Презентация по математике на тему "Теорема Виета"

• 1 слайд

  1591-ый год. Франция.
  ГЕ́НРИХ IV-Великий 29 французский король
  

• 2 слайд

  По образованию был
  юристом, но глубоко
  занимался многими
  науками, прежде всего
  астрономией, астрологией
  и даже криптографией
  (тайнописью). Всё это
  заставило Виета обратиться
  к тригонометрии и алгебре,
  в которых он сделал
  немало открытий.
  Франсуа Виет – французский учёный (1540 – 1603)
  

• 3 слайд

  1591-ый год. Франция.
  
  
  
  
  х2 – 15х + 14 = 0;
  9 – 2х2 – 3х = 0;
  х2 + 8х + 7 = 0;
  3х2 – 2х = 4;
  6х2 – 2 = 6х;
  х2 = - 9х – 20.
  
  

• 4 слайд

  Квадратное уравнение.
  ax2 + bx + c = 0 - oбщий вид квадратного уравнения, где коэффициенты а, b, с-любые действительные числа, причём а=0.
  
  
  x2 + bx + c = 0 (а=1) - приведённое квадратное уравнение (а=1)
  

• 5 слайд

  x2 – 15x + 14 = 0;
  9 – 2x2 – 3x = 0;
  3) x2 + 8x + 7 = 0;
  4) 3x2 – 2x = 4;
  5) 6x2 – 2 = 6x;
  6) x2 = - 9x – 20.
  

• 6 слайд

  I способ.
  1 гр. 2 гр.
  X2 – 15x + 14 = 0 9 – 2x2 – 3x = 0
  X2 + 8x + 7 = 0 3x2 – 2x = 4
  6x2 - 2 = 6x
  x2 = - 9x – 20
  II способ.
  1 гр. 2 гр.
  9 – 2x2 - 3x = 0 x2 – 15x + 14 = 0
  3x2 – 2x = 4 x2 + 8x + 7 = 0
  6x2 – 2 = 6x x2 = - 9x - 20
  

• 7 слайд

  Приведённые квадратные уравнения.
  а=1
  Заполните таблицу:
  

• 8 слайд

  Приведённые квадратные уравнения.
  а=1
  Заполните таблицу:
  

• 9 слайд

  Приведённые квадратные уравнения.
  а=1
  Заполните таблицу:
  

• 10 слайд

  Приведённые квадратные уравнения.
  а=1
  Заполните таблицу:
  

• 11 слайд

  Приведённые квадратные уравнения.
  а=1
  Заполните таблицу:
  

• 12 слайд

  Приведённые квадратные уравнения.
  а=1
  Заполните таблицу:
  

• 13 слайд

  Приведённые квадратные уравнения.
  а=1
  Заполните таблицу:
  

• 14 слайд

  1.Если ли связь между столбцами таблицы?.
  2.Найти связь между корнями и коэффициентами
  приведённого квадратного уравнения .
  

• 15 слайд

  Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
  

• 16 слайд

  
  
  Пусть х1 и х2 – корни приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0,
  тогда х1 + х2 = - p,
  x1 ∙ x2 = q.
  

• 17 слайд

  ax2 + bx + c =0-oбщий вид квадратного уравнения.
  x2 + b/ax + c/a = 0
  x2 + px + q = 0
  
  

• 18 слайд

  Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения
  aх2 + bx + c = 0, тогда
  x1 + x2 = - b/a,
  x1 ∙ x2 = c/a.
  
  

• 19 слайд

  х2 + px + q = 0,
  Пусть х1 и х2 – корни приведенного квадратного
  уравнения х2 + px + q = 0, тогда
  x1 + x2 = - p,
  x1 ∙ x2 = q.
  
  ax2 + bx + c =0-oбщий вид квадратного уравн.
  x2 + b/ax + c/a = 0
  x2 + px + q = 0
  ax2 + bx + c = 0
  Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения
  aх2 + bx + c = 0, тогда
  x1 + x2 = - b/a,
  x1 ∙ x2 = c/a.
  
  

• 20 слайд

  Теорема Виета.
  Пустьх1 и х2 – корни квадратного уравнения
  aх2 + bx + c = 0,
  тогда сумма корней равна - b/a
  ( x1 + x2 = - b/a),
  а произведение корней равно с/а
  (x1 ∙ x2 = c/a).
  
  

• 21 слайд

  x2+b/ax+c/a=0
  По праву достойна в стихах быть воспета
  О свойствах корней теорема Виета.
  Что лучше скажи, постоянства такого:
  Умножишь ты корни и дробь уж готова?
  В числителе c, в знаменателе a.
  А сумма корней тоже дроби равна.
  Хоть с минусом дробь, что за беда
  В числителе b в знаменателе a.
  

• 22 слайд

  Дано:
  х1 и х2 – его корни
  Доказать: х1 + х2 = - р
  х1 ∙ х2 = q.
  Доказательство.
  
  

• 23 слайд

  Доказательство теоремы:
  Дано: аx2+bx +c = 0, x1 и x2 – корни.
  Доказать: x1 + x2 = - b/а, х1 х2 = c/а.
  Доказательство:
  
  

• 24 слайд

  Образец записи
  1.Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения
  x2 + p x + q = 0,
  х2 -4 х +3= 0;
  х1 + х2 = - р=4
  х1 ∙ х2 = q =-6
  х1 =
  х2 =
  
  2.Сконструировать уравнение по его корням.
  х1 = -2, х2 =5
  х1 + х2 = -2+5= 3 = - р; р=-3
  х1 ∙ х2 = -2 ∙ 5=-10=q
  
  x2 + p x + q = 0,
  х2 - 3 x -10 = 0.
  
  3.Решить у доски три уравнения (D>0,D=0,D<0)
  а) х2 + 5х – 6 = 0;
  б) y2 – 10y + 25 = 0;
  в) х2 + 9х + 22 = 0.
  

• 25 слайд

  Рефлексия.
  
  Кто же запомнил теорему Виета?
  Когда можно её применять?
  D≥0
  Зачем нужна?
  Упрощает решение квадратных уравнений
  
  

• 26 слайд

  Для составления квадратного уравнения по заданным корням.
  ЗАДАЧА: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 8 и – 5.
  По формулам Виета имеем:
  -р = 8 + (- 5) и q = 8  (- 5)
  р = - 3 q = - 40
  
  Уравнение имеет вид:
  

• 27 слайд

• 28 слайд

• 29 слайд

• 30 слайд

• 31 слайд

• 32 слайд

• 33 слайд

  Теорема Виета.
  Пустьх1 и х2 – корни квадратного уравнения
  aх2 + bx + c = 0,
  тогда сумма корней равна - b/a
  ( x1 + x2 = - b/a),
  а произведение корней равно с/а
  (x1 ∙ x2 = c/a).
  
  

• 34 слайд

  Доказательство теоремы:
  Дано: аx2+bx +c = 0, x1 и x2 – корни.
  Доказать: x1 + x2 = - b/а, х1 х2 = c/а.
  Доказательство:
  
  

• 35 слайд

  Замечание 1.
  Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень(т.е.когда D=0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
  

• 36 слайд

  Приведённые квадратные уравнения.
  а=1
  Заполните таблицу:
  

• 37 слайд

  Найдите связь между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения .
  Заполните таблицу:
  

• 38 слайд

  Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
  

• 39 слайд

  x2+b/ax+c/a=0
  По праву достойна в стихах быть воспета
  О свойствах корней теорема Виета.
  Что лучше скажи, постоянства такого:
  Умножишь ты корни и дробь уж готова?
  В числителе c, в знаменателе a.
  А сумма корней тоже дроби равна.
  Хоть с минусом дробь, что за беда
  В числителе b в знаменателе a.
  

• 40 слайд

  Доказательство теоремы:
  Дано: x2+bx +c = 0, x1 и x2 – корни.
  Доказать: x1 + x2 = - b, х1 х2 = c.
  Доказательство:
  
  

• 41 слайд

  Дано:
  х1 и х2 – его корни
  Доказать: х1 + х2 = - р
  х1 ∙ х2 = q.
  Доказательство.
  
  

• 42 слайд

  Теорема Виета
  

• 43 слайд

  Исследование – поиск путей решения проблемы.
  
  План исследования.
  Решите каждое квадратное уравнение известным вам способом.
  Заполните рабочий лист.
  Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
  Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
  Ответьте на вопрос урока.
  Подготовьте отчет.
  Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит исследование и на листах формата А3 выполняет дополнительное задание, связанное с нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения в общем виде.
  

• 44 слайд

  Родился в 1540 году во Франции в Фонтене-ле-Конт. По профессии адвокат. В свободное время Виет занимается астрономией. Изучив ещё в молодости Коперникову систему мира, заинтересовался астрономией. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занимался ими и вскоре пришёл к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию, над чем и проработал ряд лет.
  Виет, не прекращая адвокатской деятельности, много лет был советником короля Георга III и Георга IV, постоянно был занят государственной службой. Несмотря, на это, всю жизнь занимался математикой, занимался настойчиво, упорно, сумел добиться выдающихся результатов. Основные свои идеи изложил в труде “Введение в аналитическое искусство”.
  . И другие достижения Франсуа Виета.
  

• 45 слайд

  Дано:
  Доказать:
  Доказательство
  
  Теорема, обратная Т. Виета
  

• 46 слайд

  Решить уравнение:
  

• 47 слайд

  а) для решения уравнений
  
  Применение теоремы Виета:
  

• 48 слайд

  б) для решения систем уравнений:
  
  

• 49 слайд

  Для составления квадратного уравнения по заданным корням.
  ЗАДАЧА: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 8 и – 5.
  По формулам Виета имеем:
  -р = 8 + (- 5) и q = 8  (- 5)
  р = - 3 q = - 40
  
  Уравнение имеет вид:
  

• 50 слайд

  стр 150 – 151.
  
  Теорема Виета для полного квадратного уравнения.
  
  Работа с учебником:
  

• 51 слайд

  Попробуй реши!
  Заполните таблицу
  

• 52 слайд

  1 случай:
  
  
  2 случай:
  Это интересно (дополнительные сведения о нахождении корней квадратного уравнения в особых случаях):
  

• 53 слайд

  Нахождение корней приведенного квадратного уравнения с чётным коэффициентом q: х²+px+q=0. Здесь полезно воспользоваться формулой:
  
  
  
  
  Формула запоминается надолго, если выучить ее в стихотворной форме:
  
  
  

• 54 слайд

  «Пэ», со знаком взяв обратным,
  Мы на два его разделим.
  Корень от него со знаком минус-плюс
  Мы аккуратненько отделим.
  А под корнем, очень кстати,
  Половина «пэ» в квадрате,
  Минус «ку». И вот решенье
  Небольшого уравненья.
  
  Стихотворение для запоминания формулы
  

• 55 слайд

  П 24 стр 150 - 151
  № 961,
  963
  Написать реферат на одну из тем:
  «Применение теоремы Виета»
  «Утверждения, следующие из теоремы Виета»
  «Корни квадратного уравнения и теорема Виета»
  «Что нового я узнал, благодаря теореме Виета»
  «Вокруг теоремы Виета»
  Домашнее задание:
  

• 56 слайд

  Ребята, вы сегодня молодцы!
  До новых встреч!
  

• 57 слайд

  1. Квадратное.
  2. Приведенное.
  3. Равносильное.
  4. Коэффициент.
  5. Корень.
  6. Уравнение.
  7. Арифметический.
  8. Диофант.
  9. Неполное.
  10. Различитель.
  11. Свободный.
  12. Виет.
  В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ
  
  Ответы к кроссворду:
  

• 58 слайд

  Проверь:
  Данное квадратное уравнение не является приведённым!
  Д<0!
  

• 59 слайд

  К середине XVI века в Европе уже успешно применяли буквы для обозначения неизвестных и специальные значки для некоторых операций и отношений. Но долго никто не догадывался, что огромный шаг можно будет сделать, если условиться обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них.
  Впервые это сделал знаменитый французский учёный Франсуа Виет (1540 – 1603), которого именно за это новшество называют «отцом алгебры».
  Сам «отец алгебры» не признавал слово «алгебра», считал его языческим, варварским. То, чем он занимался, Франсуа Виет называл «аналитическим искусством»
  Историческая справка:
  

• 60 слайд

  Посредством уравнений, теорем
  Он уйму всяких разрешал проблем:
  И засуху предсказывал и ливни.
  Поистине его познанья дивны.
  Д. Чосер
  
  
  
  (Джефри Чосер (1340 – 1400) – английский поэт)
  
  

• 61 слайд

  1. Уравнение вида ах²+вх+с=о
  2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен 1.
  3. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни.
  4. Числа а,в и с в квадратном уравнении.
  5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
  6. Равенство, содержащее неизвестное.
  7. Неотрицательное значение квадратного корня.
  8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии.
  9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.
  10. «Дискриминант» - по-латыни.
  11. Коэффициент с квадратного уравнения.
  12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов.
  
  Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме.
  
  Кроссворд