Презентация на тему «Муниципальный этап ВОШ по математике: основные типы задач и методы их решения»

• 1 слайд

  Муниципальный этап ВОШ по математике:
  основные типы задач и методы их решения
  
  
  Подготовила Сухарева Е.А., учитель математики МБОУ СШ №2
  с углубленным изучением предметов физико-математического цикла
  город Дзержинск Нижегородской области
  
  
  

• 2 слайд

  Задачи
  
  «Из школьного учебника»
  

• 3 слайд

  Задача 1 (2014-2015) 7-8 классы
  Велосипедист планировал доехать из пункта А в пункт В за 5 часов, двигаясь с постоянной скоростью. С намеченной скоростью он двигался до середины пути, а потом решил увеличить скорость на 25%. С новой скоростью он доехал до пункта В. Сколько времени занял весь путь?
  

• 4 слайд

  Задача 1 (2014-2015) 7-8 классы
  Велосипедист планировал доехать из пункта А в пункт В за 5 часов, двигаясь с постоянной скоростью. С намеченной скоростью он двигался до середины пути, а потом решил увеличить скорость на 25%. С новой скоростью он доехал до пункта В. Сколько времени занял весь путь?
  

• 5 слайд

  Задача 2 (2015-2016) 7-8 классы
  В стакане находился раствор, в котором вода составляла 99%. Стакан с раствором взвесили, и вес оказался равен 500 гр. После этого часть воды испарилась, так что в результате доля воды составила 98%.
  Сколько будет весить стакан с получившимся раствором, если вес пустого стакана 300 гр.?
  

• 6 слайд

  Задача 2 (2015-2016) 7-8 классы
  В стакане находился раствор, в котором вода составляла 99%. Стакан с раствором взвесили, и вес оказался равен 500 гр. После этого часть воды испарилась, так что в результате доля воды составила 98%.
  Сколько будет весить стакан с получившимся раствором, если вес пустого стакана 300 гр.?
  

• 7 слайд

  Задача 3 (2014-2015) 8 класс
  Дан параллелограмм ABCD. Точки M и N – середины сторон ВС и CD соответственно.
  Найдите отношение площади четырехугольника AMND к площади параллелограмма.
  

• 8 слайд

  Задача 3 (2014-2015) 8 класс
  Дан параллелограмм ABCD. Точки M и N – середины сторон ВС и CD соответственно.
  Найдите отношение площади четырехугольника AMND к площади параллелограмма.
  А
  В
  С
  D
  М
  N
  

• 9 слайд

  
  Задача 4 (2014-2015) 9-10 классы
  Решите уравнение
  .
  

• 10 слайд

  Задача 5 (2015-2016) 10-11 классы
  Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению
  

• 11 слайд

  Задача 5 (2015-2016) 10-11 классы
  
  Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению
  .
  

• 12 слайд

  
  Задача 6 (2014-2015) 11 класс
  Найдите область определения функции
  .
  

• 13 слайд

  
  .
  Задача 7 (2013-2014) 11 класс
  Решите уравнение
  .
  

• 14 слайд

  Задача 7 (2013-2014) 11 класс
  
  .
  Решите уравнение
  .
  

• 15 слайд

  
  .
  .
  Задача 8 (2011-2012) 11 класс
  Решите уравнение
  

• 16 слайд

  Задачи по теме
  
  «Неравенства»
  

• 17 слайд

  Задача 9 (2011-2012) 9-10 классы
  Докажите неравенство
  

• 18 слайд

  Задача 10 (2011-2012) 11 класс
  Сколько существует натуральных чисел n, которые удовлетворяет неравенству
  ?
  

• 19 слайд

  Задача 10 (2011-2012) 11 класс
  Сколько существует натуральных чисел n, которые удовлетворяет неравенству
  ?
  

• 20 слайд

  Задача 11 (2014-2015) 10-11 классы
  а) Докажите неравенство
  для всех натуральных чисел n;
  
  б) существует ли такое натуральное n, для которого
  где [a] означает целую часть числа а?
  

• 21 слайд

  Задача 11 (2014-2015) 10-11 классы
  

• 22 слайд

  Задачи по теме
  
  «Конструкции»
  

• 23 слайд

  В задачах этого раздела требуется построить некоторую конструкцию или осуществить некоторый процесс.
  В некоторых случаях требуется определить, можно ли это сделать. Для обоснования положительного ответа достаточно предъявить требуемую конструкцию. Если конструкция сложная, следует доказать, что она удовлетворяет требуемым условиям.
  Более сложна ситуация, когда приходится доказывать невозможность требуемой конструкции. Для этого следует предположить, что она существует, и прийти к противоречию.
  

• 24 слайд

  Задача 12 (2011-2012) 7 класс
  Из доски размером 77 клеток вырезана центральная клетка.
  Можно ли оставшуюся доску разрезать по линиям сетки на "доминошки" (прямоугольники 21) так, чтобы число горизонтальных и вертикальных "доминошек" было одинаковым?
  

• 25 слайд

  Задача 12 (2011-2012) 7 класс
  Ответ: можно (см. рисунок)
  

• 26 слайд

  
  «Инвариант»
  

• 27 слайд

  Дано 300-значное число 22…21…100…0, содержащее 100 двоек, 100 единиц и 100 нулей. Можно ли переставить цифры в этом числе так, чтобы получился квадрат натурального числа?
  Задача 13 (2013-2014) 7-8 классы
  

• 28 слайд

  Ответ. Нельзя.
  
  Указание.
  Сумма цифр данного числа равна 2100 + 1100 = 300. Из признаков делимости на 3 и на 9 следует, что данное число делится на 3, но не делится на 9. При перестановках цифр сумма цифр не меняется, и поэтому после перестановки не получится точный квадрат (т.к. число, возводимое в квадрат, должно делиться на 3, а его квадрат – на 9).
  
  Задача 13 (2013-2014) 7-8 классы
  

• 29 слайд

  Задача 14 (2013-2014) 7-9 классы
  На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа a + 2b и b + 2a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны 10 одинаковых чисел? (7 класс)
  На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа 2a + 3b и 2b + 3a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны 10 одинаковых чисел? (8 класс)
  На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа a3 + 6b и b3 + 6a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны а) все 10 одинаковых чисел? б) хотя бы три одинаковых числа?(9 класс)
  

• 30 слайд

  Задача 14 (2013-2014) 7-9 классы
  На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа a + 2b и b + 2a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны 10 одинаковых чисел? (7 класс)
  Ответ. Не может.
  
  Указание. Предположим, что после некоторого числа операций на доске оказались все равные числа.
  Заметим, что при любой операции четность чисел не меняется (т.к. a + 2b имеет ту же четность, что a, и, аналогично, b + 2a имеет ту же четность, что b).
  Вначале было 5 четных и 5 нечетных чисел, поэтому и в конце должно быть 5 четных и 5 нечетных чисел, а у нас оказались все 10 чисел одинаковой четности.
  Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.
  
  

• 31 слайд

  Задача 14 (2013-2014) 7-9 классы
  Ответ. Не может.
  
  Указание.
  Заметим, что число 2a + 3b имеет ту же четность, что b, а число, 2b + 3a имеет ту же четность, что a.
  Поэтому после каждой операции на доске должно оставаться 5 четных и 5 нечетных чисел (т.к. вначале было 5 четных и 5 нечетных).
  Значит все 10 чисел одинаковой четности получиться не могут.
  
  На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа 2a + 3b и 2b + 3a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны 10 одинаковых чисел? (8 класс)
  

• 32 слайд

  Задача 14 (2013-2014) 7-9 классы
  На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа a3 + 6b и b3 + 6a. Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут записаны а) все 10 одинаковых чисел? б) хотя бы три одинаковых числа?(9 класс)
  Ответ. а) не может, б) не может.
  Указание. а) Результат (так же, как в задачах для 7 и 8 кл.) следует из того факта, что после каждой операции получаются числа той же четности.
  б) Заметим более сильный факт, а именно, то, что после каждой операции числа дают те же остатки при делении на 6, что и до операции.
  Действительно,
  (т.к. произведение трех последовательных целых чисел делится как на 3, так и на 2, т.е. делится на 6.)
  Значит, в результате всех операций должен получиться тот же набор остатков (при делении на 6), что и вначале.
  Но вначале было не более двух чисел для каждого из остатков 0, 1, 2, 3, 4, 5 (точнее, по одному числу с остатком 0 и 5 – это числа 6 и 5 , и по два числа с остальными остатками).
  Таким образом, в конце не могли оказаться три числа с одинаковыми остатками.
  

• 33 слайд

  Задачи по теме
  
  «Теория чисел»
  

• 34 слайд

  Задача 15 (2014-2015) 7-8 классы
  Агент 007 хочет зашифровать свой номер с помощью двух натуральных чисел m и n так, чтобы
  Сможет ли он это сделать?
  Ответ: сможет.
  Указание.
  

• 35 слайд

  Задача 16 (2014-2015) 9 классы
  На доске записано несколько целых чисел.
  Коля заменил каждое число (стерев его) следующим образом: вместо четного числа он записал его половину, а вместо нечетного – удвоенное.
  Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел и сумма исходных совпали, если сумма исходных чисел равнялась а) 2014; б) 2013?
  

• 36 слайд

  Задача 16 (2014-2015) 9 классы
  Ответ: а) не могло; б) могло.
  
  Указание. Обозначим через А начальную сумму четных чисел
  на доске, В – сумму нечетных чисел.
  Тогда должно выполняться равенство
  Значит, сумма на доске должна быть равна А + В = 3В=n.
  
  В случае а) при п = 2014 это приводит
  к противоречию с делимостью на 3.
  
  В случае б) при п = 2013 легко проверить такой пример:
  на доске записаны два числа а = 1342 и b = 671 = a/2.
  

• 37 слайд

  Задача 17 (2015-2016) 11 класс
  а) Докажите, что если натуральные числа х, у удовлетворяют уравнению
  то х = у.
  
  б) Существуют ли различные положительные действительные числа х, у, удовлетворяющие этому уравнению?
  

• 38 слайд

  Задача 17 (2015-2016) 11 класс
  , которое натуральных решений не имеет (см. задачу 9.2). б) См. задачу 9.2, пункт б).
  
  Ответ: б) существуют.
  Указание. а) Перепишем уравнение в виде
  Легко заметить, что кроме х=у это уравнение не имеет натуральных решений.
  б) Возьмем, например
  удовлетворяют уравнению.
  , и подставим в уравнение
  

• 39 слайд

  Геометрические задачи
  

• 40 слайд

  Задача 18 (2013-2014) 8-9 классы
  Существует ли равнобедренная трапеция, у которой средняя линия равна диагонали?
  

• 41 слайд

  Задача 18 (2013-2014) 8-9 классы
  Существует ли равнобедренная трапеция, у которой средняя линия равна диагонали?
  Ответ. Не существует.
  
  Указание. Пусть ABCD – равнобедренная трапеция с боковыми сторонами AB и CD.
  Опустим из точки С высоту СМ на основание.
  Тогда отрезок АМ равен средней линии, т.к. средняя линия равна
  
  
  В прямоугольном треугольнике АСМ гипотенуза АС больше катета АМ, и, значит, диагональ всегда больше средней линии равнобедренной трапеции.
  

• 42 слайд

  Задача 19 (2013-2014) 10 класс
  В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Точки М и N – точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и АС соответственно. Найдите А, если известно, что AO = 2 MN.
  

• 43 слайд

  Задача 19 (2013-2014) 10 класс
  В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Точки М и N – точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и АС соответственно. Найдите А, если известно, что AO = 2 MN.
  

• 44 слайд

  Задача 20 (2015-2016) 10-11 классы
  У Пети скопилось много кусочков пластилина трех цветов, и он плотно заполнил пластилином полый куб с ребром 5 см, так что в кубе не осталось свободного места.
  Докажите, что внутри куба найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 7 см друг от друга.
  

• 45 слайд

  Задача 20 (2015-2016) 10-11 классы
  У Пети скопилось много кусочков пластилина трех цветов, и он плотно заполнил пластилином полый куб с ребром 5 см, так что в кубе не осталось свободного места.
  Докажите, что внутри куба найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 7 см друг от друга.
  

• 46 слайд

  Геометрические задачи,
  решаемые
  средствами алгебры
  

• 47 слайд

  Задача 21 (2014-2015) 9-10 классы
  Два корабля идут по морю перпендикулярными курсами так, что оба должны пройти через фиксированную точку О (каждый – в свой момент времени. После прохождения точки О корабли, не останавливаясь, продолжат своё прямолинейное движение).
  Скорости кораблей одинаковы и постоянны. В полдень корабли еще не прошли точку О и находились от нее в 20 км и 15 км соответственно.
  Будут ли корабли далее в какой-то момент в зоне видимости друг друга, если видимость в этот день 4 км?
  

• 48 слайд

  Задача 21 (2014-2015) 9-10 классы
  

• 49 слайд

  Задача 22 (2013-2014) 9 класс
  На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1 так, что С1А1 || АC .
  Докажите, что
  .
  

• 50 слайд

  Задача 22 (2013-2014) 9 класс
  .