Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Обратная матрица. Матричные уравнения» - урок 7-ой. Рекомендовано для выпускников СПО.

• 1 слайд

  Обратная матрица. Матричные уравнения
  ГБОУ СПО МО «ЛПТ»
  Преподаватель математики
  Осипова Людмила Евгеньевна
  Mila139139 @ yandex.ru
  
  Тема 1.1.
  Матрицы и определители.
  Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
  Лекция № 7
  УРОК СЕДЬМОЙ
  

• 2 слайд

  Основное понятие
  Квадратная матрица А = (аij ) , где i = j = 1,2,3,…,n, называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю
  На пример:
  А =
  - вырожденная матрица, т.к. det (А) = 9 - 9 = 0
  В =
  - невырожденная матрица, т.к. det (В) 0
  Квадратная матрица А = (аij ) , где i = j = 1,2,3,…,n, называется вырожденной, если ее определитель равен нулю
  ≠
  

• 3 слайд

  Определение
  Если квадратная матрица А невырожденная, определитель, которой не равен нулю, то для нее существует обратная матрица А ,
  которая задаётся условием:
  -1
  -1
  -1
  А А = А А = Е
  где Е - единичная матрица
  

• 4 слайд

  Введём понятие союзной матрицы
  Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная.
  Матрица Α* называется союзной к квадратной матрице Α , если элементы матрицы Α* равны алгебраическим дополнениям
  соответствующих элементов матрицы Α
  ВЫВОД
  Α =
  a11 a12 a13
  a21 a22 a23
  a31 a32 a33
  Α* =
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33
  Обратите внимание на индексацию алгебраических дополнений.
  

• 5 слайд

  Теорема
  Пусть задана матрица А ,
  причём detA 0
  ≠
  Α =
  a11 a12 a13
  a21 a22 a23
  a31 a32 a33
  1) Таким образом, матрица A – невырожденная, т.к. detА 0 , значит она имеет союзную A*
  ≠
  Доказательство
  Α* =
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33
  Всякая невырожденная матрица имеет обратную
  

• 6 слайд

  2) Найдём произведение матриц А и А*
  А А* =
  a11 a12 a13
  a21 a22 a23
  a31 a32 a33
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33
  =
  =
  =
  а11А11 + а12А12 + а13А13 ... а11А31 + а12А32 + а13А33
  а21А11 + а22А12 + а23А13 ... а21А31 + а22А32 + а23А33
  а31А11 + а32А12 + а33А13 ... а31А31 + а32А32 + а33А33
  =
  detA 0 0
  0 detA 0
  0 0 detA
  =
  detA
  0 0
  0 1 0
  0 0 1
  =
  detA E ,
  т.е. А А* = detA E
  ( 1 )
  

• 7 слайд

  3) Найдём произведение матриц А* и А
  a11 a12 a13
  a21 a22 a23
  a31 a32 a33
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33
  =
  A* A =
  =
  detA 0 0
  0 detA 0
  0 0 detA
  =
  detA
  0 0
  0 1 0
  0 0 1
  =
  detA E ,
  т.е. А* А = detA E
  ( аналогичным способом )
  ( 2 )
  

• 8 слайд

  Сравнивая полученные результаты равенства (1) и (2)
  с определением обратной матрицы, получаем
  
  А А* = detA E
  А*
  А
  detA
  = E
  А* А = detA E
  А*
  А
  detA
  = E
  А*
  А =
  detA
  -1
  А*
  А =
  detA
  -1
  1
  detА
  =
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33
  (1)
  (2)
  Ч. Т. Д.
  

• 9 слайд

  А =
  -1
  1
  detА
  A11 A21 A31 ….A n1
  A12 A22 A32…. An2
  …………………..
  An1 An2 An3 …. Ann
  detА – определитель матрицы А,
  Аij – алгебраические дополнения для элемента аij матрицы А.
  где
  Обратную матрицу вычисляют по формуле
  

• 10 слайд

  Рассмотрим пример 1
  Пусть дана матрица
  2
  6 4
  А =
  Определить, существует ли обратная матрица А
  -1
  Решение.
  detA =
  2
  6 4
  А =
  2
  6 4
  = 12 – 12 = 0
  A – вырожденная матрица,
  следовательно, обратной для нее – A - не существует.
  -1
  Ответ: нет
  

• 11 слайд

  Рассмотрим пример 2
  Пусть дана матрица
  Определить, существует ли обратная матрица А
  А =
  0 0
  0 2 0
  1 3 4
  Решение.
  А =
  0 0
  0 2 0
  1 3 4
  detA =
  0 0
  0 2 0
  1 3 4
  = 1(8-0) + 1(0-0) = 8
  ≠
  0
  A – невырожденная матрица,
  следовательно, обратная для нее существует и находится по формуле:
  -1
  

• 12 слайд

  А =
  -1
  1
  detА
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33
  , detA = 8
  А =
  0 0
  0 2 0
  1 3 4
  А11 = (-1)
  0
  3 4
  = + (8 – 0) = 8
  А12 = (-1)
  0 0
  1 4
  = - (0 – 0) = 0
  1+1
  1+2
  А13 = (-1)
  0 2
  1 3
  = + (0 – 2) = -2
  1+3
  1 – ый
  столбец
  Найдём все алгебраические дополнения
  

• 13 слайд

  Найдём все алгебраические дополнения
  А =
  0 0
  0 2 0
  1 3 4
  А21 = (-1)
  0 0
  3 4
  = - (0 – 0) = 0
  2+1
  А22 = (-1)
  1 0
  1 4
  = + (4 – 0) = 4
  2+2
  А23 = (-1)
  1 0
  1 3
  = - (3 – 0) = -3
  2+3
  2 – ой
  столбец
  А =
  -1
  1
  detА
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33
  , detA = 8
  

• 14 слайд

  Найдём все алгебраические дополнения
  А =
  0 0
  0 2 0
  1 3 4
  А31 = (-1)
  0 0
  2 0
  = + (0 – 0) = 0
  3+1
  А32 = (-1)
  1 0
  0 0
  = - (0 – 0) = 0
  3+2
  А33 = (-1)
  1 0
  0 2
  = + (2 – 0) = 2
  3+3
  3 – ый
  столбец
  А =
  -1
  1
  detА
  A11 A21 A31
  A12 A22 A32
  A13 A23 A33
  , detA = 8
  А =
  -1
  1
  8
  8 0 0
  0 4 0
  -2 -3 2
  Тогда получим:
  

• 15 слайд

  Сделаем проверку
  А А =
  -1
  1
  8
  8 0 0
  0 4 0
  -2 -3 2
  0 0
  0 2 0
  1 3 4
  1
  8
  =
  8+0+0 0+0+0 0+0+0
  0+0+0 0+8+0 0+0+0
  -2+0+2 0-6+6 0+0+8
  =
  =
  1
  8
  8 0 0
  0 8 0
  0 0 8
  =
  Е
  А =
  -1
  1
  8
  8 0 0
  0 4 0
  -2 -3 2
  Ответ:
  Значит, обратная матрица найдена верно
  1 0 0
  0 1 0
  0 0 1
  =
  

• 16 слайд

  Используется только для матрицы второго порядка
  Равен Δ нулю?
  Найдём Δ заданной матрицы
  обратной матрицы Α
  не существует
  -1
  да
  Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали
  меняем знак на противоположный.
  Делим все элементы на Δ и получаем обратную матрицу Α.
  Алгоритм нахождение обратной матрицы
  (облегченный способ )
  -1
  нет
  

• 17 слайд

  Рассмотрим пример 3
  Задание.
  Найти обратную матрицу А для
  А =
  1
  1 2
  -1
  Решение.
  detA =
  1
  1 2
  = 2 – 1 = 1 0
  1. Найдём определитель:
  ≠
  2. Соберём союзную матрицу:
  А* =
  2 -1
  -1 1
  3. Разделим все элементы А* на Δ :
  А =
  2 -1
  -1 1
  -1
  Ответ:
  А =
  2 -1
  -1 1
  -1
  

• 18 слайд

  Матричные уравнения
  Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной
  матрицей Х записываются следующим образом:
  А Х = В
  Х = А В
  -1
  Х А = В
  Х = В А
  -1
  А Х С = В
  Х = А В С
  -1
  -1
  А, В, С, Х – матрицы таких размеров, что все операции
  умножения возможны
  Если матрицы А и С невырождены, то решение записывают так:
  

• 19 слайд

  Рассмотрим пример 4
  Задание.
  Решить матричное уравнение
  -3 0
  5 -1
  -3 6
  1 -4
  Х =
  Решение.
  Запишем матричное уравнение в виде АХ = В Х = А В
  -1
  detA =
  -3 0
  5 -1
  ≠
  = 3 0
  A =
  -1
  1
  Δ
  Α* =
  -1 0
  -5 -3
  =
  -1/3 0
  -5/3 -1
  Х = А В =
  -1
  -3 6
  1 -4
  1 -2
  6 -14
  =
  Ответ:
  1 -2
  6 -14
  Х =
  1
  3
  -1/3 0
  -5/3 -1
  

• 20 слайд

  Решить самостоятельно
  Найти обратную матрицу к матрице                         
  Решение
  ШАГ 1. Вычисляем определитель матрицы:
  ШАГ 2. Вычислить алгебраические дополнения
  

• 21 слайд

• 22 слайд

  ШАГ 3. Полученные значения подставим в исходную формулу
  Получим:
  ( ответ )
  

• 23 слайд

  Основные источники
  Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
  Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
  Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.