Презентация по математике "Прототипы заданий В 14 на ЕГЭ"

• 1 слайд

  Прототипы В 14
  Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень
  

• 2 слайд

  Проверяемые требования (умения):
  уметь выполнять действия с функциями.
  Умения по КТ
  Вычислять производные и первообразные элементарных функций
  
  Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций
  
  

• 3 слайд

  Содержание задания В14
  по КЭС
  Начала математического анализа
  4.1   Производная
  4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной
  4.1.2 Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком
  4.1.3 Уравнение касательной к графику функции
  4.1.4 Производные суммы, разности, произведения, частного
  4.1.5 Производные основных элементарных функций
  4.1.6 Вторая производная и ее физический смысл
  4.2   Исследование функций
  4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков
  4.2.2 Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах
  

• 4 слайд

  Задание B14 - на нахождение с помощью производной точек экстремума функции или вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. Для успешного решения задачи ученик должен уметь вычислять производные элементарных функций и в простейших случаях исследовать функцию на монотонность.
  Памятка ученику
  

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

• 10 слайд

• 11 слайд

• 12 слайд

• 13 слайд

• 14 слайд

  Алгоритм нахождения наименьшего (наибольшего) значения на данном отрезке. Первый способ (традиционный) предполагает использование алгоритмов и знание формул.
  использование алгоритмов и знание формул. Найти производную функции.
  Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.
  Найти значение функции на краях числового промежутка и в нулях производной, входящих в данный числовой промежуток.
  Выбрать среди полученных значений функции значение, соответствующее вопросу задачи (наибольшее или наименьшее)
  
  Важно: промежуток может быть не указан, но очевиден: область определения.
  
  

• 15 слайд

  Прототип задания B14
  Найдите наименьшее значение функции
  на отрезке [6;8].
  Решение
  Найдем y'(x). Производная произведения равна
  
  
  Приравняем к нулю:
  
  - нет корней; , - принадлежит [6;8]
  Найдём наименьшее значение функции:
  
  
  
  
  
  Ответ: -1 - наименьшее значение функции на отрезке [6;8].
  

• 16 слайд

  Задание B14
  Найдите наименьшее значение функции на отрезке [4;6].
  
  
  Задание B14
  Найдите наименьшее значение функции на отрезке [15;17].
  Задания для самостоятельного решения
  Проверка
  
  Ответ: -1Ответ: -1
  

• 17 слайд

  Прототип задания B14
  Найдите наибольшее значение функции
  на отрезке
  Решение
  Найдем y'(x). Производная функции равна
  
  Приравняем к нулю:
  - принадлежит
  
  Найдём наибольшее значение функции:
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 12 - наибольшее значение функции на отрезке
  
  .
  

• 18 слайд

  Задания для самостоятельного решения
  Задание B14
  Найдите наибольшее значение функции
  на отрезке .
  
  Задание B14
  Найдите наибольшее значение функции
  на отрезке .
  
  Проверка
  
  Ответ: 21Ответ: 16
  

• 19 слайд

  Прототип задания B14
  Найдите наименьшее значение функции
  на отрезке
  Решение
  Найдем y'(x). Производная функции равна
  
  Приравняем к нулю:
  - нет корней
  Найдём наименьшее значение функции:
  
  
  
  
  Ответ: 9 - наименьшее значение функции на отрезке
  .
  

• 20 слайд

  Задание B14
  Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
  
  Задание B14
  Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
  Задания для самостоятельного решения
  Проверка
  
  Ответ: 16Ответ: 8
  

• 21 слайд

  Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка:
  Найти производную функции.
  Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.
  Провести исследование на экстремумы в области определения функции. Если экстремум один, то именно в нем достигается наибольшее (наименьшее) значение функции.
  Найти соответствующее значение функции, подстановкой.
  
  

• 22 слайд

  Алгоритм нахождения точек экстремума.
  Найти производную функции.
  Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.
  На числовой прямой отметить нули производной и точки, в которых производная не определена.
  Соотнести поведение производной с поведением функции и ответить на вопрос.
  Например:
  
  
  
  
  
  -3
  т. max
  Ответ:
  

• 23 слайд

  10.06.2022
  23
  Формулы:
  Дифференцирование показательной функции:
  Дифференцирование логарифмической функции:
  Дифференцирование сложной функции:
  

• 24 слайд

  Найдите наибольшее значение функции
  
  10.06.2022
  24
  Решение:
  
  Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию на всей области определения.
  Ответ:
  Конечно, страшновато, но
  уже ясно, что краев у
  числового промежутка нет,
  а, следовательно в них не будет достигаться наибольшее или наименьшее значение.
  т. max
  Убедимся, что это значение наибольшее
  Точка максимума одна, следовательно в ней и будет
  наибольшее значение.
  

• 25 слайд

  Найдите наибольшее значение функции
  
  10.06.2022
  25
  Решение:
  
  Ответ:
  Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию на всей области определения.
  Разделим на первый и второй множители,
  не равные нулю:
  Убедимся, что это наибольшее значение:
  т. max
  Точка максимума одна, следовательно в ней и будет
  наибольшее значение.
  

• 26 слайд

  Не очень просто.
  Тем более, что некоторые программы не предусматривают использование формул дифференцирования показательной и логарифмической функции в общем виде.
  Попробуем иначе. Без использования алгоритма и формул.
  
  
  

• 27 слайд

  В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Наибольшие, наименьшие значения, точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x). Конечно, с учетом области определения.
  
  

• 28 слайд

  Функция возрастает на R, следовательно наибольшее значение принимает при наибольшем значении аргумента (аргументом в данном случае является функция, находящаяся в показателе).
  Найдите наибольшее значение функции
  
  10.06.2022
  28
  Решение:
  
  Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в показателе.
  Следовательно
  т. max
  Следовательно
  Ответ:
  

• 29 слайд

  Можно и совсем обойтись без производной.
  Используем простые графические соображения.
  10.06.2022
  29
  

• 30 слайд

  Функция возрастает на R, следовательно наименьшее значение принимает при наименьшем значении аргумента (функции, находящейся в показателе).
  Найдите наименьшее значение функции
  10.06.2022
  30
  Решение:
  
  Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в показателе.
  Следовательно
  Ответ:
  График – парабола, ветви направлены
  вверх.
  

• 31 слайд

  Функция возрастает на всей области определения , следовательно наибольшее значение принимает при наибольшем значении значении аргумента (функции, находящейся под знаком логарифма).
  Найдите наибольшее значение функции
  
  31
  Решение:
  
  Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся под знаком логарифма.
  Следовательно
  Ответ:
  График – парабола, ветви направлены
  вниз.
  

• 32 слайд

  Решим таким же способом задания, связанные с исследованием сложной функции, содержащей квадратичную функцию под знаком квадратного корня.
  10.06.2022
  32
  

• 33 слайд

  Функция возрастает на всей области определения, следовательно ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения.
  Найдите точку минимума функции
  
  33
  Решение:
  
  Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.
  Ответ:
  График – парабола, ветви направлены
  вверх.
  Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y):R.
  

• 34 слайд

  Функция возрастает на всей области определения, следовательно принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с учетом области определения.
  Найдите наибольшее значение функции
  
  34
  Решение:
  
  Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.
  Ответ:
  График – парабола, ветви направлены
  вниз.
  D(y):[-5;1].
  Следовательно
  

• 35 слайд

  Реши самостоятельно любым способом:
  Найдите точку минимума функции
  
  Найдите точку максимума функции
  
  Найдите наименьшее значение функции
  
  Найдите наименьшее значение функции
  
  10.06.2022
  35
  

• 36 слайд

  Задание B14
  Найдите наименьшее значение функции
  на отрезке .
  
  Задание B14
  Найдите наименьшее значение функции
  на отрезке .
  Задания для домашнего (или дополнительного) решения
  Проверка
  
  Ответ: 0Ответ: 4
  

• 37 слайд

  Задание B14
  Найдите наибольшее значение функции на отрезке
  
  Задание B14
  Найдите наибольшее значение функции на отрезке
  Задания для домашнего (или самостоятельного) решения
  Проверка
  
  Ответ: 3Ответ: 6
  

• 38 слайд

  Открытый банк
  заданий по
  математике
  
  Можно использовать учащимися для
  отработки ЗУН
  по данной теме
  Учителям при составлении тренингов по теме
  Учителям при составлении домашнего задания
  
  
  
  
  

• 39 слайд

  Выбирайте, что нужно конкретному ученику и пусть ученик выберет то, что ему нужно!!!
  
  
  Спасибо за внимание!!!
   
  
  

Краткое описание документа:

Сопровождение к материалу

Слайд 1

Тема занятия: Прототипы В 14

«Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень» Занятие рассчитано не менее чем на 2 урока на хороший темп работы.

Слайд 2

Обратить внимание учащихся на:

Проверяемые требования (умения):
уметь выполнять действия с функциями.

    Умения по КТ

  Вычислять производные и первообразные элементарных функций

  Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций

Слайд 3

Обратить внимание учащихся на:

Содержание задания В14 по КЭС

   Начала математического анализа

  4.1   Производная

4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

4.1.2 Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком

4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

4.1.4 Производные суммы, разности, произведения, частного

4.1.5 Производные основных элементарных функций

4.1.6 Вторая производная и ее физический смысл

  4.2   Исследование функций

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

4.2.2 Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах

Слайд 4

Цель занятия:

Памятка ученику

Задание B14 - на нахождение с помощью производной точек экстремума функции или вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. Для успешного решения задачи ученик должен уметь вычислять производные элементарных функций и в простейших случаях исследовать функцию на монотонность.

Слайд 5

Актуализация знаний учащихся.

Таблица формул для нахождения производных элементарных функций (в домашней работе повторить эту таблицу, у каждого  она есть на партах)

Слайды 6 -9

Закрепление ранее изученного материала на устных упражнениях. У каждого учащегося листы на печатной основе с заданиями и пропущенными местами, проговаривается решение учащимися с места,  сверка по слайдам

Слайды 10-12

Закрепление ранее изученного материала на устных упражнениях «Найди ошибку», работа со слайдами, устные ответы детей.

Слайд 13

 «Порешаем?»

Закрепление ранее изученного материала. Вызвать  1 ученика к доске, учащиеся с места на доску не смотрят, только сверяю свое решение после его окончания.

Слайд 14

Актуализация опорных знаний

 При исследовании функции на наибольшее, наименьшее значение, минимумы и максимумы,  обучающиеся часто придерживаются определенного алгоритма, который мы рассматриваем на уроках. Поэтому рассмотрим

Алгоритм нахождения наименьшего (наибольшего) значения на данном отрезке. Первый способ (традиционный) предполагает использование алгоритмов и знание формул.

1)      использование алгоритмов и знание формул. Найти производную функции.

2)      Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.

3)      Найти значение функции на краях числового промежутка и в нулях производной, входящих в данный числовой промежуток.

4)      Выбрать среди полученных значений функции значение, соответствующее вопросу задачи (наибольшее или наименьшее)

  Важно: промежуток может быть не указан, но очевиден: область определения.

Слайд 15

Прототип задания B14. Работа учителя с классом с демонстрацией слайда.

           Найдите наименьшее значение функции

    на отрезке [6;8]. Его решение

Слайд 16

Задания для самостоятельного решения по вариантам в строго ограниченном времени  (в зависимости от класса) с последующей проверкой.

1.      Найдите наименьшее значение функции                                на отрезке [4;6].

2.      Найдите наименьшее значение функции                                 на отрезке [15;17].

       Слайд 17

       Работа учителя с классом с демонстрацией слайда.

      Найдите наибольшее значение функции

                                         на отрезке                                Его решение.

Слайд 18

Задания для самостоятельного решения по вариантам, 2 ученика у доски с последующей проверкой ответов и решения

·        Найдите наибольшее значение функции                                                    

    на отрезке                   .

·        Найдите наибольшее значение функции

    на отрезке               .

Слайд 19

Прототип задания B14. Работа учителя с классом с демонстрацией слайда.

Похожий случай на предыдущий, но при решении уравнения, получаем – корней нет.

Найдите наименьшее значение функции

                                     на отрезке       

Слайд 20

Задания для самостоятельного решения по вариантам с проверкой ответов. Ограничение во времени. Если ответ не сходится, рекомендовать еще раз вернуться к этому примеру дома.

Найдите наименьшее значение функции                                       на отрезке                      .

Найдите наименьшее значение функции                                       на отрезке                        .

Слайд 21

Актуализация знаний учащихся

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка:

1)      Найти производную функции.

2)      Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.

3)      Провести исследование на экстремумы  в области определения функции. Если экстремум один, то именно в нем достигается наибольшее (наименьшее) значение функции.

4)      Найти соответствующее значение функции, подстановкой.

Слайд 22

Актуализация знаний учащихся

Алгоритм нахождения точек экстремума

  Найти производную функции.

  Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.

  На числовой прямой отметить нули производной и точки, в которых производная не определена.

  Соотнести поведение производной с поведением функции и ответить на вопрос.

Слайд 23

Актуализация знаний учащихся

Обратить внимание на формулы:

Формулы:

·        Дифференцирование показательной функции

·        Дифференцирование логарифмической функции:

·        Дифференцирование сложной функции:

Слайд 24

                       Работа учителя с классом с демонстрацией слайда.

                   Решим строго по алгоритму следующие два примера. Промежуток в этих примерах не задан

       Найдите наибольшее значение функции                                

             Слайд 25

 Работа учителя с классом с демонстрацией слайда.

 Найдите наибольшее значение функции                        

Слайд 26

Обратить внимание, что

Не очень просто.
Тем более, что некоторые программы не предусматривают использование формул дифференцирования показательной и логарифмической функции в общем виде.
Попробуем иначе. Без использования алгоритма и формул.

Слайд 27

В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Наибольшие, наименьшие значения, точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x). Конечно, с учетом области определения.

Слайд 28

 Работа учителя с классом с демонстрацией слайда. Тот же пример (последний), но ….. решение проще.

        Найдите наибольшее значение функции                        

Слайд 29

Можно и совсем обойтись без производной.

Используем простые графические соображения

Слайд 30

Работа учителя с классом с демонстрацией слайда. Похожий пример, но другим способом

Найдите наименьшее значение функции                    

Слайд 31

Работа учителя с классом с демонстрацией слайда.

Найдите наибольшее значение функции                                

Слайд 32

     Решим таким же способом задания, связанные с исследованием сложной функции, содержащей квадратичную функцию под знаком квадратного корня

Слайд 33

Работа учителя с классом с демонстрацией слайда.

Найдите точку минимума функции                                

Слайд 34

Работа учителя с классом с демонстрацией слайда.

Найдите наибольшее значение функции                              

Слайд 35

Работа в парах, учащиеся делятся друг с другом своими соображениями, способами решения, помогают друг другу.

 Реши самостоятельно любым способом:

  Найдите точку минимума функции   

  Найдите точку максимума функции 

  Найдите наименьшее значение функции

  Найдите наименьшее значение функции                   

Слайд 36  и 37

Задания для домашнего (или самостоятельного) решения

Слайд 38

Открытый банк заданий по

математике

·        Можно использовать учащимися для

     отработки ЗУН по данной теме

·        Учителями  при составлении тренингов по теме

·        Учителями при составлении домашнего задания

              Слайд 39

Данное занятие дано с избытком заданий, так как его частями можно пользоваться уже, начиная при изучении производной в 10 классе, используя примеры с тригонометрическими функциями. И продолжить в 11 классе при изучении  показательных и логарифмических функций. И все занятие есть смысл проводить либо при повторении, обобщении материала в 11 классе, либо на факультативных занятиях при подготовке ЕГЭ. В последнем случае работа с классом с демонстрацией слайдов по образцам можно использовать без записи заданий в тетрадь, только устная работа. А вот самостоятельная работа проходит при демонстрации соответствующего слайда-образца.

Предложенное занятие позволяет формировать умение решать  проблемы  задания В 14 различными способами.

Конечно, рациональнее решать данные задачи, исследуя свойства подфункции, но, тем не менее, традиционное решение (с помощью алгоритма)  никто не отменял. На мой взгляд, важно показать различные способы. Заинтересованные обучающиеся должны видеть целостную картину.  Выбирайте, что нужно конкретному ученику.