Презентация по математике "Уравнения и неравенства"

• 1 слайд

  Уравнения и неравенства
  
  
  Преподаватель математики
  ГБПОУ «Cочинский торгово-технологическмй техникум»
  Иванкова Н.П
  
  Урок повторения учебного материала
  

• 2 слайд

  Цель урока: формирование навыков решения линейных неравенств
  Цели урока:
  Образовательные:
  вспомнить, что такое уранение и неравенство; значит решить неравенство;
  вспомнить свойства числовых неравенств;
  отработать навыки решения линейного, квадратного, дробного уравнения и неравенства;
  Вспомнить алгоритм решения дробно-рациональных уравнений;
  Уметь решать уравнения и неравенства с модулем
  Воспитательные:
  Воспитывать умений общаться в группах, сотрудничать и взаимообучать
  Развивающие:
  развитие умения самостоятельно анализировать, делать выводы;
  развитие познавательного интереса;
  развитие мышления учащихся;
  развитие правильной речи учащихся.
  

• 3 слайд

  Решите:
  
  x – 8 = -5
  9 – 2x = x + 3
  a – 7a + 22 = 10 – 4а
  
  Что значит решить уравнение?
  
  - Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
  

• 4 слайд

  Линейное уравнение ax + b = 0
  
  Решение ax + b = 0,
  где a, b — некоторые числа, 
  х — переменная:
  при a ≠ 0, х = - b/a;
  при a = 0 и b = 0, х — любое число;
  при a ≠ 0 и b ≠ 0 — решений нет.
  
  

• 5 слайд

  Пример 1
  Решить уравнение :                                                          
  10 – 2х + 4 = 3х – 1;
  
  5х = 15;
  
  х = 3.
  Приведем к одному знаменателю
  Ответ: 3
  

• 6 слайд

  Линейные неравенства
   
   1. ax + b > 0.
  
     
  
        2. 
  М - множество решений соответствующего неравенства.
  Неравенства ax + b < 0  и     сводятся к рассмотренным умножением на -1.
  

• 7 слайд

  Алгоритм решения линейных неравенств
  Пример: решить неравенство 5(х – 3) > 2х - 31.
  Раскрыть скобки:5х – 15 > 2х - 31.
  Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный:5х – 2х > -3 + 153.
  Привести подобные слагаемые:3х > 124.
  Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):3х > 12 : 3х > 45.
  Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели: 6.
  
  
  Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:
  Ответ: (4; +∞)
  

• 8 слайд

  Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой.
  
  №1. 17 – х > 2∙(5 – 3х)
  №2. 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х
  №3. 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х
  

• 9 слайд

                                                                                          
  Это — линейное неравенство. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
                                                                                            
                                                         
  Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:
                                                                                                              
                                             
                                    
  Так как неравенство строгое, 10 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой.
  Штриховка от 10 влево, на минус бесконечность.                                    
  
  Так как неравенство строгое и точка выколотая, 10 записываем в ответ с круглой скобкой.
  
  Ответ:
                                                                     
  

• 10 слайд

  Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
                                                                                                          
                                                      
  Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 10>0, знак неравенства при этом не изменяется:
                                                                                                 
                                             
                                                 
  Так как неравенство нестрогое, -2,3 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от -2,3 идёт вправо, на плюс бесконечность.                                   
  
  Так как неравенство строгое и точка закрашенная, -2,3 в ответ записываем с квадратной скобкой.
  
  Ответ:
                                                                        
  

• 11 слайд

  Решение неполного квадратного уравнения
  
  ах2 + bx = 0
  Алгоритм решения:
  x (aх + b) = 0
  x = 0 или aх + b =0
  х = -b / a
  

• 12 слайд

  Формулы корней квадратного уравнения , дискриминант 
  Корней не имеет
  

• 13 слайд

  Теорема Виета
                                               
  В приведенном квадратном уравнении
  сумма корней равна коэффициенту при      , взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену:
  Если задано квадратное уравнение в общем виде , то делением уравнения на                 можно свести к приведенному, где                 ,                   
  
  

• 14 слайд

  Разложение квадратного трехчлена на множители                                                                                                                    ,
  где х1 и х2 корни уравнения                                                               .
  

• 15 слайд

  Рациональные уравнения 
  Решение рационального уравнения  ,
  
  где P(x) и Q(x) — многочлены, сводится к решению системы: 
  
  
  

• 16 слайд

  Уравнения и неравенства с модулем
  Модуль действительного числа
   — это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается |a|.
  Например: |6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45.
  Определение модуля
  

• 17 слайд

  Свойства модуля
  
  
  1) Модули противоположных чисел равны |a|=|–a|.
  2) Квадрат модуля числа равен квадрату этого
  числа |a|2 = a2.
  3) Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа √ (a2) = a2.
  4) Модуль числа есть число неотрицательное |a|≥ 0.
  5) Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля |сa|= с|a|, с > 0.
  6) Если |a| = |b|, то a = ± b.
  7) Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей |a ∙ b| = |a| ∙ |b|.
  
  

• 18 слайд

  Геометрический смысл модуля
  Модуль числа   — это расстояние от нуля до данного числа.
  Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.
  
  
  Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3.
  Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние
  от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3.
  Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3
  Геометрический смысл модуля разности величин     — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a| — длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами х и а.
  

• 19 слайд

  Пример
  Решить уравнение: |x - 3| = 4. Решение.
  Это уравнение можно прочитать так:
  расстояние от точки х до точки 3 равно 4.
  С помощью графического метода  можно
  определить, что уравнение имеет два
  решения: -1 и 7.
  

• 20 слайд

  Пример
  Решить неравенство: |x + 7| < 4.
  Решение.
  Можно прочитать как: расстояние от точки х до точки –7 меньше четырёх.
  Ответ:     (-11; -3).
  

• 21 слайд

  Пример
  Решить неравенство: |10 - x| ≥ 7.
  
  Решение.
  Расстояние от точки 10 до точки х больше или равно семи.
  
  
  
  Ответ:  (-∞; 3] υ [17, +∞).
  

• 22 слайд

  Решить неравенство:
  |5 - 2x| ≥ 1
  
  Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3},
  или (-∞, 2]    [3, ∞) .
  График множества решений изображен ниже.
  
                                
  

• 23 слайд

  Решить уравнение: |x – 1| + |x – 2|= 1.
  
  Решение.
  
   x – 1 + x – 2 = 1 и  -x + 1 - x + 2 = 1.
  
  2х = 4 - 2х = -2
  
  х = 2 х = 1
  
  Ответ:  1; 2.
  

• 24 слайд

  Системы линейных неравенств
        Рассмотрим решение систем линейных неравенств на примерах.
        Пример 1. Решить систему неравенств
  
        Решение. Решим каждое из неравенств системы:
  
       
  
  
  Изобразив на одной координатной прямой (рис. 1) оба точечных множества, составляющих  последнюю систему, получаем ответ примера.
  
        Ответ: 
  

• 25 слайд

  Решить систему неравенств
                                          
        
  Решение.
  Решим каждое из неравенств системы:
                                                                                                                                                            
       
  
  
  Изобразив на одной координатной прямой оба точечных множества, составляющих  последнюю систему, получаем ответ примера.
                                                                                                             
  
        Ответ:                           
  

• 26 слайд

  Пример 2.
  Решить уравнение  3х2 – 12х + 1 = 4х - 2 - 2х2.
  Решение.
  Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные,
  получим: 5х2 – 16х + 3 = 0.
  Используем способ решения квадратного уравнения
  По теореме, обратной к теореме Виета:
  х1х2 = 5·3 = 15х1 + х2 = 16
  
  Подбором получим: aх1 = 15; aх2 = 1,
  
  тогда х1 = 15/5 = 3; х2 = 1/5 = 0,2.
  Ответ:
  0,2 ; 3.
  

• 27 слайд

  Пример 4.
  Найти решение системы уравнений 
  1) (-15; 20) 2) (-10; -25) 3) (5; 25) 4) (25; 15)
  Решение.
  Решим систему способом сложения .
  Для этого сначала перепишем систему, чтобы переменные стояли
  друг под другом: 
  
  
  Умножив первое уравнение системы на 2 и, сложив его со вторым,
  получим:
  
  
  Из предложенных ответов верным является 4).
  

• 28 слайд

  Пример 6.
  Найти точку пересечения прямых 
  2х + 3у = 8 и 3х – 2у = -1.
  
  1) (-2;4) 2) (-1;3) 3) (-1;-2)4) (1;2)
  
  Решение.
  Координатами искомой точки будет решение системы уравнений, задающих пересекающиеся прямые:
  
  
  
  Следовательно, правильный ответ приведен под номером 4.
  

• 29 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  
  Решить уравнение: 
  
  -3
  -1
  1
  3
  
  

• 30 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  
  5х + 3 ≤ 1 – 3∙(х + 2)
  
  [-1; +∞)
  (-∞;-1)
  (-∞;-1]
  (-∞;4]
  

• 31 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  
  Решить уравнение: 
  
  1
  0; 1
  -1
  0
  
  

• 32 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  
  Решить уравнение:  х2 + 7х = 0
  1
  0; 1
  -1
  0
  
  

• 33 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  Найти сумму корней уравнения 
  18х2 – 2 = 0.
  -1/3
  1/3
  2/3
  0
  
  

• 34 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  
  Решить уравнение:  х2 - 2х = 3х
  5
  0; 1
  -5
  0; 5
  
  

• 35 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  Решить уравнение: 
  
  другой ответ
  1,5
  –1,5; 2
  1,5; –2
  
  

• 36 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  
  Решить уравнение 
  2(х – 3) – 4х2 = х – (2х +1)2.
  
  11;
  5/8
  другой ответ
  1; -5/8
  

• 37 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  
  Решить уравнение: 
  
  
  другой ответ
  –3; 5
  –3; –5
  –3
  

• 38 слайд

  
  Из пар чисел выберите ту, которая является решением системы уравнений:
  (3; –1)
  
  (–9; 3)
  
  (2; 1)
  
  (1; 2)
  

• 39 слайд

  Выбрать один правильный ответ
  |3x + 2| < 5
  
  (-7/3; +∞)
  [-7/3, 1)
  (7/3; -1)
  (-7/3; 1)
  

• 40 слайд

  Занятие окончено
  
  С П А С И Б О
  

• 41 слайд

  1) (3; –1) 2) (–9; 3) 3) (2; 1) 4) (1; 2)
  
  Решение.
  Подставим каждую из заданных пар чисел в систему уравнений и проверим, обращается ли каждое уравнение системы в верное равенство.
  (3; –1):  3) (2; 1):
  
  2) (–9; 3): 4) (1; 2)
  
  Из предложенных ответов верным является 3).
  

• 42 слайд

  Множеством решением есть {x|-7/3 < x < 1}, или (-7/3, 1). График множества решений изображен ниже. 
                                
  
  Решение
  a) |3x + 2| < 5