Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике на тему "Решение уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ"

Презентация по математике на тему "Решение уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Решение уравнений и неравенств Работу выполнили: Бабушкина К. Карпикова К. Ко...
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаем...
Областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения называется пересечение о...
Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что данное ур...
Решение уравнения
Системы уравнений с двумя неизвестными Уравнением с двумя неизвестными x и y...
Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется пара уравнений с двум...
Системы линейных уравнений Пусть дана система a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 Система и...
Способы решения систем уравнений Графический способ Способ подстановки Способ...
Графический способ Чтобы решить графическим способом систему двух уравнений с...
Решить графически систему уравнений
Способ Подстановки Заключается в том , что в одном из уравнений выражают одну...
Решить систему уравнений способом подстановки 7х -2·(4+2x) = 31 7x - 8- 4x =...
Способ сложения Заключается в том, что если данная система состоит из уравнен...
Решить систему уравнений способом сложения 4х - 7·30 = 30 4x - 210 = 30 4x =...
Решение системы уравнений
Решаем первое уравнение: перенесем z в правую часть и возведем обе части в кв...
Вычтем из уравнения (1) второе уравнение системы, умноженное на 2: (x2 + 2xy...
Получим: x – y = 0 z + 4 = 0 x = y z = -4 Подставим эти выражения в первое ур...
Неравенства Неравенством с одним неизвестным называется пара функций от одной...
Решить неравенство (систему неравенств) значит найти множество всех решений э...
Отметим, что проверка правильности всех найденных решений неравенства подстан...
В противном случае нахождение ОДЗ обязательно. При этом возможны два подхода...
Решить систему неравенств В ответ запишите сумму целых решений.
Решим оба неравенства системы методом интервалов. Решением этого неравенства...
Аналогично получим, что решением неравенства является отрезок [-2;6]. Решение...
Нанесем оба решения на одну числовую ось (сверху решение первого, снизу второ...
Объединение неравенств Отметим также, что очень часто решениями данного нерав...
Эту запись будем называть объединением неравенств. Решением объединения двух...
Решить объединение неравенств В ответ запишите наибольшее целое решение.
Решаем первое неравенство. Разложим числитель левой части на множители, испол...
Умножим обе части на (-1), знак неравенства изменится на противоположный: Ква...
Если умножить на него левую и правую часть неравенства, то получим равносильн...
Решаем второе неравенство. Рассуждая также, как и в первом неравенстве, прихо...
Получим неравенство: х2
Значит, второе неравенство совокупности решений не имеет. Поэтому решение сов...
Рациональные неравенства Рациональным называется всякое неравенство, сводящее...
Поскольку то для решения рациональных неравенств удобно применять метод интер...
При преобразованиях выражений и, в частности, при разложении их на множители...
Решение неравенства методом интервалов
Разложим числитель левой части неравенства на скобки. Для этого найдем решени...
Найдем нули числителя и знаменателя: x1 = -4, x2= 2, x3 = 0. Нанесем эти числ...
Расставим знаки на каждом интервале, с учетом того, что x2 всегда больше или...
Показательные уравнения и неравенства Стандартный способ решения простейших п...
Если же основание a удовлетворяет неравенствам 0
Для приведения исходного показательного уравнения или неравенства к нужному в...
К неравенствам вида (af-ag)xh˅0 применим метод замены множителя, позволяющий...
Решение показательного неравенства
Так как основание меньше единицы, но больше нуля, то наше неравенство эквивал...
Перенесем все в левую часть, приведем к общему знаменателю. Решим неравенство...
Логарифмические уравнения и неравенства Стандартный метод решения простейших...
В случае 0
Для того чтобы отбросить логарифмы в уравнении или неравенстве , его правую ч...
Для приведения исходного логарифмического уравнения или неравенства к нужному...
Решение логарифмического уравнения log x – 1 25 = 2
ОДЗ: Х – 1 ≠ 1 Х ≠ 2 Х – 1 > 0 Х > 1 Воспользуемся основным логарифмическим т...
К неравенствам вида также применим метод замены множителя: пусть a>1 тогда мн...
Опять же, в случае 00.
Решение логарифмического неравенства
Иррациональные уравнения и неравенства Для избавления от радикалов в иррацион...
Пусть f,g≥0, тогда уравнение или неравенство f ˅ g равносильно уравнению или...
Преобразования иррациональных уравнений или неравенств производится по следую...
Корни четной степени извлекаются только из неотрицательных чисел. Поэтому, де...
Решение иррационального уравнения
К неравенствам вида также применим метод замены множителя, вытекающий из осно...
Решение иррационального неравенства
ОДЗ: Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит 
Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому су...
Имеем: С учетом ОДЗ получаем ответ:
Уравнения и неравенства с модулем Стандартное правило раскрытия модуля основы...
Раскрывая сразу несколько модулей, приходится разбирать случаи, которые задаю...
Другой подход , напоминающий скорее не раскрытие, а отбрасывание модулей, при...
Исходя из этого смысла, можно установить справедливость, например, таких утве...
Полезную роль при преобразовании выражений могут сыграть следующие свойства м...
К неравенствам вида (|f|-|g|)xh˅0 также применим метод замены множителя: множ...
Решение уравнения с модулем │x - 1│- 2 │x + 2│= 0
Найдем точки перемены знака модуля из условий: х – 1 = 0 и х + 2 = 0 х = 1 х...
На промежутке (- ∞; -2 ] уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2∙ (– х – 2) = 0...
На промежутке [-2;1] уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0 			–...
На промежутке [1;+∞) уравнение имеет вид: ( х – 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0 			х –...
Решение неравенства с модулем
Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в...
85 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Решение уравнений и неравенств Работу выполнили: Бабушкина К. Карпикова К. Ко
Описание слайда:

Решение уравнений и неравенств Работу выполнили: Бабушкина К. Карпикова К. Ковязина О. Сысолетин И. Руководитель работы: учитель математики Белоглазова Н.Л. 2013 г.

№ слайда 2 Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаем
Описание слайда:

Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. Пользуясь понятием функции, можно сказать, что уравнение (с одним неизвестным) - это пара функций от одной и той же переменной x, соединенных знаком равенства: f(x)=g(x)

№ слайда 3 Областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения называется пересечение о
Описание слайда:

Областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения называется пересечение области определения функций f(x) и g(x): D(f)∩D(g) Число a называется корнем(или решением) данного уравнения, если при подстановке в уравнение вместо каждого вхождения x числа a уравнение обращается в верное числовое равенство: f(a)=g(a).

№ слайда 4 Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что данное ур
Описание слайда:

Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что данное уравнение корней не имеет. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Уравнение A является следствием уравнения B, если все корни уравнения B являются корнями уравнения A (но, быть может, среди корней уравнения A есть такие, которые не являются корнями B).

№ слайда 5 Решение уравнения
Описание слайда:

Решение уравнения

№ слайда 6 Системы уравнений с двумя неизвестными Уравнением с двумя неизвестными x и y
Описание слайда:

Системы уравнений с двумя неизвестными Уравнением с двумя неизвестными x и y называется пара функций от двух переменных (x и y), соединенных знаком равенства: f(x0, y0)=g(x0, y0) Решением такого уравнения называется всякая пара чисел (x0, y0), подстановка которых в уравнение вместо соответствующих неизвестных обращает это уравнение в верное равенство.

№ слайда 7 Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется пара уравнений с двум
Описание слайда:

Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется пара уравнений с двумя неизвестными: Решением системы называется пара чисел (x0, y0), являющаяся решением и первого, и второго уравнений системы. Решить систему - это значит найти все её решения или доказать, что система решений не имеет.

№ слайда 8 Системы линейных уравнений Пусть дана система a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 Система и
Описание слайда:

Системы линейных уравнений Пусть дана система a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда a1b2-a2b1≠0; Система имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда a1b2-a2b1=0 a1c2-a2c1=0 b1c2-b2c1=0 Система не имеет решений тогда и только тогда, когда a1b2-a2b1=0, но a1c2-a2c1≠0 или b1c2-b2c1≠0.

№ слайда 9 Способы решения систем уравнений Графический способ Способ подстановки Способ
Описание слайда:

Способы решения систем уравнений Графический способ Способ подстановки Способ сложения

№ слайда 10 Графический способ Чтобы решить графическим способом систему двух уравнений с
Описание слайда:

Графический способ Чтобы решить графическим способом систему двух уравнений с двумя переменными, нужно построить график каждого из уравнений системы и найти их точки пересечения. Координаты каждой точки образуют решение системы. Сколько точек пересечения -столько решений имеет система.

№ слайда 11 Решить графически систему уравнений
Описание слайда:

Решить графически систему уравнений

№ слайда 12 Способ Подстановки Заключается в том , что в одном из уравнений выражают одну
Описание слайда:

Способ Подстановки Заключается в том , что в одном из уравнений выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, которое после этого обращается в уравнение с одной переменной, а затем решают его. Получившиеся значения подставляют в любое уравнение исходной системы и находят вторую переменную.

№ слайда 13 Решить систему уравнений способом подстановки 7х -2·(4+2x) = 31 7x - 8- 4x =
Описание слайда:

Решить систему уравнений способом подстановки 7х -2·(4+2x) = 31 7x - 8- 4x = 31 3x = 39 x = 13 y = 4 + 2·13 y = 30 Ответ : (13; 30)

№ слайда 14 Способ сложения Заключается в том, что если данная система состоит из уравнен
Описание слайда:

Способ сложения Заключается в том, что если данная система состоит из уравнений, которые при почленном сложении образуют уравнение с одной переменной, то, решив это уравнение, мы получим значения одной из переменных. Значения второй переменной находятся как и в способе подстановки.

№ слайда 15 Решить систему уравнений способом сложения 4х - 7·30 = 30 4x - 210 = 30 4x =
Описание слайда:

Решить систему уравнений способом сложения 4х - 7·30 = 30 4x - 210 = 30 4x = 240 x = 60 2y = 60 y = 30 Ответ: (60;30)

№ слайда 16 Решение системы уравнений
Описание слайда:

Решение системы уравнений

№ слайда 17 Решаем первое уравнение: перенесем z в правую часть и возведем обе части в кв
Описание слайда:

Решаем первое уравнение: перенесем z в правую часть и возведем обе части в квадрат x + y = 4 – z, (x + y)2 = (4 – z)2, x2 + 2xy + y2 = 16 – 8z + z2 (1)

№ слайда 18 Вычтем из уравнения (1) второе уравнение системы, умноженное на 2: (x2 + 2xy
Описание слайда:

Вычтем из уравнения (1) второе уравнение системы, умноженное на 2: (x2 + 2xy + y2) – 2·(2xy – z2) = (16 – 8z + z2) – 2·16 x2 + 2xy + y2 – 4xy + 2z2 = 16 – 8z + z2 – 32, x2 – 2xy + y2 + z2 + 8z + 16 = 0, (x – y)2 + (z + 4)2 = 0 Квадрат любого числа больше либо равен нулю. Поэтому сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если каждый из них равен нулю.

№ слайда 19 Получим: x – y = 0 z + 4 = 0 x = y z = -4 Подставим эти выражения в первое ур
Описание слайда:

Получим: x – y = 0 z + 4 = 0 x = y z = -4 Подставим эти выражения в первое уравнение системы: x + y + z = 4  y + y – 4 = 4  2y = 8  y = 4  x = 4 Ответ: (4; 4;- 4)

№ слайда 20 Неравенства Неравенством с одним неизвестным называется пара функций от одной
Описание слайда:

Неравенства Неравенством с одним неизвестным называется пара функций от одной и той же переменной, соединенная одним из знаков: >,≥,<,≤,≠. Решением неравенства (системы неравенств) называется всякое действительное число, подстановка которого в неравенство (каждое неравенство системы) вместо каждого вхождения неизвестного (переменной) обращает это неравенство (все неравенства системы) в верное числовое неравенство (верные числовые неравенства).

№ слайда 21 Решить неравенство (систему неравенств) значит найти множество всех решений э
Описание слайда:

Решить неравенство (систему неравенств) значит найти множество всех решений этого неравенства (этой системы неравенств) или доказать, что оно (она) решений не имеет. Два неравенства (две системы неравенств) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Соответственно, преобразования неравенства называются равносильными, если при этих преобразованиях множество решений полученного неравенства совпадает с множеством решений исходного неравенства.

№ слайда 22 Отметим, что проверка правильности всех найденных решений неравенства подстан
Описание слайда:

Отметим, что проверка правильности всех найденных решений неравенства подстановкой в исходные неравенства в подавляющем большинстве случаев невозможна. Поэтому при решении неравенств (систем неравенств) нужно пользоваться равносильными преобразованиями (равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ). Нахождение ОДЗ не обязательно, если вы пользуетесь исключительно равносильными преобразованиями.

№ слайда 23 В противном случае нахождение ОДЗ обязательно. При этом возможны два подхода
Описание слайда:

В противном случае нахождение ОДЗ обязательно. При этом возможны два подхода к оформлению решения: ОДЗ в виде неравенства или системы неравенств присоединяют к данному неравенству (данной системе) и полученную систему решают; Находят ОДЗ. Решают данное неравенство(систему неравенств), пользуясь лишь равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ. Из полученных решений удаляют те, которые не входят в ОДЗ.

№ слайда 24 Решить систему неравенств В ответ запишите сумму целых решений.
Описание слайда:

Решить систему неравенств В ответ запишите сумму целых решений.

№ слайда 25 Решим оба неравенства системы методом интервалов. Решением этого неравенства
Описание слайда:

Решим оба неравенства системы методом интервалов. Решением этого неравенства является объединение промежутков

№ слайда 26 Аналогично получим, что решением неравенства является отрезок [-2;6]. Решение
Описание слайда:

Аналогично получим, что решением неравенства является отрезок [-2;6]. Решением системы неравенств с одной переменной будет пересечение решений всех неравенств системы.

№ слайда 27 Нанесем оба решения на одну числовую ось (сверху решение первого, снизу второ
Описание слайда:

Нанесем оба решения на одну числовую ось (сверху решение первого, снизу второго): Пересечение решений это те точки на оси, у которых имеется двойная штриховка (снизу и сверху). Это множество, состоящее из числа -2 и отрезка [2;6]. В этом множестве содержатся целые числа: -2, 2, 3, 4, 5 и 6. Их сумма равна 18. Ответ: 18

№ слайда 28 Объединение неравенств Отметим также, что очень часто решениями данного нерав
Описание слайда:

Объединение неравенств Отметим также, что очень часто решениями данного неравенства(системы неравенств) является объединение решений двух или более неравенств(систем неравенств). В таких случаях мы будем употреблять запись вида f(x)≥g(x) h(x)<u(x)

№ слайда 29 Эту запись будем называть объединением неравенств. Решением объединения двух
Описание слайда:

Эту запись будем называть объединением неравенств. Решением объединения двух неравенств является всякое число, являющееся решением хотя бы одного из двух неравенств объединения. Иначе говоря, для решения объединения нужно найти множества всех решений первого и второго неравенств и найденные множества объединить.

№ слайда 30 Решить объединение неравенств В ответ запишите наибольшее целое решение.
Описание слайда:

Решить объединение неравенств В ответ запишите наибольшее целое решение.

№ слайда 31 Решаем первое неравенство. Разложим числитель левой части на множители, испол
Описание слайда:

Решаем первое неравенство. Разложим числитель левой части на множители, используя формулу разложения квадратного трехчлена на множители.

№ слайда 32 Умножим обе части на (-1), знак неравенства изменится на противоположный: Ква
Описание слайда:

Умножим обе части на (-1), знак неравенства изменится на противоположный: Квадратный трехчлен х2+х+2>0, т.к. отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент (число, стоящее перед х2).

№ слайда 33 Если умножить на него левую и правую часть неравенства, то получим равносильн
Описание слайда:

Если умножить на него левую и правую часть неравенства, то получим равносильное неравенство: Решив его методом интервалов, получим ответ:

№ слайда 34 Решаем второе неравенство. Рассуждая также, как и в первом неравенстве, прихо
Описание слайда:

Решаем второе неравенство. Рассуждая также, как и в первом неравенстве, приходим к выводу, что х2 + x + 1 > 0 для всех х и на него можно умножить левую и правую части неравенства.

№ слайда 35 Получим неравенство: х2
Описание слайда:

Получим неравенство: х2<0 Данное неравенство не имеет решений, так как квадрат любого числа неотрицательный.

№ слайда 36 Значит, второе неравенство совокупности решений не имеет. Поэтому решение сов
Описание слайда:

Значит, второе неравенство совокупности решений не имеет. Поэтому решение совокупности совпадает с решением первого неравенства: Наибольшее целое решение — число 3. Ответ: 3.

№ слайда 37 Рациональные неравенства Рациональным называется всякое неравенство, сводящее
Описание слайда:

Рациональные неравенства Рациональным называется всякое неравенство, сводящееся к неравенству вида или вида , где P(x), Q(x) - некоторые многочлены.

№ слайда 38 Поскольку то для решения рациональных неравенств удобно применять метод интер
Описание слайда:

Поскольку то для решения рациональных неравенств удобно применять метод интервалов.

№ слайда 39 При преобразованиях выражений и, в частности, при разложении их на множители
Описание слайда:

При преобразованиях выражений и, в частности, при разложении их на множители иногда помогают формулы сокращенного умножения:

№ слайда 40 Решение неравенства методом интервалов
Описание слайда:

Решение неравенства методом интервалов

№ слайда 41 Разложим числитель левой части неравенства на скобки. Для этого найдем решени
Описание слайда:

Разложим числитель левой части неравенства на скобки. Для этого найдем решения уравнения  x2 + 2x - 8 = 0 x1 = -4, x2 = 2. Мы получим разложение на множители: x2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2).

№ слайда 42 Найдем нули числителя и знаменателя: x1 = -4, x2= 2, x3 = 0. Нанесем эти числ
Описание слайда:

Найдем нули числителя и знаменателя: x1 = -4, x2= 2, x3 = 0. Нанесем эти числа на ось, при этом нули знаменателя будут выколотыми точками, а нули числителя нет.

№ слайда 43 Расставим знаки на каждом интервале, с учетом того, что x2 всегда больше или
Описание слайда:

Расставим знаки на каждом интервале, с учетом того, что x2 всегда больше или равен нуля. В результате должно получиться то, что изображено на рисунке выше. Поскольку знак неравенства ≤, то мы выбираем те интервалы, над которыми стоит знак "-". Записываем решение неравенства

№ слайда 44 Показательные уравнения и неравенства Стандартный способ решения простейших п
Описание слайда:

Показательные уравнения и неравенства Стандартный способ решения простейших показательных уравнений и неравенств основывается на монотонности показательной функции, из которой получается следующее основное правило отбрасывания оснований: пусть a>1, тогда уравнение или неравенство af ˅ ag равносильно уравнению или неравенству f ˅ g, где ˅ - это >,≥,<,≤. В этом правиле последнее уравнение или неравенство имеет тот же знак ˅, что и первое, так как показательная функция с основанием a>1 возрастает.

№ слайда 45 Если же основание a удовлетворяет неравенствам 0
Описание слайда:

Если же основание a удовлетворяет неравенствам 0<a<1, то в сформулированный переход необходимо внести поправку, поменяв в конце знак на обратный, а именно: > на <, знак ≥ на ≤ и.т.д., но знак = (как и знак ≠) при этом не меняется вовсе. Все дело в том, что показательная функция с основанием, меньшим единицы, уже не возрастает, а убывает.

№ слайда 46 Для приведения исходного показательного уравнения или неравенства к нужному в
Описание слайда:

Для приведения исходного показательного уравнения или неравенства к нужному виду могут пригодится следующие формулы действий со степенями(a, b>0):

№ слайда 47 К неравенствам вида (af-ag)xh˅0 применим метод замены множителя, позволяющий
Описание слайда:

К неравенствам вида (af-ag)xh˅0 применим метод замены множителя, позволяющий сильно упростить выражение в скобках и состоящий в следующем: пусть a>1, тогда множитель af-ag можно заменить множителем f-g того же знака. При указанной замене сохраняется каждое из трех возможных событий: положительность множителя, его отрицательность и равенство его нулю. В случае 0<a<1 тот же множитель af-ag можно заменить противоположным множителем g-f.

№ слайда 48 Решение показательного неравенства
Описание слайда:

Решение показательного неравенства

№ слайда 49 Так как основание меньше единицы, но больше нуля, то наше неравенство эквивал
Описание слайда:

Так как основание меньше единицы, но больше нуля, то наше неравенство эквивалентно неравенству:

№ слайда 50 Перенесем все в левую часть, приведем к общему знаменателю. Решим неравенство
Описание слайда:

Перенесем все в левую часть, приведем к общему знаменателю. Решим неравенство методом интервалов, получим ответ:

№ слайда 51 Логарифмические уравнения и неравенства Стандартный метод решения простейших
Описание слайда:

Логарифмические уравнения и неравенства Стандартный метод решения простейших логарифмических уравнений и неравенств опирается на монотонность логарифмической функции, т.е. на следующее основное правило отбрасывания логарифмов: пусть a>1, тогда уравнение или неравенство равносильно системе:

№ слайда 52 В случае 0
Описание слайда:

В случае 0<a<1, неравенстве f ˅ g итоговой системе необходимо заменить неравенством f ˄ g, так как логарифмическая функция с таким основанием a убывает. Если же основание логарифма не есть константа, то отдельно разбираются случаи, когда оно больше единицы и когда меньше.

№ слайда 53 Для того чтобы отбросить логарифмы в уравнении или неравенстве , его правую ч
Описание слайда:

Для того чтобы отбросить логарифмы в уравнении или неравенстве , его правую часть можно представить в нужном виде с помощью тождества:

№ слайда 54 Для приведения исходного логарифмического уравнения или неравенства к нужному
Описание слайда:

Для приведения исходного логарифмического уравнения или неравенства к нужному виду могут пригодиться следующие формулы действий с логарифмами(a, b, x, y>0 и a, b≠1):

№ слайда 55 Решение логарифмического уравнения log x – 1 25 = 2
Описание слайда:

Решение логарифмического уравнения log x – 1 25 = 2

№ слайда 56 ОДЗ: Х – 1 ≠ 1 Х ≠ 2 Х – 1 &gt; 0 Х &gt; 1 Воспользуемся основным логарифмическим т
Описание слайда:

ОДЗ: Х – 1 ≠ 1 Х ≠ 2 Х – 1 > 0 Х > 1 Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:  (x – 1)2= 25 Х2 – 2х + 1 = 25 Х2 – 2х – 24 = 0 Х1=6 Х2=-4 (не принадлежит ОДЗ)

№ слайда 57 К неравенствам вида также применим метод замены множителя: пусть a&gt;1 тогда мн
Описание слайда:

К неравенствам вида также применим метод замены множителя: пусть a>1 тогда множитель можно заменить множителем f-g того же знака при дополнительных условиях a, f, g>0 и a≠1. Важный частный случай этой замены получается при подстановке в ней g=1:пусть a>1, тогда множитель можно заменить множителем f-1 при f>0.

№ слайда 58 Опять же, в случае 00.
Описание слайда:

Опять же, в случае 0<a<1 множитель можно заменить противоположным множителем g-f при g, f, a>0 и a≠1, а множитель -противоположным множителем 1-f при f>0.

№ слайда 59 Решение логарифмического неравенства
Описание слайда:

Решение логарифмического неравенства

№ слайда 60
Описание слайда:

№ слайда 61
Описание слайда:

№ слайда 62
Описание слайда:

№ слайда 63 Иррациональные уравнения и неравенства Для избавления от радикалов в иррацион
Описание слайда:

Иррациональные уравнения и неравенства Для избавления от радикалов в иррациональных уравнениях или неравенствах требуется, прежде всего, умение возводить обе части в квадрат. Делается это с помощью следующего основного правила возведения в квадрат, базирующегося на возрастании простейшей квадратичной функции на положительной полуоси.

№ слайда 64 Пусть f,g≥0, тогда уравнение или неравенство f ˅ g равносильно уравнению или
Описание слайда:

Пусть f,g≥0, тогда уравнение или неравенство f ˅ g равносильно уравнению или неравенству f2 ˅ g2. Это правило не распространяется на те случаи, в которых хотя бы одна из частей уравнения или неравенства отрицательна, - их нужно рассматривать отдельно. Что же касается возведения в квадрат неравенств, то тут ситуация гораздо серьезнее: несоблюдение основного правила может привести как к приобретению, так и к потере решений.

№ слайда 65 Преобразования иррациональных уравнений или неравенств производится по следую
Описание слайда:

Преобразования иррациональных уравнений или неравенств производится по следующим формулам действий с арифметическими корнями (x, y≥0;n, m N и k Z):

№ слайда 66 Корни четной степени извлекаются только из неотрицательных чисел. Поэтому, де
Описание слайда:

Корни четной степени извлекаются только из неотрицательных чисел. Поэтому, действуя по приведенным формулам, например, с квадратными корнями, нужно аккуратно отслеживать возможное расширение ОДЗ уравнения или неравенства и, главное, не допускать ее сужения.

№ слайда 67 Решение иррационального уравнения
Описание слайда:

Решение иррационального уравнения

№ слайда 68 К неравенствам вида также применим метод замены множителя, вытекающий из осно
Описание слайда:

К неравенствам вида также применим метод замены множителя, вытекающий из основного правила возведения в квадрат и состоящий в следующем: множитель можно заменить множителем f-g того же знака при дополнительных условиях f, g≥0. Важный частный случай этой замены получается в результате подстановки в ней g=0: множитель можно заменить множителем f при f≥0.

№ слайда 69 Решение иррационального неравенства
Описание слайда:

Решение иррационального неравенства

№ слайда 70 ОДЗ: Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит 
Описание слайда:

ОДЗ: Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит 

№ слайда 71 Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому су
Описание слайда:

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5. При x = 6 корень обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений.

№ слайда 72 Имеем: С учетом ОДЗ получаем ответ:
Описание слайда:

Имеем: С учетом ОДЗ получаем ответ:

№ слайда 73 Уравнения и неравенства с модулем Стандартное правило раскрытия модуля основы
Описание слайда:

Уравнения и неравенства с модулем Стандартное правило раскрытия модуля основывается на его определении:

№ слайда 74 Раскрывая сразу несколько модулей, приходится разбирать случаи, которые задаю
Описание слайда:

Раскрывая сразу несколько модулей, приходится разбирать случаи, которые задаются знаками выражений, стоящих под модулем. Однако, если количество модулей велико, то велико и число разбираемых случаев. Его можно заметно сократить за счет применения метода интервалов.

№ слайда 75 Другой подход , напоминающий скорее не раскрытие, а отбрасывание модулей, при
Описание слайда:

Другой подход , напоминающий скорее не раскрытие, а отбрасывание модулей, применим к простейшим уравнениям и неравенствам вида |f|=|g|или |f|˅g. Он использует геометрический смысл модуля, состоящий в том, что модуль |x|численно равен расстоянию на числовой прямой от точки x до точки 0.

№ слайда 76 Исходя из этого смысла, можно установить справедливость, например, таких утве
Описание слайда:

Исходя из этого смысла, можно установить справедливость, например, таких утверждений: уравнение |f|=|g| равносильно совокупности f=±g; уравнение |f|=g равносильно системе f=±g; g≥0; неравенство |f|<g равносильно двойному неравенству –g<f<g; неравенство |f|>g равносильно совокупности f>g; f<-g.

№ слайда 77 Полезную роль при преобразовании выражений могут сыграть следующие свойства м
Описание слайда:

Полезную роль при преобразовании выражений могут сыграть следующие свойства модулей:

№ слайда 78 К неравенствам вида (|f|-|g|)xh˅0 также применим метод замены множителя: множ
Описание слайда:

К неравенствам вида (|f|-|g|)xh˅0 также применим метод замены множителя: множитель |f|-|g| можно заменить множителем f2-g2 того же знака.

№ слайда 79 Решение уравнения с модулем │x - 1│- 2 │x + 2│= 0
Описание слайда:

Решение уравнения с модулем │x - 1│- 2 │x + 2│= 0

№ слайда 80 Найдем точки перемены знака модуля из условий: х – 1 = 0 и х + 2 = 0 х = 1 х
Описание слайда:

Найдем точки перемены знака модуля из условий: х – 1 = 0 и х + 2 = 0 х = 1 х = - 2 Рассмотрим данное уравнение на промежутках (- ∞;-2], [-2;1] , [1;+∞)

№ слайда 81 На промежутке (- ∞; -2 ] уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2∙ (– х – 2) = 0
Описание слайда:

На промежутке (- ∞; -2 ] уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2∙ (– х – 2) = 0 – х + 1 +2х + 4 = 0 х + 5 = 0 х = – 5 - 5 принадлежит промежутку (- ∞; -2 ]

№ слайда 82 На промежутке [-2;1] уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0 			–
Описание слайда:

На промежутке [-2;1] уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0 – х + 1– 2х – 4 = 0 – 3х – 3 = 0 3х = – 3 х = - 1 - 1 принадлежит промежутку [-2;1]

№ слайда 83 На промежутке [1;+∞) уравнение имеет вид: ( х – 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0 			х –
Описание слайда:

На промежутке [1;+∞) уравнение имеет вид: ( х – 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0 х – 1 – 2х – 4 = 0 – х – 5 = 0 х = – 5 - 5 не принадлежит промежутку [1;+∞) Ответ: х= -5, -1

№ слайда 84 Решение неравенства с модулем
Описание слайда:

Решение неравенства с модулем

№ слайда 85 Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в
Описание слайда:

Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем:

Общая информация

Номер материала: ДВ-534126

Похожие материалы

Комментарии:

2 месяца назад

спасибо