Презентация по математике на тему "Решение уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ"

• 1 слайд

  Решение уравнений и неравенств Работу выполнили: Бабушкина К. Карпикова К. Ковязина О. Сысолетин И. Руководитель работы: учитель математики Белоглазова Н.Л. 2013 г.

• 2 слайд

  Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. Пользуясь понятием функции, можно сказать, что уравнение (с одним неизвестным) - это пара функций от одной и той же переменной x, соединенных знаком равенства: f(x)=g(x)

• 3 слайд

  Областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения называется пересечение области определения функций f(x) и g(x): D(f)∩D(g) Число a называется корнем(или решением) данного уравнения, если при подстановке в уравнение вместо каждого вхождения x числа a уравнение обращается в верное числовое равенство: f(a)=g(a).

• 4 слайд

  Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что данное уравнение корней не имеет. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Уравнение A является следствием уравнения B, если все корни уравнения B являются корнями уравнения A (но, быть может, среди корней уравнения A есть такие, которые не являются корнями B).

• 5 слайд

  Решение уравнения

• 6 слайд

  Системы уравнений с двумя неизвестными Уравнением с двумя неизвестными x и y называется пара функций от двух переменных (x и y), соединенных знаком равенства: f(x0, y0)=g(x0, y0) Решением такого уравнения называется всякая пара чисел (x0, y0), подстановка которых в уравнение вместо соответствующих неизвестных обращает это уравнение в верное равенство.

• 7 слайд

  Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется пара уравнений с двумя неизвестными: Решением системы называется пара чисел (x0, y0), являющаяся решением и первого, и второго уравнений системы. Решить систему - это значит найти все её решения или доказать, что система решений не имеет.

• 8 слайд

  Системы линейных уравнений Пусть дана система a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда a1b2-a2b1≠0; Система имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда a1b2-a2b1=0 a1c2-a2c1=0 b1c2-b2c1=0 Система не имеет решений тогда и только тогда, когда a1b2-a2b1=0, но a1c2-a2c1≠0 или b1c2-b2c1≠0.

• 9 слайд

  Способы решения систем уравнений Графический способ Способ подстановки Способ сложения

• 10 слайд

  Графический способ Чтобы решить графическим способом систему двух уравнений с двумя переменными, нужно построить график каждого из уравнений системы и найти их точки пересечения. Координаты каждой точки образуют решение системы. Сколько точек пересечения -столько решений имеет система.

• 11 слайд

  Решить графически систему уравнений

• 12 слайд

  Способ Подстановки Заключается в том , что в одном из уравнений выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, которое после этого обращается в уравнение с одной переменной, а затем решают его. Получившиеся значения подставляют в любое уравнение исходной системы и находят вторую переменную.

• 13 слайд

  Решить систему уравнений способом подстановки 7х -2·(4+2x) = 31 7x - 8- 4x = 31 3x = 39 x = 13 y = 4 + 2·13 y = 30 Ответ : (13; 30)

• 14 слайд

  Способ сложения Заключается в том, что если данная система состоит из уравнений, которые при почленном сложении образуют уравнение с одной переменной, то, решив это уравнение, мы получим значения одной из переменных. Значения второй переменной находятся как и в способе подстановки.

• 15 слайд

  Решить систему уравнений способом сложения 4х - 7·30 = 30 4x - 210 = 30 4x = 240 x = 60 2y = 60 y = 30 Ответ: (60;30)

• 16 слайд

  Решение системы уравнений

• 17 слайд

  Решаем первое уравнение: перенесем z в правую часть и возведем обе части в квадрат x + y = 4 – z, (x + y)2 = (4 – z)2, x2 + 2xy + y2 = 16 – 8z + z2 (1)

• 18 слайд

  Вычтем из уравнения (1) второе уравнение системы, умноженное на 2: (x2 + 2xy + y2) – 2·(2xy – z2) = (16 – 8z + z2) – 2·16 x2 + 2xy + y2 – 4xy + 2z2 = 16 – 8z + z2 – 32, x2 – 2xy + y2 + z2 + 8z + 16 = 0, (x – y)2 + (z + 4)2 = 0 Квадрат любого числа больше либо равен нулю. Поэтому сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если каждый из них равен нулю.

• 19 слайд

  Получим: x – y = 0 z + 4 = 0 x = y z = -4 Подставим эти выражения в первое уравнение системы: x + y + z = 4  y + y – 4 = 4  2y = 8  y = 4  x = 4 Ответ: (4; 4;- 4)

• 20 слайд

  Неравенства Неравенством с одним неизвестным называется пара функций от одной и той же переменной, соединенная одним из знаков: >,≥,<,≤,≠. Решением неравенства (системы неравенств) называется всякое действительное число, подстановка которого в неравенство (каждое неравенство системы) вместо каждого вхождения неизвестного (переменной) обращает это неравенство (все неравенства системы) в верное числовое неравенство (верные числовые неравенства).

• 21 слайд

  Решить неравенство (систему неравенств) значит найти множество всех решений этого неравенства (этой системы неравенств) или доказать, что оно (она) решений не имеет. Два неравенства (две системы неравенств) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Соответственно, преобразования неравенства называются равносильными, если при этих преобразованиях множество решений полученного неравенства совпадает с множеством решений исходного неравенства.

• 22 слайд

  Отметим, что проверка правильности всех найденных решений неравенства подстановкой в исходные неравенства в подавляющем большинстве случаев невозможна. Поэтому при решении неравенств (систем неравенств) нужно пользоваться равносильными преобразованиями (равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ). Нахождение ОДЗ не обязательно, если вы пользуетесь исключительно равносильными преобразованиями.

• 23 слайд

  В противном случае нахождение ОДЗ обязательно. При этом возможны два подхода к оформлению решения: ОДЗ в виде неравенства или системы неравенств присоединяют к данному неравенству (данной системе) и полученную систему решают; Находят ОДЗ. Решают данное неравенство(систему неравенств), пользуясь лишь равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ. Из полученных решений удаляют те, которые не входят в ОДЗ.

• 24 слайд

  Решить систему неравенств В ответ запишите сумму целых решений.

• 25 слайд

  Решим оба неравенства системы методом интервалов. Решением этого неравенства является объединение промежутков

• 26 слайд

  Аналогично получим, что решением неравенства является отрезок [-2;6]. Решением системы неравенств с одной переменной будет пересечение решений всех неравенств системы.

• 27 слайд

  Нанесем оба решения на одну числовую ось (сверху решение первого, снизу второго): Пересечение решений это те точки на оси, у которых имеется двойная штриховка (снизу и сверху). Это множество, состоящее из числа -2 и отрезка [2;6]. В этом множестве содержатся целые числа: -2, 2, 3, 4, 5 и 6. Их сумма равна 18. Ответ: 18

• 28 слайд

  Объединение неравенств Отметим также, что очень часто решениями данного неравенства(системы неравенств) является объединение решений двух или более неравенств(систем неравенств). В таких случаях мы будем употреблять запись вида f(x)≥g(x) h(x)<u(x)

• 29 слайд

  Эту запись будем называть объединением неравенств. Решением объединения двух неравенств является всякое число, являющееся решением хотя бы одного из двух неравенств объединения. Иначе говоря, для решения объединения нужно найти множества всех решений первого и второго неравенств и найденные множества объединить.

• 30 слайд

  Решить объединение неравенств В ответ запишите наибольшее целое решение.

• 31 слайд

  Решаем первое неравенство. Разложим числитель левой части на множители, используя формулу разложения квадратного трехчлена на множители.

• 32 слайд

  Умножим обе части на (-1), знак неравенства изменится на противоположный: Квадратный трехчлен х2+х+2>0, т.к. отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент (число, стоящее перед х2).

• 33 слайд

  Если умножить на него левую и правую часть неравенства, то получим равносильное неравенство: Решив его методом интервалов, получим ответ:

• 34 слайд

  Решаем второе неравенство. Рассуждая также, как и в первом неравенстве, приходим к выводу, что х2 + x + 1 > 0 для всех х и на него можно умножить левую и правую части неравенства.

• 35 слайд

  Получим неравенство: х2<0 Данное неравенство не имеет решений, так как квадрат любого числа неотрицательный.

• 36 слайд

  Значит, второе неравенство совокупности решений не имеет. Поэтому решение совокупности совпадает с решением первого неравенства: Наибольшее целое решение — число 3. Ответ: 3.

• 37 слайд

  Рациональные неравенства Рациональным называется всякое неравенство, сводящееся к неравенству вида или вида , где P(x), Q(x) - некоторые многочлены.

• 38 слайд

  Поскольку то для решения рациональных неравенств удобно применять метод интервалов.

• 39 слайд

  При преобразованиях выражений и, в частности, при разложении их на множители иногда помогают формулы сокращенного умножения:

• 40 слайд

  Решение неравенства методом интервалов

• 41 слайд

  Разложим числитель левой части неравенства на скобки. Для этого найдем решения уравнения  x2 + 2x - 8 = 0 x1 = -4, x2 = 2. Мы получим разложение на множители: x2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2).

• 42 слайд

  Найдем нули числителя и знаменателя: x1 = -4, x2= 2, x3 = 0. Нанесем эти числа на ось, при этом нули знаменателя будут выколотыми точками, а нули числителя нет.

• 43 слайд

  Расставим знаки на каждом интервале, с учетом того, что x2 всегда больше или равен нуля. В результате должно получиться то, что изображено на рисунке выше. Поскольку знак неравенства ≤, то мы выбираем те интервалы, над которыми стоит знак "-". Записываем решение неравенства

• 44 слайд

  Показательные уравнения и неравенства Стандартный способ решения простейших показательных уравнений и неравенств основывается на монотонности показательной функции, из которой получается следующее основное правило отбрасывания оснований: пусть a>1, тогда уравнение или неравенство af ˅ ag равносильно уравнению или неравенству f ˅ g, где ˅ - это >,≥,<,≤. В этом правиле последнее уравнение или неравенство имеет тот же знак ˅, что и первое, так как показательная функция с основанием a>1 возрастает.

• 45 слайд

  Если же основание a удовлетворяет неравенствам 0<a<1, то в сформулированный переход необходимо внести поправку, поменяв в конце знак на обратный, а именно: > на <, знак ≥ на ≤ и.т.д., но знак = (как и знак ≠) при этом не меняется вовсе. Все дело в том, что показательная функция с основанием, меньшим единицы, уже не возрастает, а убывает.

• 46 слайд

  Для приведения исходного показательного уравнения или неравенства к нужному виду могут пригодится следующие формулы действий со степенями(a, b>0):

• 47 слайд

  К неравенствам вида (af-ag)xh˅0 применим метод замены множителя, позволяющий сильно упростить выражение в скобках и состоящий в следующем: пусть a>1, тогда множитель af-ag можно заменить множителем f-g того же знака. При указанной замене сохраняется каждое из трех возможных событий: положительность множителя, его отрицательность и равенство его нулю. В случае 0<a<1 тот же множитель af-ag можно заменить противоположным множителем g-f.

• 48 слайд

  Решение показательного неравенства

• 49 слайд

  Так как основание меньше единицы, но больше нуля, то наше неравенство эквивалентно неравенству:

• 50 слайд

  Перенесем все в левую часть, приведем к общему знаменателю. Решим неравенство методом интервалов, получим ответ:

• 51 слайд

  Логарифмические уравнения и неравенства Стандартный метод решения простейших логарифмических уравнений и неравенств опирается на монотонность логарифмической функции, т.е. на следующее основное правило отбрасывания логарифмов: пусть a>1, тогда уравнение или неравенство равносильно системе:

• 52 слайд

  В случае 0<a<1, неравенстве f ˅ g итоговой системе необходимо заменить неравенством f ˄ g, так как логарифмическая функция с таким основанием a убывает. Если же основание логарифма не есть константа, то отдельно разбираются случаи, когда оно больше единицы и когда меньше.

• 53 слайд

  Для того чтобы отбросить логарифмы в уравнении или неравенстве , его правую часть можно представить в нужном виде с помощью тождества:

• 54 слайд

  Для приведения исходного логарифмического уравнения или неравенства к нужному виду могут пригодиться следующие формулы действий с логарифмами(a, b, x, y>0 и a, b≠1):

• 55 слайд

  Решение логарифмического уравнения log x – 1 25 = 2

• 56 слайд

  ОДЗ: Х – 1 ≠ 1 Х ≠ 2 Х – 1 > 0 Х > 1 Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:  (x – 1)2= 25 Х2 – 2х + 1 = 25 Х2 – 2х – 24 = 0 Х1=6 Х2=-4 (не принадлежит ОДЗ)

• 57 слайд

  К неравенствам вида также применим метод замены множителя: пусть a>1 тогда множитель можно заменить множителем f-g того же знака при дополнительных условиях a, f, g>0 и a≠1. Важный частный случай этой замены получается при подстановке в ней g=1:пусть a>1, тогда множитель можно заменить множителем f-1 при f>0.

• 58 слайд

  Опять же, в случае 0<a<1 множитель можно заменить противоположным множителем g-f при g, f, a>0 и a≠1, а множитель -противоположным множителем 1-f при f>0.

• 59 слайд

  Решение логарифмического неравенства

• 60 слайд

• 61 слайд

• 62 слайд

• 63 слайд

  Иррациональные уравнения и неравенства Для избавления от радикалов в иррациональных уравнениях или неравенствах требуется, прежде всего, умение возводить обе части в квадрат. Делается это с помощью следующего основного правила возведения в квадрат, базирующегося на возрастании простейшей квадратичной функции на положительной полуоси.

• 64 слайд

  Пусть f,g≥0, тогда уравнение или неравенство f ˅ g равносильно уравнению или неравенству f2 ˅ g2. Это правило не распространяется на те случаи, в которых хотя бы одна из частей уравнения или неравенства отрицательна, - их нужно рассматривать отдельно. Что же касается возведения в квадрат неравенств, то тут ситуация гораздо серьезнее: несоблюдение основного правила может привести как к приобретению, так и к потере решений.

• 65 слайд

  Преобразования иррациональных уравнений или неравенств производится по следующим формулам действий с арифметическими корнями (x, y≥0;n, m N и k Z):

• 66 слайд

  Корни четной степени извлекаются только из неотрицательных чисел. Поэтому, действуя по приведенным формулам, например, с квадратными корнями, нужно аккуратно отслеживать возможное расширение ОДЗ уравнения или неравенства и, главное, не допускать ее сужения.

• 67 слайд

  Решение иррационального уравнения

• 68 слайд

  К неравенствам вида также применим метод замены множителя, вытекающий из основного правила возведения в квадрат и состоящий в следующем: множитель можно заменить множителем f-g того же знака при дополнительных условиях f, g≥0. Важный частный случай этой замены получается в результате подстановки в ней g=0: множитель можно заменить множителем f при f≥0.

• 69 слайд

  Решение иррационального неравенства

• 70 слайд

  ОДЗ: Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит 

• 71 слайд

  Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5. При x = 6 корень обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений.

• 72 слайд

  Имеем: С учетом ОДЗ получаем ответ:

• 73 слайд

  Уравнения и неравенства с модулем Стандартное правило раскрытия модуля основывается на его определении:

• 74 слайд

  Раскрывая сразу несколько модулей, приходится разбирать случаи, которые задаются знаками выражений, стоящих под модулем. Однако, если количество модулей велико, то велико и число разбираемых случаев. Его можно заметно сократить за счет применения метода интервалов.

• 75 слайд

  Другой подход , напоминающий скорее не раскрытие, а отбрасывание модулей, применим к простейшим уравнениям и неравенствам вида |f|=|g|или |f|˅g. Он использует геометрический смысл модуля, состоящий в том, что модуль |x|численно равен расстоянию на числовой прямой от точки x до точки 0.

• 76 слайд

  Исходя из этого смысла, можно установить справедливость, например, таких утверждений: уравнение |f|=|g| равносильно совокупности f=±g; уравнение |f|=g равносильно системе f=±g; g≥0; неравенство |f|<g равносильно двойному неравенству –g<f<g; неравенство |f|>g равносильно совокупности f>g; f<-g.

• 77 слайд

  Полезную роль при преобразовании выражений могут сыграть следующие свойства модулей:

• 78 слайд

  К неравенствам вида (|f|-|g|)xh˅0 также применим метод замены множителя: множитель |f|-|g| можно заменить множителем f2-g2 того же знака.

• 79 слайд

  Решение уравнения с модулем │x - 1│- 2 │x + 2│= 0

• 80 слайд

  Найдем точки перемены знака модуля из условий: х – 1 = 0 и х + 2 = 0 х = 1 х = - 2 Рассмотрим данное уравнение на промежутках (- ∞;-2], [-2;1] , [1;+∞)

• 81 слайд

  На промежутке (- ∞; -2 ] уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2∙ (– х – 2) = 0 – х + 1 +2х + 4 = 0 х + 5 = 0 х = – 5 - 5 принадлежит промежутку (- ∞; -2 ]

• 82 слайд

  На промежутке [-2;1] уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0 – х + 1– 2х – 4 = 0 – 3х – 3 = 0 3х = – 3 х = - 1 - 1 принадлежит промежутку [-2;1]

• 83 слайд

  На промежутке [1;+∞) уравнение имеет вид: ( х – 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0 х – 1 – 2х – 4 = 0 – х – 5 = 0 х = – 5 - 5 не принадлежит промежутку [1;+∞) Ответ: х= -5, -1

• 84 слайд

  Решение неравенства с модулем

• 85 слайд

  Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем: