Презентация к исследовательской работе "Методы решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми"

• 1 слайд

  Выполнил: ученик 10«Б» класса,
  МБОУ СОШ №55, Коток Игорь
  Преподаватель: учитель математики
  Щербакова Т.И.
  
  Методы решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми
  

• 2 слайд

  Цели и задачи:
  Цели:
  1.Рассмотреть теоретический аспект угла между скрещивающимися прямыми.
  2.Обобщить все знания, полученные в ходе исследования.
  4.Сделать выводы.
  
  Задачи:
  Изучить литературу по данной теме.
  Познакомиться с новыми методами нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
  Подобрать задачи по данной теме.
  Исследовать задачи на примере изученных методов и находить наиболее рациональное решение.
  
  

• 3 слайд

  Гипотеза и предмет исследований.
  Гипотеза:
  «С помощью изученных методов можно найти наиболее рациональное решение задач ЕГЭ - С2.»
  Предмет исследований:
  «Геометрические задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.»
  

• 4 слайд

  Поэтапно-вычислительный
  Алгоритм решения: 
  1. Определение типа прямых. 
  2. Параллельный перенос одной или обеих прямых. 
  3. Нахождение требуемого угла.
  α
  
  а
  b
  c
  A
  N
  M
  a) Пусть а и b –данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, b и через какую-нибудь точку А, лежащую на прямой а, проведем плоскость α.
  
  б) Через точку А проведем прямую с||b. Получившийся ∠MAN- угол между скрещивающимися прямыми.
  в) Выберем на прямой а- какую-нибудь точку М, а на прямой с-точку N. Получим треугольник AMN. Вычислим стороны треугольника по теореме косинусов и найдем cos ∠ MAN.
  
  
  
  
  
  
  
  cos ∠ MAN=
  

• 5 слайд

  Метод трех косинусов
  a
  b
  b1
  Алгоритм решения :
  Определить тип прямых.
  Спроектировать скрещивающуюся прямую на плоскость
  Найти косинус
  а и b-скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую а плоскость α пересекающую прямую b.
  Спроектируем b на α. b1- проекция,
  cos ∠ α=cos ∠(b;b1)*cos ∠(a;b1)
  α
  

• 6 слайд

  Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.
  А
  а
  а1
  b1
  b
  d1
  d
  α
  B
  α
  Пусть а и b – скрещивающиеся прямые, плоскость α перпендикулярна прямой а, b пересекает α в точке В, точка А – проекция прямой а, а прямая b1 проекция прямой b. На прямой b лежит отрезок длинной d, а его проекция на плоскость α имеет длину d1. Тогда верна формула
  
  
  , где α- угол между
  
  прямыми а и b.
  
  
  
  

• 7 слайд

  Пусть a и b – скрещивающиеся прямые, на прямой a находится отрезок длины d, и его
  ортогональной проекцией на прямую b является отрезок длиной d1. Тогда верна формула
  
  , где α – угол между прямыми a и b.
  
  а
  b
  d
  d1
  Проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую
  

• 8 слайд

  Метод тетраэдра
  Весьма эффективен, встречается не часто. Для тетраэдра ABCD верна формула:
  

• 9 слайд

  Координатный метод
  ,где
  Алгоритм решения:
  1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. векторы)
  2. Вписываем фигуру в систему координат
  3. Находим координаты концов векторов
  4. Находим координаты Векторов
  5. Подставляем в формулу "косинус угла между векторами"
  6. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.
  

• 10 слайд

  Единичный куб.
  х
  у
  z
  D (0; 0; 0)
  A (1; 0; 0)
  C (0; 1; 0)
  B (1; 1; 0)
  D1 (0; 0; 1)
  A1 (1; 0; 1)
  C1 (0; 1; 1)
  B1 (1; 1; 1)
  

• 11 слайд

  Правильная шестиугольная призма.
  х
  у
  C
  F
  D
  E
  B
  A
  a
  a
  C (a; 0;0)
  F (- a; 0;0)
  х
  у
  z
  C1 (a; 0;c)
  F1 (- a; 0;c)
  a
  c
  

• 12 слайд

  Правильная треугольная призма.
  c
  a
  С1
  А
  В
  С
  А1
  В1
  х
  у
  z
  O
  

• 13 слайд

  Правильная треугольная пирамида.
  х
  y
  O
  z
  H
  h
  

• 14 слайд

  Правильная четырехугольная пирамида.
  a
  h
  х
  y
  z
  h
  

• 15 слайд

  Правильная шестиугольная пирамида.
  х
  y
  z
  a
  h
  C (a; 0;0)
  F (- a; 0;0)
  

• 16 слайд

  D
  C
  A
  B
  D1
  C1
  B1
  A1
  K
  x
  y
  z
  Пример
  а
  b
  1) a и b – скрещивающиеся прямые.
  2)Примем длину ребра куба равной 4 и одно деление на каждой из осей за 1.
  
  3)
  На ребре ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что BK:KB1=3:1. Найдите угол между прямыми AK и BD1.
  4)
  Ответ:
  

• 17 слайд

  С1
  А
  В
  С
  А1
  В1
  х
  у
  z
  В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и СB1.
  1) AC1 и CB1 – скрещивающиеся прямые.
  Ответ:
  Пример
  2)
  3)
  4)
  

• 18 слайд

  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АS и ВС.
  Пример
  х
  y
  z
  1) AS и CB – скрещивающиеся прямые.
  2)По теореме Пифагора , а
  3)По теореме Пифагора ,
  4)
  5)
  Ответ:
  

• 19 слайд

  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ1 и ВF1
  Пример
  х
  у
  z
  1) AS и CB – скрещивающиеся прямые.
  2)
  3)
  Ответ:
  4)
  

• 20 слайд

  Вывод:
  Из рассмотренных способов решений задач самый рациональный – координатный способ. Используя этот метод и владея вычислительными навыками, мы можем решать практически все задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Для использования других методов необходимо иметь хорошо развитое логическое и пространственное мышление.
  
  Таким образом, изучив все методы решения, мы можем решать олимпиадные задачи и задания ЕГЭ части 2, подбирая к ним самое рациональное, выгодное и короткое решение. Но порой встречаются такие задачи, где не просто рационально решать тем или иным способом, не хватает данных или приходится выдумывать дополнительные построения. Зная несколько способов решения задач , мы можем быть уверенными в том, что справимся с экзаменационными и олимпиадными задачами.