Проект "Функция как математическая модель"

функция как математическая модель

Содержание

Введение…………………………………………………………………….	3
1. Понятие о математическом моделировании. Этапы построения математической модели…………………………………………………..	4
2.Функция как математическая модель…………………………………….	5
Заключение…………………………………………………………………	13
Список литературы…………………………………………………………	14

Введение

Математическая модель – это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий. Математическое моделирование –процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными.

Школьная математика – это не наука, а предмет, основная цель которого – изучение реальных ситуаций с помощью математических моделей, математика изучает реальные ситуации, а первичная математическая модель – функция, поэтому функции, их свойства и графики, как в явной, так и в неявной форме составляют стержень школьного курса математики. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции.

Цель: проанализировать функцию как математическая модель.

Задачи:

1.     Провести теоретический анализ литературы по теме исследования.

2.     Охарактеризовать понятие о математическом моделировании.

3.     Рассмотреть этапы построения математической модели.

4.     Раскрыть функцию как математическая модель.

5.     Сформулировать выводы.

1. Понятие о математическом моделировании. Этапы построения математической модели

Математическое моделирование – это описание анализируемого объекта внешнего мира с помощью математической символики [3, с.78].

Математическая модель – это приближённое описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-либо математической теории (с помощью системы алгебраических уравнений и неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предложений, векторов и т.п.) [3, с.78].

Метод построения математических моделей – это метод математического познания действительности изучаемых объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех, возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата.

Как алгоритм математической деятельности метод математического моделирования содержит три этапа:

Построение математической модели объекта (явления, процесса);

Исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средством математики;

Интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации [7].

При этом должны соблюдаться следующие требования:

Модель должна адекватно отражать наиболее существенные (с точки зрения определённой постановки задачи) свойства объекта, отвлекаясь от несущественных его свойств;

Модель должна иметь определённую область применения, обусловленную принятыми при её построении допущениями;

Модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте.

Математическая модель и моделирование позволяют решать в учебном процессе следующие задачи:

Развитие мышления и интеллекта;

Формирование мировоззрения;

Овладение элементами математической культуры.

После того как математическая модель построена, возможны два случая:

Полученная конкретная модель принадлежит к уже изученному в математике классу моделей и тогда математическая задача решается уже известными методами.

Эта модель не укладывается не в одну из известных схем (классов) моделей, разработанных в математике, и тогда возникает проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой.

Это развитие математических теорий находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математическим объектам того же класса.

2.Функция как математическая модель

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передаёт всех его свойств и особенностей, а является его приближённым отображением.

Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.

Из определения моделей важны две характеристики: модель замещает объект изучения; находится с ним в определённых отношениях. Степень соответствия модели оригиналу может быть различной: подобие, аналогия, изоморфизм (взаимнооднозначное соответствие структур модели и прототипа), гомоморфизм (обобщённое соответствие) [7].

Моделирование – это процесс создания моделей и работа с ними [4, с.89].

Главные функции моделей – описательная, конструктивная и эвристическая.

Описательная функция модели состоит в том, что в исследуемом объекте выделяются и обобщаются существенные компоненты и взаимосвязи между ними.

Конструктивная функция модели состоит в её способности служить ориентиром, применять добытые знания в новых ситуациях.

Эвристическая функция модели способствует прогнозированию.

В зависимости от основной дидактической функции различают три вида моделей: описательные, конструктивные и эвристические. Описательные модели дают возможность сжато излагать информацию и воспроизводить её. Конструктивные модели больше ориентированы на применение знаний, эвристические — на овладение новыми знаниями, обобщение и систематизацию. При этом форма моделей может быть различной: модельная схема, знаковая модель, графическая, образная и т.д. [4, с.79].

Рассмотрим ограниченную и целевую функции.

Целевая функция – функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации.

В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.п.) в сравнении с другим. Цель – найти такие оценки, при которых целевая функция достигает минимума. Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило решения, минимизирующее или максимизирующее целевую функцию.

Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации или ограниченными функциями, (ограничение ресурсов).

Задача на отыскание наибольшего значения функции с ограничением на переменные:

Условие: Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов. Составить математическую модель.

Известны:

Bi (i = 1,2,3,…, m) – запасы каждого i-го вида ресурса;

a ij (i = 1,2,3,…, mj=1,2,3,…, n) – затраты каждого i-го вида ресурса на производство единицы объема j-го вида продукции;

cj (j = 1,2,3,…,n) – прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции.

Требуется составить план производства продукции, который обеспечивает максимум прибыли при заданных ограничениях на ресурсы (сырье).

Введем вектор переменных X=(X1, X2,…, Xn), где xj (j =1,2,…,n) – объем производства j-го вида продукции.

Затраты i-го вида ресурса на изготовление данного объема xj продукции равны aijxj, поэтому ограничение на использование ресурсов на производство всех видов продукции имеет вид:

целевой математический наименьший функция

Прибыль от реализации j-го вида продукции равна cjxj, поэтому целевая функция равна:

Ответ – Математическая модель имеет вид:

Задача на отыскание наименьшего значения функции с ограничением на переменные:

Выполнить заказ по производству 32 изделий и 4 изделий взялись бригады и. Производительность бригады по производству изделий и составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады – 15 и 30 руб.

Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Решение

Переменные задачи:

Искомыми величинами в задаче являются объемы выпуска изделий. Изделия будут выпускаться двумя бригадами и. Поэтому необходимо различать количество изделий, произведенных бригадой, и количество изделий И1, произведенных бригадой. Аналогично, объемы выпуска изделий бригадой и бригадой также являются различными величинами. Вследствие этого в данной задаче 4 переменные. Для удобства восприятия будем использовать двухиндексную форму записи – количество изделий (j=1,2), изготавливаемых бригадой (i=1,2), а именно,

– количество изделий, изготавливаемых бригадой, [шт.];

– количество изделий, изготавливаемых бригадой, [шт.];

– количество изделий, изготавливаемых бригадой, [шт.];

– количество изделий, изготавливаемых бригадой, [шт.]

Примечание 1.2. В данной задаче нет необходимости привязываться к какому-либо временному интервалу (в задаче №1.01 была привязка к суткам), поскольку здесь требуется найти не объем выпуска за определенное время, а способ распределения известной плановой величины заказа между бригадами.

Целевая функция:

Целью решения задачи является выполнение плана с минимальными затратами, т.е. критерием эффективности решения служит показатель затрат на выполнение всего заказа. Поэтому ЦФ должна быть представлена формулой расчета этих затрат. Затраты каждой бригады на производство одного изделия и  известны из условия. Таким образом, ЦФ имеет вид

Ограничения:

Возможные объемы производства изделий бригадами ограничиваются следующими условиями:

·        общее количество изделий, выпущенное обеими бригадами, должно равняться 32 шт., а общее количество изделий – 4 шт.;

·        время, отпущенное на работу над данным заказом, составляет для бригады – 9,5 ч, а для бригады – 4 ч;

·        объемы производства изделий не могут быть отрицательными величинами [7].

Таким образом, все ограничения задачи делятся на 3 группы, обусловленные:

1) величиной заказа на производство изделий;

2) фондами времени, выделенными бригадам;

3) неотрицательностью объемов производства.

Для удобства составления ограничений запишем исходные данные в виде таблицы:

Бригада	Производительность бригад, шт./ч.		Фонд рабочего времени
	4	2	9.5
	1	3	4
Заказ, шт.	32	4

Ограничения по заказу изделий имеют следующую содержательную форму записи

и

Математическая форма записи имеет вид

Ограничение по фондам времени имеет содержательную форму

Проблема заключается в том, что в условии задачи прямо не задано время, которое тратят бригады на выпуск одного изделия  или, т.е. не задана трудоемкость производства. Но имеется информация о производительности каждой бригады, т.е. о количестве производимых изделий в 1 ч. Трудоемкость Тр и производительность Пр являются обратными величинами, т.е. [7].

Поэтому используя таблицу получаем следующую информацию:

1/4 ч тратит бригада  на производство одного изделия;

1/2 ч тратит бригада  на производство одного изделия;

1/1 ч тратит бригада  на производство одного изделия;

1/3 ч тратит бригада на производство одного изделия.

Запишем ограничения по фондам времени в математическом виде

Неотрицательность объемов производства задается как .

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид

 [7].

Заключение

Таким образом, математическая модель  – математическое представление реальности, один из вариантов модели, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю.

Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

Заключение

1.     Афонин, А.М. Теоретические основы разработки и моделирования систем автоматизации: Учебное пособие. – М.: Форум, 2011. – 192 c

2.     Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода.– М.: Просвещение, 2003. – 344 с.

3.     Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. – 3-е изд., испр. – М.: КомКнига, 2007. – 192 с.

4.     Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. – 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2011. 

5.     Советов Б.Я., Яковлев С.А., Моделирование систем: Учеб. для вузов – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2011. – 343 с. 

6.     Чикуров, Н.Г. Моделирование систем и процессов: Учебное пособие. – М.: ИЦ РИОР, НИЦ ИНФРА-М, 2013. – 398 c.

7.     Математическая модель [Текст]: http://mat-modelir.narod.ru/nom4.html