение этих множеств.
  Д(20)  Д(30) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30}
  Д(20)  Д(30) = {1, 2, 5, 10}.
  НОД (20,30) = 10,
  
  НОД нескольких чисел – это наибольший элемент из пересечения множеств делителей этих чисел.
  

• 21 слайд

  Задание 9. Найдите НОД и НОК для чисел:
  А) 18, 63;
  Б) 18, 84;
  В) 63, 84;
  Г) 18, 63, 84.
  Ответ:
  А)НОД(18,63) = 9; НОК(18,63) = 126.
  Б)НОД(18,84) = 6; НОК(18,84) =252.
  В) НОД(63,84) = 21; НОК(63,84) =252.
  Г) НОД(18,63,84) = 3; НОК(18,63,84) = 252.
  

• 22 слайд

  Существует способ для вычисления НОД двух чисел – алгоритм Евклида,
  
  
  НОД(451-287, 287) =
  НОД(164, 287) =
  НОД(164, 123) =
  НОД(41, 123) =
  
  НОД (41, 82) =
  НОД (41, 41) = 41.
  
  Удобен, если числа большие.
  
  
  1. Любой общий делитель чисел а и b (а > b) является делителем числа (а - b).
  
  2. Любой общий делитель чисел b и (а - b) является делителем числа а.
  
  
  НОД (а, b)= НОД (b, а - b)
  
  НОД(451, 287) =
  

• 23 слайд

  Задание 10. Вася рвёт газету на 8 частей, одну из получившихся частей - ещё на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2013 частей?
  Решение.
  В 1 раз - 8 частей,
  во 2 раз - 15 разных частей (1∙7+8),
  в 3 раз - 22 части (27+8) и т.д.,
  каждый раз количество кусочков увеличивается на 7 частей,
  общее количество частей всегда имеет вид К7+8.
  
  2013, его нельзя представить в виде К7+8.
  (2013 – 8 =2005, а 2005 не делится на 7).
  Значит, Вася не сможет разорвать газету на 2013 частей.
  Ответ: нет.
  

• 24 слайд

  Задание 13. На какую цифру оканчивается число 3 ?
  Решение.
  Попробуем найти закономерность:
  3¹=3, 3²=9; 3³=27; 3 =81; 3 =243; 3 =729, 3 =2187 и т.д.
  последние цифры степени числа 3 начинают повторяться в определенном порядке: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… и т. д.
  повторяются всего 4 цифры (3, 9, 7, 1),
  то есть число равное 3 , где n кратно четырём, всегда оканчивается на 1.
  Разделим степень числа 3 на 4: 2013=4∙500 +13 = 4∙500 +12 + 1,
  отсюда 32012 оканчивается на 1, а
  3 оканчивается на 3.
  Ответ: 3.
  2013
  4
  5
  6
  7
  п
  2013
  

• 25 слайд

  Свойства остатков.
  
  n=km + r, где 0 r <m, k, r целые числа.
  k называется неполным частным от деления n на m, а r – остатком.
  Задание 16. Запишите:
  а) формулу чётного числа;
  б) формулу нечётного числа;
  в) формулу числа, кратного числу b;
  г) формулу числа, которое делится на 17 с остатком 11.
  n = 17m+11;
  n = 2m+1;
  n = bm
  n = 2m
  

• 26 слайд

  n = 4m+1
  n = 4m
  n = 4m+3
  n = 4m+2
  

• 27 слайд

  Основные свойства остатков:
  
  Пусть остаток от деления целого числа n1 на m равен r1, а остаток от деления n2 на m равен r2.
  Тогда:
  Остаток от деления n1+n2 на m равен остатку от деления r1+r2 на m;
  Остаток от деления n1–n2 на m равен остатку от деления r1–r2 на m;
  Остаток от деления n1n2 на m равен остатку от деления r1r2 на m.
  

• 28 слайд

  Задание 19. Не используя калькулятор и вычисления в столбик, найдите остаток от деления на 25 значения выражения 5355 + 2724 - 10129.
  Решение.
  Остаток от деления на 25 числа 53 равен 3, числа 55 равен 5, числа 27 - 2, числа 24 – 24, числа 101 - 1, числа 29 – 4.
  
  Используя основные свойства остатков, получаем:
  
  Остаток от деления на 25 произведения 5355 равен 15 (35 =15, 15: 25 =0 (ост.15)).
  Остаток от деления на 25 произведения 2724 равен 23 (224 =48, 48:25= 1(ост.23)).
  Остаток от деления на 25 произведения10129 равен 4 (14=4, 4 : 25 = 0(ост.4)).
  Тогда остаток от деления на 25 значения выражения 5359 + 10129 - 2724 равен
  остатку от деления на 25 числа 34 (15+23 – 4), то есть 9.
  Ответ: 9.
  

• 29 слайд

  Задание 20 (Кенгуру-1998). Каков остаток от деления 1997-значного числа 100…00 на 15?1000000…0015666…901009010
  
  Решение.
  Попробуем начать делить число 100…00 на 15.
  
  
  
  
  Очевидно, что в результате деления остаток будет равен 10.
  
  Ответ. 10.
  1000000…00
  15
  666…
  90
  100
  90
  10