Презентация по алгебре на тему "Преобразования уравнений" ( 11 класс)

• 1 слайд

  Равносильность уравнений
  

• 2 слайд

  Равносильные уравнения
  Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают.
  
  Пример №1: уравнения х 2 −4=0 и х+2 2 х −4 =0
  равносильны. Оба они имеют по два корня : 2 и -2.
  
  

• 3 слайд

  Этапы решения уравнений:
  ПЕРВЫЙ ЭТАП – технический . Выполнение преобразований для получения более простого уравнения, нахождения корня последнего (самого простого) уравнения.
  ВТОРОЙ ЭТАП – анализ решения. Анализ проведенных преобразований, ответ на вопрос все ли преобразования были равносильны.
  ТРЕТИЙ ЭТАП – проверка. Проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.
  

• 4 слайд

  Теоремы о равносильности уравнений:
  «спокойные» – гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не приводит к потере или приобретению посторонних корней.
  «беспокойные» – они работают лишь при определенных условиях, их использование может привести к потере или приобретению посторонних корней.
  

• 5 слайд

  «спокойные» теоремы:
  Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
  Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
  Теорема 3. Показательное уравнение 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥)
  (где а>0, а≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).
  

• 6 слайд

  «беспокойные» теоремы:
  Теорема 4. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое:
  а) имеет смысл всюду в области определения ( в области допустимых значений) уравнения f(x)=g(x);
  б)нигде в этой области не обращается в 0, - то получится уравнение f(x) h(x) =g(x) h(x), равносильное данному.
  Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень n получится уравнение, равносильное данному: 𝑓(𝑥) 𝑛 = 𝑔(𝑥) 𝑛
  Теорема 6. Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое уравнение   log 𝑎 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥) , где а>0 и а≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  Примеры появления посторонних корней:
  Пример№2. Уравнение х – 1 = 3 имеет один корень х = 4.
  Умножим обе части уравнения на (х – 2), получим уравнение ( х – 1)(х – 2) = 3(х – 2), имеющее два корня:
  𝑥 1 =4 и 𝑥 2 =2.
  Выполним проверку корней,
  корень 𝑥 2 =2 является посторонним.
  Мы нарушили условие Теоремы 4 : выражение, на которое мы умножаем обе части уравнения, нигде не должно обращаться в 0. Выражение х – 2 обращается в 0 при х = 2 – именно это значение и оказалось посторонним корнем.
  
  
  

• 8 слайд

  Пример №3. Уравнение х – 1 = 3 имеет один корень х = 4.
  Возведем обе части уравнения в квадрат, получим уравнение (𝑥−1) 2 =9, имеющее два корня:
  𝑥 1 =4 и 𝑥 2 =−2
  Выполним проверку корней.
  Корень 𝑥 2 =−2 является посторонним.
  Мы нарушили условие Теоремы 5: обе части уравнения должны быть неотрицательны. Про выражение х – 1 этого утверждать мы не можем.
  
  
  
  

• 9 слайд

  Пример №4. Рассмотрим уравнение ln (2𝑥−4) = ln (3𝑥−5) . Потенцируя, получаем 2х – 4 = 3х – 5с единственным корнем
  Х = 1.
  Выполним проверку по ОДЗ: 2𝑥−4>0 3𝑥−5>0
  
  Корень оказался посторонним, поскольку оба выражения под знаком логарифма принимают отрицательные значения.
  Мы нарушили условие Теоремы 6: выражения под знаками логарифмов должны быть положительными, о данных выражениях этого утверждать нельзя.
  
  

• 10 слайд

  Причины появления посторонних корней:
  1) Освобождение от знаменателей, содержащих переменную величину;
  2) Освобождение от знаков корней четной степени;
  3) Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.
  4) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;
  5) Умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной.
  ПРОВЕРКА КОРНЕЙ ОБЯЗАТЕЛЬНА!!!
  

• 11 слайд

  Пример№5:
  Решите уравнение 2𝑥+5 + 5𝑥−6 =5.
  ПЕРВЫЙ ЭТАП – технический.
  𝑥 1 =2 и 𝑥 2 =44 2 9 .
  ВТОРОЙ ЭТАП – анализ решения.
  Возведение в квадрат, избавление от квадратного корня.
  ТРЕТИЙ ЭТАП – проверка.
  𝑥 2 =44 2 9 - посторонний корень.
  Ответ: х = 2.
  
  
  

• 12 слайд

  Пример№6:
  Решите уравнение ln (𝑥+4) + ln (2𝑥+3) = ln (1−2𝑥)
  ПЕРВЫЙ ЭТАП – технический.
  𝑥 1 =−1 и 𝑥 2 =−5,5
  ВТОРОЙ ЭТАП – анализ решения.
  Освобождение от знаков логарифма.
  ТРЕТИЙ ЭТАП – проверка.
  Проверка по ОДЗ: 𝑥+4>0 2𝑥+3>0 1−2𝑥>0
  Х = -5,5 – посторонний корень
  Ответ: х = -2.
  
  
  
  

• 13 слайд

  Причины потери корней:
  1) деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(x) ( кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h(x) ≠0);
  2) сужение ОДЗ в процессе решения задачи ( не верное применение формул, не соответствие левой и правой частей уравнения).
  

• 14 слайд

  Как избежать потери корней
  1) НЕ ДЕЛИТЬ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА ОДНО И ТО ЖЕ ВЫРАЖЕНИЕ h(x) !!!
  Уравнение f(x)h(x) =g(x)h(x) заменить уравнением
  h(x)(f(x) - g(x)) = 0 , а не уравнением f(x) = g(x) .
  2) Применяя при решении уравнения какую-либо формулу, следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей уравнения были одинаковыми.
  
  

• 15 слайд

  Пример№7
  Решим уравнение log 𝑥 2 =4.
  1 способ: Воспользуемся определением логарифма
  𝑥 2 = 10 4 ;
  𝑥 1 =100 и 𝑥 2 =−100.
  2 способ: Воспользуемся формулой, получим 2log 𝑥 =4;
  log 𝑥 =2; х = 100.
  Произошло сужение ОДЗ, корень х = -100 был потерян.
  Была неверно применена формула : log 𝑥 2 =2 log 𝑥 .
  Получилось, что для log 𝑥 2 ( х≠0, x>0, x<0) , а для 2log 𝑥 (х≠0, x>0).
  
  
  
  
  
  
  

Краткое описание документа:

В представленной разработке рассмотрены основные теоремы о равносильности уравнений. Подробно разобраны причины потери и приобретения посторонних корней в ходе решения уравнений. Приведено много подробно разобранных примеров, с указанием по какой причине произошло приобретение постороннего корня или его потеря.