Выбранный для просмотра документ Неравенства».pptx
Скачать материал "Презентация по алгебре " Неравенства"8 класс"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
«Неравенства»
Презентация учителя математики 1 категории
МОУ ГООШ г. Калязина Балашова С.С.
2 слайд
Числовое неравенство
Нера́венство — одно из фундаментальных понятий математики.
Если два вещественных числа a и b соединены знаком неравенства ≠ или одним из отношений порядка a > b , или
a < b или a ≥ b , или же a ≤ b , установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство.
Если a > b – это значит, что a – b – положительное число;
Если a < b - это значит, что a – b – отрицательное число;
3 слайд
Неравенства одинакового и противоположного смысла
Неравенства
Неравенства одинакового смысла
Неравенства противоположного смысла
Неравенства вида
a > b, c > d (или a < c, c < d) называют неравенствами одинакового смысла
Неравенства вида a > d и
c < d называют неравенствами противоположного смысла
4 слайд
Строгие и нестрогие неравенства
Неравенства
Строгие
Нестрогие
Неравенства отношений >, <
называют строгими
Неравенства отношений ≥, ≤ называют нестрогими
5 слайд
Свойства числовых неравенств
Свойство 1.
Если a > b и b > c, то a > c
Доказательство.
1) a > b – по условию, т.е. a - b – положительное число.
2) b > c – по условию, т.е. b - c – положительное число.
3) Сложив положительные числа a - b и b - c, получим положительное число.
4) Следовательно, (a - b) + (b - c) = a - c. Значит, a - c – положительное число , т.е a > c, что и требовалось доказать.
6 слайд
Обоснование свойства 1, при помощи числовой прямой
Неравенство a > b означает, что на числовой прямой точка a расположена правее точки b, а неравенство b > c - что точка b расположена правее точки c. Но тогда точка a расположена на прямой правее точки c, т.е. a > c. Это свойство называют свойством транзитивности (Образно говоря, от пункта a мы добираемся до пункта c как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b)
c
b
a
x
7 слайд
Свойство 2.
Если a > b, то a + c > b + c
То есть, если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число, то знак неравенства не изменится.
Пример:
6 > 4 , если к обеим частям неравенства прибавить 2 , то знак неравенства не изменится. Получится такое выражение: 8 > 6.
На основе первого свойства можно сделать вывод, что любое слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Пример:
5 < 9, в этом неравенстве можем правую часть перенести в левую, а левую в правую, и знак неравенств не поменяется: -9 < 5
8 слайд
Свойство 3.
Если a > b и m > 0 , то a b
m m
То есть, если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
Пример: a > b , тогда a b
Если а > b и m > 0, то am> bm
То есть, если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
Пример: a > b , тогда 8a > 8b
Если а > b и m < 0, то am < bm.
То есть, если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >,> на < ).
Пример: a < b, тогда -9a > -9b;
Если a > b, то -a <-b;
То есть, если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства.
8
8
9 слайд
Свойство 4.
Если a > b и c > d, то a + c > b + d.
Доказательство.
I способ.
1. а > b и с > d - по условию, значит, а - b и с - d — положительные числа.
2. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) — положительное число.
3. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), то и (а + с) - (b + d) — положительное число. Поэтому a + c > b + d, что и требовалось доказать.
II способ.
1.Так как а > Ь, то а + с > b + с – по свойству 2.
2. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.
3.Итак, а + с > b + с, b + с > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d, что и требовалось доказать.
10 слайд
Свойство 5.
Если a, b, c, d – положительные числа и a > b, c > d, то ac > bd.
То есть, при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.
Доказательство.
1.Так как a > b и c > 0, то ac > bc – по свойству 3.
2.Так как с > d и b > 0, то cb > db – по свойству 3.
3. Итак, ac > bc, bc > bd. Тогда ac > bd - по свойству транзитивности, что и требовалось доказать.
11 слайд
Свойство 6.
Если а и b — неотрицательные числа и а > b, то аn > Ьn, где n — любое натуральное число.
То есть, если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.
Дополнение:
Если n — нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла аn > bn.
12 слайд
Пример 1.
Пусть a и b - положительные числа и a > b.
Доказать, что
Решение.
Рассмотрим разность
Имеем:
По условию, а, b, а - b — положительные числа. Значит,
- отрицательное число, т.е.
откуда следует, что
13 слайд
Пример 2.
Пусть а — положительное число.
Доказать, что
Решение.
Получили неотрицательное число, значит,
Заметим, что
14 слайд
Пример 3.
Пусть а и b неотрицательные числа.
Доказать, что
Решение.
Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем
15 слайд
В этом случае, число
называют средним арифметическим чисел а и b;
Число называют средним геометрическим чисел а и b.
Таким образом, среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.
Замечание. Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что
(так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что такое ?
Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиана, проведенная к гипотенузе, т. е. , ,
не меньше высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. ),
— очевидный геометрический факт (см. рис. 116).
Огюсте́н Луи́ Коши́
16 слайд
Использованные ресурсы
Учебник «Алгебра» А.Г. Мордкович 8 класс
http://ru.wikipedia.org/wiki
Яндекс картинки
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 609 957 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Балашов Сергей Сергеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.