презентация по алгебре и началам анализа на тему: "геометрический смысл производной" 10 класс

• 1 слайд

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
  ПРОИЗВОДНОЙ
  10 класс
  Подколзина Ольга Евгеньевна,
  учитель математики МОУ «СОШ № 84»
  
  Постникова Алла Александровна,
  учитель математики МОУ «СОШ № 84»
  

• 2 слайд

  ОБУЧАЮЩАЯ :
  обобщить и закрепить понятие «геометрический смысл производной»;
  продолжить формирование представления об истории развития математического анализа;
  «открыть» зависимость:
  монотонность функции экстремумы значения производной.
  ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :
  способствовать развитию умения составлять математические модели реальных ситуаций как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления;
  развитие навыков исследовательской деятельности:
  планирование выдвижение гипотез анализ обобщение.
  РАЗВИВАЮЩАЯ :
  развивать коммуникативные компетенции учащихся,
  способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.
  ЦЕЛЬ УРОКА
  

• 3 слайд

  
  ПЛАН УРОКА
  Организационный момент.
  Проверка домашнего задания и постановка проблемы.
  Анализ наблюдений.
  Обобщение наблюдений.
  Работа с учебником.
  Экскурс в историю.
  Подведение итогов.
  Домашнее задание.
  
  
  

• 4 слайд

  Лишь дифференциальное исчисление дает
  естествознанию возможность изображать
  математически не только состояния,
  но и процессы.
  
  
  ЭПИГРАФ К УРОКУ
  Ф.Энгельс
  

• 5 слайд

  ПОВТОРИМ…
  1. В чем состоит геометрический смысл
  производной ?
  2. В любой ли точке графика можно провести
  касательную? Какая функция называется
  дифференцируемой в точке?
  3. Касательная наклонена под тупым углом к
  положительному направлению оси ОХ.
  Следовательно, … .
  4. Касательная наклонена под острым углом к
  положительному направлению оси ОХ.
  Следовательно, … .
  5. Касательная наклонена под прямым углом к
  положительному направлению оси ОХ.
  Следовательно, … .
  6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней
  совпадает. Следовательно, ….
  }
  значение производной в точке Х₀
  
  }
  тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ
  
  угловой коэффициент касательной
  
  f ´(x₀) = tg α = к
  ГРАФИК
  

• 6 слайд

  для дифференцируемых функций: 0° ≤ α ˂180°, α ≠ 90°
  
  
  
  
  
  назад
  α - тупой
  tg α < 0
  f ´(x₀) < 0
  
  α = 0
  tg α =0
  f ´(x₂) = 0
  α = 90°
  tg α не сущ.
  f ´(x₃) не сущ
  α – острый
  tg α >0
  f ´(x₁) >0
  

• 7 слайд

  НА ПРАКТИКЕ
  -
  -
  -
  +
  +
  +
  +
  0
  хmax
  хmax
  хmin
  хmin
  хmin
  Не
  сущ.
  Не
  сущ.
  0
  0
  0
  

• 8 слайд

  ГИПОТЕЗА
  Что выяснили?
  Свойства
  f(x):
  Свойства
  f '(x):
  возрастания,
  убывания,
  точки минимума,
  точки максимума.
  существование,
  нули,
  знакопостоянство.
  Какая?
  План действий
  1. Анализ наблюдений (фактов).
  2. Обобщение фактов.
  3. Проверка и выдвижение нового
  плана действий.
  существует связь
  

• 9 слайд

  2
  Какие из заданных на промежутке (a , b ) функций,
  графики которых будут представлены ниже, обладают указанными свойствами?
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  А. Функция
  убывает
  на (a , b ) .
  Б. В каждой точке
  (a , b ) можно
  провести
  касательную.
  В. В каждой точке
  (a , b ) f ´(x) ≤ 0.
  Г. В каждой точке
  (a , b ) касательная
  наклонена под
  тупым углом.
  Д. Существует
  конечное число
  точек на (a , b ),
  в которых
  f ´(x) = 0 .
  Е. Существует
  конечное число
  точек на (a , b ),
  в которых
  f ´(x) не
  существует.
  

• 10 слайд

  ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ НАБЛЮДЕНИЙ
  1
  Какими из перечисленных свойств обладают заданные на промежутке (a , b ) функции,
  графики которых будут представлены ниже.
  А. Функция возрастает.
  Б. В каждой точке можно
  провести касательную.
  В. В каждой точке f ´(x) ≥ 0.
  Г. В каждой точке касательная
  наклонена под острым углом.
  Д. Существует конечное число
  точек, в которых f ´(x) = 0 .
  Е. Существует конечное число
  точек, в которых f ´(x) не
  существует .
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  ПРОВЕРКА
  

• 11 слайд

  ПЕРВИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ
  Е с л и
  свойства
  f(x):
  ,то
  .
  3
  4
  5
  6
  7
  1
  функция возрастает на
  промежутке и имеет
  на нем производную
  проходя через точку
  х₀, f ´(x) меняет
  знак с « - » на « + ».
  1
  функция убывает на
  промежутке и имеет
  на нем производную
  2
  проходя через точку
  х₀, f ´(x) меняет
  знак с « +» на « - ».
  функция возрастает
  на промежутке
  функция убывает
  на промежутке
  неверно, что f ´(x) ˃ 0.
  неверно, что f ´(x) ˂ 0.
  f ´(x) ≥ 0.
  в точке Х₀ функция имеет экстремум
  Х₀ - точка минимума функции
  f ´(x) ≤ 0.
  Х₀ - точка
  максимума функции
  f ´(x₀) = 0 или f ´(x₀) не существует.
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  П
  О
  М
  О
  Щ
  Ь
  свойства
  f '(x):
  

• 12 слайд

  ПРОВЕРКА
  Возможны случаи :
  1
  2
  3
  Для проверки нажать указателем номер задания
  4
  5
  6
  7
  Т
  А
  Б
  Л
  И
  Ц
  А
  

• 13 слайд

  ВТОРИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ
  Е с л и
  свойства
  f(x):
  ,то
  свойства
  f '(x):
  Е с л и
  ,то
  свойства
  f(x):
  свойства
  f '(x):
  функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную
  f ´(x) ≥ 0.
  f ´(x) ≥ 0.
  функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную
  Утверждение верно ???
  Почему ???
  

• 14 слайд

  РАБОТА С УЧЕБНИКОМ
  Алгебра и начала анализа. 10 - 11 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2008.
  Среди выделенных утверждений укажите те, которые удовлетворяют одной из предложенных схем. Дайте объяснения по принятому решению.
  I.
  II.
  III.
  Е с л и
  свойства
  f(x):
  ,то
  свойства
  f '(x):
  свойства
  f '(x):
  ,то
  свойства
  f(x):
  свойства
  f(x):
  тогда и только тогда,
  Е с л и
  когда
  свойства
  f '(x):
  

• 15 слайд

  РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ С УЧЕБНИКОМ
  I ряд
  Почему ???
  Если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна;
  
  Если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительная;
  
  Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f ‘(x) ≥ 0 (причем неравенство f’(x) = 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
  
  Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f ‘(x) ≤ 0 (причем неравенство f’(x) = 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.
  
  

• 16 слайд

  II ряд
  стр. 355
  стр. 357
  Почему ???
  Думай !!!
  Если одна из функций y = f(x), y = g(x) возрастает, а другая убывает и если уравнение f(x) = g(x) имеет корень, то только один.
  
  
  Теорема 3. Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х = х˳, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
  

• 17 слайд

  III ряд
  Почему ???
  Теорема 4.(достаточные условия экстремума) Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х , тогда:
  
  а) если у этой точки существует такая окрестность в которой при х <х выполняется неравенство f ‘(x) < 0, а при х>х – неравенство f ‘(x) > 0, то х = х - точка минимума функции y = f(x);
  
  б) если у этой точки существует такая окрестность в которой при х >х выполняется неравенство f ‘(x) > 0, а при х < х – неравенство f ‘(x) < 0, то х = х - точка максимума функции y = f(x);
  
  в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х знаки производной одинаковы, то в точке х экстремума нет.
  
  Теорема 5. (условие постоянства функции) Для того чтобы непрерывная функция y = f(x) была постоянна на промежутке Х, необходимо и достаточно, чтобы во всех внутренних точках промежутка производная функции была равна нулю.
  

• 18 слайд

  Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциального исчисления.
  

• 19 слайд

  Николо Тарталья
  Н. Тарталья (около 1499 — 13 или 14 декабря 1557) – итальянский математик. Труды посвящены вопросам математики, механики, баллистики, геодезии, фортификации и др.
  В сочинении «Новая наука» (1537) он показал, что траектория полёта снаряда на всём протяжении есть кривая линия (парабола) и что наибольшая дальность полёта снаряда соответствует углу в 45°. Работа «Общий трактат о числе и мере» содержит обширный материал по вопросам арифметики, алгебры и геометрии. Имя Тартальи также связано с разработкой способа решения кубических уравнений.
  
  

• 20 слайд

  Галилео Галилей
  
  (15 февраля 1564 – 8 января 1642) – итальянский философ, математик, физик, механик и астроном, оказавший значительное влияние на науку своего времени.
  Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. Галилей – основатель экспериментальной физики. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической кинематики.
  

• 21 слайд

  Рене Декарт
  французский математик, философ,
  физик и физиолог, создатель
  аналитической геометрии и
  современной алгебраической
  символики, автор метода
  радикального сомнения в
  философии, механицизма в
  физике.
  

• 22 слайд

  Жиль Роберваль
  (8 августа 1602 – 27 октября 1657)
  – выдающийся французский математик, астроном и физик. Нашел метод построения касательных, рассматривая кривые, как результат перемещения точки, которое складывалось из нескольких более простых движений.
  Занимался:
  
  проблемами бесконечно малых
  пределами
  проблемой квадратуры круга
  вычислением объёмов различных тел
  

• 23 слайд

  Джеймс Грегори
  (ноябрь 1638 – октябрь 1675)
  – шотландский математик и астроном.
  Один из основоположников математического
  анализа. Автор одного из первых проектов
  зеркального телескопа. Разработал приём
  вычисления площади сектора круга,
  гиперболы и эллипса. Попытался доказать,
  что круговые и логарифмические функции не
  могут быть сведены к алгебраическим
  операциям.
  Вывел формулу приближённого
  интегрирования.
  

• 24 слайд

  Исаак Ньютон
  (25 декабря 1642 – 20 марта 1727) – великий английский физик, математик и астроном.
  Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона, заложившие основы классической механики.
  Разработал дифференциальное и интегральное исчисление (автор знаменитого бинома Ньютона), теорию цветности и многие другие математические и физические теории.
  

• 25 слайд

  Готфрид Вильгельм Лейбниц
  (21 июня 1646 – 14 ноября 1716) – немецкий философ, математик, юрист, дипломат.
  Создал математический анализ – дифференциальное и интегральное исчисление, сформулировал основные понятия и четко указал на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования.
  Создал комбинаторику как науку.
  Обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела.
  Привел доказательства существования подсознания человека.
  

• 26 слайд

  Якоб Бернулли
  (27 декабря 1654 – 16 августа 1705) – швейцарский математик.
  Внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления.
  Решил задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки.
  Ввёл и проинтегрировал дифференциальное уравнение.
  Ему принадлежат значительные достижения в теории рядов, теории вероятностей, теории чисел.
  

• 27 слайд

  Гийом Франсуа Лопиталь
  (1661 – 1704)
  – французский математик, автор первого учебника по математическому анализу «Анализ бесконечно малых» (1696).
  В этой книге собраны отдельные вопросы, разбросанные в разных повременных изданиях, также приводится Правило Лопиталя.
  Ему принадлежит решение ряда задач, в том числе задача о кривой, по которой должен двигаться груз, прикрепленный к цепи и удерживающий в равновесии подъемный мост.
  Решение этих задач помогло ему стать в один ряд с Ньютоном и Лейбницем.
  

• 28 слайд

  Леонард Эйлер
  Л. Эйлер (4 апреля 1707 – 7 сентября 1783), немецкий и русский математик, механик и физик.
  Ему принадлежат сочинения о дифференциальном и интегральном исчислениях, где рассматриваются не только данные разделы математики, но и развивается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных.
  Ему принадлежит первое изложение вариационного исчисления.
  Он является создателем теории специальных функций.
  Известны его работы по теории чисел.
  

• 29 слайд

  Жозеф Луи Лагранж
  (25 января 1736 – 10 апреля 1813) – французский математик и механик итальянского происхождения.
  Лучший математик 18 века.
  Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.
  Автор классического трактата «Аналитическая механика», в котором установил фундаментальный «принцип возможных перемещений» и завершил математизацию механики.
  Внёс огромный вклад в развитие анализа, теории чисел, теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление.
  

• 30 слайд

  ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ
  Что выяснили?
  Что сделали?
  Необходимое условие
  Достаточное условие
  Необходимое и достаточное условие
  1. Существует связь между свойствами функции (монотонность, экстремумы) и значениями производной (существование, знакопостоянство, нули).
  2. Провели анализ фактов по существующей связи.
  3. Провели обобщение наблюдений.
  4. Познакомились с математическими «портретами».
  5. Познакомились с историзмом проблемы.
  6. Наибольшее практическое применение имеет обратная связь.
  План
  1. Изучить обратную связь.
  2. Научиться её применять к решению задач.
  

• 31 слайд

  ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
  1. Сделать опорный конспект (§35, п.1-2).
  2. Ответить на вопросы:
  Почему признак возрастания (убывания) называется достаточным?
  Почему условие существования экстремума в точке называется необходимым?
  Дальнейших
  успехов !!!
  СПАСИБО!
  

Краткое описание документа:

Производная – одна из самых трудных и в то же время интересных тем школьного курса математического анализа. Как правило, учащиеся воспринимают предложенный материал  поверхностно, не выделяют и не видят связей между производной функции, ее геометрическим смыслом. Учащиеся заучивают формулы и основные приемы действий при исследовании функций и выполнении других задач, не понимая сути этих действий.   Целесообразность использования презентационного сопровождения на уроке продиктована следующими факторами:

·      повышение интенсификации учебно-воспитательного процесса (увеличение скорости подачи  и наглядности учебного материала, количества предлагаемой информации, частичная автоматизация системы контроля),

·      эффективность усвоения изучаемого учебного материала за счет групповой и индивидуальной исследовательской деятельности учащихся.