Презентация к уроку математики на тему "Теория вероятностей. Независимые и зависимые события" 6 класс.

• 1 слайд

  Теория вероятностей
  Зависимые и независимые события.
  Условная вероятность.
  Умножение вероятностей.
  

• 2 слайд

  Независимые и зависимые события
  События А и В называют независимыми, если возникновение одного из них в ходе испытания не влияет на вероятность появления другого.
  Примеры:
  Выпадение двойки и пятерки при одновременном подбрасывание 2-х игральных кубиков.
  Выпадение 2-х орлов при одновременном подбрасывании 2-х монет.
  Одновременное перегорание ламп в двух светильниках
  События А и В называют зависимыми, если появление (не появление) одного из них в ходе испытания, влечет изменение вероятности другого.
  Примеры:
  Последовательное извлечение 2-х шаров из урны, где лежат 3 белых и 2 черных шара.
  Выбор места при жеребьевке перед выступлением или соревнованием.
  Последовательное извлечение 2-х карт из колоды.
  
  
  

• 3 слайд

  Разницу между независимыми и зависимыми событиями легко проследить на примере с урной, в которой лежат 3 белых и 2 черных шара. Вынимаем последовательно два шара, но при этом
  ,
  вынутые шары возвращаем обратно
  
  
  
  
  Пусть А - первым вынут белый шар. Р(А)= 3 5 .
  В - вторым вынут черный шар. Р(В)= 2 5 .
  В этом случае мы имеем дело с независимыми событиями.
  ,
  вынутые шары не возвращаем обратно
  
  
  
  
  Вероятность события А рассчитывается аналогично. Событие В зависит от события А, так как одного белого шара уже нет. Меняется общее число исходов, следовательно,
  Р(В)= 2 4 = 1 2 (возможно изменение и числа благоприятных исходов, если бы первым вынули черный шар).
  

• 4 слайд

  Условная вероятность.
  В последнем случае второе событие
  (событие В) происходит при условии возникновения первого события (события А). Первое событие влияет на общее число исходов и может влиять на число благоприятных исходов, а следовательно, на вычисление вероятности второго события. Такую вероятность называют условной.
  Обозначают РА(В) – вероятность события В при условии возникновения события А.
  

• 5 слайд

  Рассчитаем условную вероятность некоторых событий.
  В урне 3 белых и 2 черных шара. Найдите вероятность вынуть вторым черный шар, если первым вынут тоже черный шар.
  А- первым вынут черный шар
  В- вторым вынут черный шар
  m= 1 так как остался 1 черный, n= 4, так как из 5 шаров осталось 4, имеем: РА(В)= 1 4 .
  На соревнованиях по стрельбе из лука участвуют 26 спортсменов, в том числе 2 спортсмена из России и 4 – из Польши. Порядок выступления определяется жребием. Спортсмен из России выступает третьим, четвертым – спортсмен из Польши. Найдите вероятность того, что вторым выступает тоже спортсмен из Польши.
  m= 3, n=24 РАВ(С)= 3 24 = 1 8 =0,125.
  

• 6 слайд

  ,
  Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:
  а) была извлечена черва;
  б) была извлечена карта другой масти.
  Решение.
  а) А- первой извлечена черва, В-второй извлечена черва.
  m=9-1=8, n= 36-1=36, тогда РА(В)= 8 35 ≈0,23.
  б) А- первой извлечена карта другой масти, В-второй извлечена черва.
  m=9, n= 36-1=35, тогда РА(В)= 9 35 ≈0,26.
  

• 7 слайд

  ,
  В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:
  а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
  б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
  в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.
  Решение.
  а) А- 1-й билет выигрышный, В- 2-й билет выигрышный.
  РА(В)= 2 9 .
  б) А- 1-й билет выигрышный, В- 2-й билет выигрышный,
  С- 3-й билет выигрышный.
  РАВ(С)= 1 8 .
  в) Так как всего 3 выигрышных билета и их уже вытянули, то событие вытянуть 4-м выигрышный билет не будет достоверным, следовательно его вероятность равна 0.
  
  

• 8 слайд

  Что представляет собой вероятность произведения двух событий и как она вычисляется?
  Независимые события
  Рассмотрим пример.
  При выборе молодого человека девушка пользуется двумя основными критериями: красота и увлечение спортом. Из выбранных ею случайным образом 100 профилей реальных людей на сайте знакомств она заметила, что в среднем каждый десятый красив и каждый пятый занимается спортом. Какова вероятность того, что случайно выбранный профиль окажется профилем красивого и спортивного?
  

• 9 слайд

  ,
  Чтобы рассчитать классическую вероятность выбора красивого и спортивного, нужно узнать количество благоприятных исходов выбора m.
  Раз каждый десятый красив, то таких 10 из 100. Раз каждый пятый занимается спортом, то из десяти это 2 человека. Следовательно, m=2. Имеем,
  Р= 2 100 = 1 50
  Однако, если обозначить за событие А- выбор красивого, за событие В- выбор спортивного, и рассчитать отдельно вероятность каждого события: Р(А)= 1 10 , Р(В)= 1 5 , то
  Можно заметить, что 1 10 ∙ 1 5 = 1 50 . Следовательно,
  Если событие С – выбор красивого и спортивного, то вероятность этого события равна произведению вероятностей выбора каждого события в отдельности.
  Р(С)=Р(А) ∙ Р(В) (1)
  

• 10 слайд

  .
  События А и В независимые. Событие
  С- результат одновременного появления двух независимых событий в ходе эксперимента, т.е. события А и события В. В теории вероятностей союз «и» во фразе «событие А и событие В» рассматривают как умножение, т.е. С = А ∙ В,
  следовательно из (1) имеем:
  Р(А∙В)=Р(А) ∙ Р(В) (2)
  
  Вероятность одновременного появления двух независимых событий в ходе эксперимента равна произведению вероятностей этих событий
  
  

• 11 слайд

  Зависимые события
  Рассмотрим пример.
  Из урны с тремя белыми и двумя черными шарами выберем наугад два шара. Какова вероятность выбрать белый и черный шар?
  Решая задачу по формуле классической
  вероятности, имеем: m=3, n=10,
  Р(С)= 3 10 , где событие С- выбрать
  белый и черный шар.
  Однако, если событие А- выбрать
  белый шар, В- выбрать черный шар, то
  Р(А)= 3 5 , РА(В)= 1 2 , так как событие В зависит от события А и РА(В) – условная вероятность. Снова можно заметить, что 3 5 ∙ 1 2 = 3 10 .
  Следовательно, Р(С)= Р(А)∙РА(В) (3).
  

• 12 слайд

  ,
  С = А ∙ В , так как союз «и» во фразе «событие А и событие В» рассматривают как умножение. Учитывая (3), имеем:
  Р(А∙В)=Р(А) ∙ РА(В) (4)
  где событие В происходит при условии возникновения события А.
  
  Вероятность одновременного появления двух зависимых событий в ходе эксперимента равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго события.
  
  
  

• 13 слайд

  Задача 1.
  В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
  Решение.
  Введем три независимых события:
  A- первый продавец занят с клиентом, тогда Р(А)=0,2.
  B- второй продавец занят с клиентом, тогда Р(В)=0,2.
  C- третий продавец занят с клиентом, тогда Р(С)=0,2.
  Нас интересует одновременное возникновение этих трех событий. Это есть не что иное, как вычисление вероятности их произведения. Имеем (с учетом их независимости):
  Р(А∙В∙С)=0,2∙ 0,2∙ 0,2= 0,008.
  Ответ: 0,008.
  

• 14 слайд

  Задача 2.
  Бабушка испекла Маше 10 пирожков: 5 из них с яблоками, 2 с вишней и 3 с капустой. Найдите вероятность того, что Маша наугад сначала съела пирожок с капустой, затем, с яблоками и третий – с вишней.
  Решение.
  Введем три зависимых события:
  A - Маша выбрала пирожок с капустой, тогда Р(А)= 3 10 ;
  B - Маша выбрала пирожок с яблоками, тогда РА(В)= 5 9 ;
  C - Маша выбрала пирожок с вишней, тогда РАВ(С)= 2 8 .
  Нас интересует вероятность одновременного возникновения этих трех событий. Следовательно,
  Р(А∙В∙С)= 3 10 ∙ 5 9 ∙ 2 8 = 1 24
  Ответ: 1 24 .
  

• 15 слайд

  ,
  Задача 3
  В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:
  а) оба шара будут белыми;
  б) оба шара будут чёрными;
  в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.
  Решение:
  а) А- 1-й шар белый, тогда Р(А)= 4 11 .
  В- 2-й шар белый, тогда РА(В)= 3 10 .
  А ∙ В – оба шара белые Р(А∙В)= Р(А)∙РА(В)= 4 11 ∙ 3 10 = 6 55
  б) А- 1-й шар черный, тогда Р(А)= 7 11 .
  В- 2-й шар черный, тогда РА(В)= 6 10 .
  А ∙ В – оба шара черные Р(А∙В)= Р(А)∙РА(В)= 7 11 ∙ 6 10 = 21 55
  в) А- 1-й шар белый, тогда Р(А)= 4 11 .
  В- 2-й шар черный, тогда РА(В)= 7 10 .
  А ∙ В – белый и черный Р(А∙В)= Р(А)∙РА(В)= 4 11 ∙ 7 10 = 14 55
  Ответ: а) 6 55 ; б) 21 55 ; в) 14 55 .
  
  

• 16 слайд

  ,
  Задачи 4, 5 и 6 решите сами. Ответы даны в конце презентации.
  Задача 4.
  Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
  Задача 5.
  Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?
  Задача 6.
  В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что
  а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
  б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.
  Задача 7.
  В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Для подготовки классной комнаты к занятиям случайным образом выбирают двух дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут два мальчика.
  

• 17 слайд

  Ответы к задачам.
  Задача 4.
  Ответ: 0,973.
  
  Задача 5.
  Ответ:  1 105 .
  
  Задача 6.
  Ответ: а) 4 13 ≈0,31; б) 4 91 ≈0,04.
  
  Задача 7.
  Ответ: 0,4.