Презентация по математике "Теорема о неявной функции в решении задач с параметрами"

• 1 слайд

  Теорема о неявной функции
  Мельник П.И
  ФМиКН,
  5 курс
  

• 2 слайд

  Теорема о неявной функции
  Целеполагание
  Задача
  Параметр
  

• 3 слайд

  Выразить одну переменную через другую:
  
  Вхождение в тему
  Математическая разминка
  2)Вычислить производную
  
  Теорема о неявной функции
  

• 4 слайд

  Организация учащихся
  
  Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты  и жара сконцентрированной в них мысли.
  А.Д. Александров
  
  
  
  Теорема о неявной функции
  

• 5 слайд

  Теорема о неявной функции
  Определим функцию у = f(x) следующим образом: пусть каждому значению переменной х из некоторого множества поставлено в соответствие некоторое число у, такое что F(x; y) = 0. Такой способ задания называется неявным способом задания функции у = f(x), а сама эта функция – неявной функцией.
  Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем:
  Если функция F: R×R→R непрерывна в некоторой окрестности точки (x0,y0) F(x0,y0)=0  и при фиксированном x, функция F(x,y) строго
  монотонна по y в данной окрестности,
  тогда найдётся такой двумерный промежуток I=Ix×Iy  , являющийся окрестностью точки (x0,y0 )и такая непрерывная функцияf: Ix→Iy  , что для любой точки (x,y)∈I,F(x,y)=0 ↔y=f(x).
  
  Теорема о неявной функции
  Освоение новых знаний
  

• 6 слайд

  Пусть f(a,x)=ax2+(a+1)x+1, тогда f(a,x) – непрерывна как многочлен. Чтобы функция была монотонна достаточно, чтобы ее производная по x не равнялась нулю.
  Пример 1. Решить уравнение ax2+(a+1)x+1=0
  Практикум
  ax2+(a+1)x+1=0
  D=a2+2a+1-4a=a2-2a+1=(a-1)2
  
  Ответ: x1=-1,x2=-1/a
  
  Теорема о неявной функции
  f '(a,x)=2ax+a+1, то есть в окрестности точки (0;0) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a).
  
  Т.е. в окрестности точки(0;0) исходное уравнение имеет корни: x1=-1,x2=-1/a. Т.к функция f(a,x) непрерывна на всей вещественной оси, то решения x1=-1,x2=-1/a будут решениями уравнения в любой точке.
  
  

• 7 слайд

  Практикум
  Пример2. Решить уравнение 22x-(2a+1) 2x+a2+a=0.
  
  Решение. Пусть f(a,x)=22x-(2a+1)2x+a2+a тогда f(a,x) – непрерывна как многочлен. Чтобы функция была монотонна достаточно, чтобы ее производная по не равнялась нулю.
  
  то есть в окрестности точки (0,0) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a).
  22x-(2a+1) 2x+a2+a=0, Пусть 2x=t, t>0, тогда
  
  Теорема о неявной функции
  

• 8 слайд

  Практикум
  Пример2. Решить уравнение 22x-(2a+1) 2x+a2+a=0.
  
  Решение.
  
  
  Ответ:
  Теорема о неявной функции
  ,
  .
  

• 9 слайд

  Задание для самостоятельного решения
  Решение.
  Пусть f(a,x)=a sinx-1, тогда f(a,x) – непрерывна как многочлен. Чтобы функция была монотонна достаточно, чтобы ее производная по x не равнялась нулю.
  f '(a,x)=a cosx; x≠π/2+πn, n∈Z, a∈R, то есть в окрестности точки (0,1) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a).
  
  
  
  
  
  Ответ:
  
  Проверка полученных результатов
  Решить уравнение a sin x=1
  Теорема о неявной функции
  

• 10 слайд

  Домашнее задание
  Найти хотя бы одно решение
   
  Подведение игогов, рефлексия
  Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса.
  Аристотель
  Получили ли вы наслаждение на уроке?
  Теорема о неявной функции