Государственное
бюджетное образовательное учреждение г. Москвы
средняя общеобразовательная школа №426
Математические
задачи в художественной литературе
Проектная
работа
АВТОР РАБОТЫ:
Ученик 5 «В» класса
ГБОУ СОШ №426
Квасков Алексей
НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:
Аракелян Элен Робертовна,
Учитель математики
МОСКВА
2015 год
Введение
«Математика
- это язык, на котором
написана
книга природы»
Г.
Галилей
Актуальность работы.
Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью
учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними,
получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных)
задач.
Использование арифметических способов
решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы,
отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к
дальнейшему обучению.
Арифметические способы решения текстовых
задач развивают умение анализировать разные ситуации, строить план решения с
учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа
задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи,
проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи,
то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.
Цель проекта:
поиск математических задач в художественной литературе и привлечение внимание
других учащихся к задачам из художественной литературы, решение которых
способствует развитию логического мышления, сообразительности и
наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие
исследования.
Задачи проекта:
1) изучение художественный литературы;
2) подбор художественной литературы для
исследования;
3) решение задач и оценка полученных результатов.
Предметом
проекта является изучение текстовых задач, приведенных в следующих
произведениях:
1)
Н.Н. Носов «Федина задача»;
2)
А.П. Чехов «Репетитор»;
3)
Н.Н. Носов «Витя Малеев в школе и дома»;
4)
Л. Гераскина «В стране невыученных
уроков»;
5)
А. Аверченко «Экзаменационная задача».
Структура работы
включает в себя: введение, основную часть и заключение.
1.
Понятие задачи в математике.
Математика проникает почти во все
области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста
научно-технического прогресса. В школьном курсе математике, особое внимание
уделяется текстовым задачам.
Изучение текстовых задач происходит в
начальной и основной школе, но рассматриваются они недостаточно глубоко, таким
образом, приобретённые в основной школе навыки и знания решения текстовых задач
со временем теряются. Исходя из этого, чтобы верно решить любые текстовые
задачи, нам необходимо рассмотреть классификации этих задач, и уже с 5 класса систематизировать
и ликвидировать пробелы в знаниях по математике.
Определим прежде всего, что
подразумевается под задачей.
Задача — это текст, содержащий
численные компоненты. Структура этого текста такова, что в нем можно выделить
условие и требование (которое не всегда выражено в форме вопросительного
предложения).
Решить задачу — значит выполнить
арифметические действия, определенные условием, и удовлетворить требованию
задачи.
При решении каждой задачи мы
производим небольшое математическое исследование, с помощью которого
проверяется наша сообразительность и способность к логическому мышлению.
Текстовые задачи мы можем условно
классифицировать по типам:
·
задачи на числовые зависимости;
·
задачи, связанные с понятием процента;
·
задачи на «движение»;
·
задачи на «концентрацию смесей и сплавов»;
·
задачи на «работу» и т. д.
По
методу решения:
·
алгебраический метод
·
геометрический метод.
Решение
текстовых задач делится на несколько этапов:
·
выбор неизвестных;
·
составление уравнений;
·
нахождение неизвестных или нужной
комбинации неизвестных;
·
отбор решений, подходящих по смыслу
задачи.
Иногда при решении сложных задач
трудно с самого начала определить количество вводимых неизвестных. Выбирая
неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии
задачи. Поэтому все соотношения должны из конкретных условий задачи, т. е.
необходимо каждое условие представить в виде уравнения или записать иным
образов в виде математической модели.
1.1
Методы решения текстовых задач.
Существуют различные методы решения
текстовых задач:
·
арифметический,
·
алгебраический,
·
геометрический,
·
логический,
·
практический и др.
В основе каждого метода лежат
различные виды математических моделей.
Дадим краткую характеристику первых
трех методов решения текстовых задач, которые наиболее часто встречаются в
школьном курсе математики.
Арифметический метод.
Решить задачу арифметическим методом
– значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических
действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить
различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными
способами, если её решения отличаются связями между данными и искомыми,
положенными в основу решений, или последовательностью использования этих
связей.
Алгебраический метод.
В науке данный метод трактуется как
метод буквенных вычислений. Решить задачу алгебраическим методом – это значит
найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему
уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными
алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если
для её решения составлены различные уравнения или системы уравнений
(неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между
данными и искомыми.
Геометрический
метод.
Он состоит в том, что логическое
доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением, иногда
доказательство или решение видно из наглядной картины. Под геометрическим
методом решения алгебраических задач будем понимать в дальнейшем метод решения,
заключающийся в использовании геометрических представлений (изображений),
законов геометрии и элементов аналитических методов (уравнений (неравенств)).
1.2
Как составить математическую задачу.
Изучив рекомендованную
литературу, я составил памятку для составления задачи, поскольку чтобы изучить
задачи, использованные в литературе, мы должны явно понимать суть всего
определения.
Памятка учащимся:
1)
Сбор фактических данных.
Каждую
задачу необходимо сопроводить исторической справкой, содержащей цифровые данные.
2)
Процесс составления задачи.
Из
исторической справки надо выбрать математическое содержание и тип задачи.
Задача должна решаться средствами арифметики или с помощью уравнения и
относиться к одной из следующих тем:
–
Действия с натуральными числами.
–
Единицы измерения длины, площади.
–
Действия с дробями с одинаковыми знаменателями.
–
Нахождение части числа и числа по его части.
-
Нахождение части, которую одно число составляет от другого.
3)
Формулировка условия задачи.
Надо,
чтобы задача была интересной, понятной и звучала корректно с точки зрения как
математики, так и краеведения.
Как
работать над формулировкой задачи:
а)
выписать из исторической справки все числовые данные и установить зависимости
между числами или выяснить, во сколько раз (на сколько) одно число отличается
от другого;
б)
составить условие задачи в виде схемы, сформулировать условие и вопрос задачи;
в)
решить задачу выбранным методом или получить ответ, выполнив следующие
действия…
4)
Правильное оформление задачи.
Требования:
–
наличие исторической справки;
–
корректность формулировки условия;
–
наличие подробного решения;
–
подготовка слайдов с иллюстрациями, соответствующими историческим фактам, на
основе которых составлена задача.
1.
Математические задачи в художественной
литературе
Математические задачи в
художественных произведениях – это задачи, которые ставят перед своими героями
авторы некоторых романов, повестей, рассказов, и которые зачастую играют
определяющую роль в оценке характеров и способностей героев, а также заставляют
читателя самого поломать голову над их решением.
Я выбрал несколько
художественных произведений, содержащих математические задачи, попробовал их
решить самостоятельно, а также предложил для литературных героев задачи,
придуманные мною. Вот что у меня получилось.
2.1.
А.П. Чехов «Репетитор»
В этом рассказе главные
герои – гимназист VII класса Егор
Зиберов и его ученик, Петя Удодов, – на уроке арифметики сталкиваются с
задачей, которая их обоих заводит в тупик: «Купец купил 138 арш. черного и
синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого,
если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?».
При решении этой задачи
герои Чехова никак не могут понять, арифметическая это задача, или
алгебраическая, и с какой стороны к ней подойти.
Так как же можно решить
эту задачу? Оказалось, что ее можно решить как алгебраическим способом, так и
арифметическим.
1 способ – алгебраический:
х – количество синего
сукна по 5 рублей за аршин.
138 – х – количество
чёрного сукна по 3 рубля за аршин.
1) (138 – x)
Х 3 + 5х = 540
414 – 3х + 5х = 540
2х = 126
х = 126 : 2
х = 63 (арш.)
2) 138 – 63 = 75 (арш.)
Ответ: 63 аршина синего
сукна и 75 аршин чёрного сукна.
2 способ –
арифметический:
Предположим, что купец
купил поровну черного и синего сукна:
1)
138 : 2 = 69 (арш.)
Тогда стоимость всего
синего сукна (по 5 рублей за аршин) составила:
2) 69 х 5 = 345 (руб.)
А стоимость всего черного
сукна (по 3 рубля за аршин) составила:
3) 69 х 3 = 207 (руб.)
Тогда купцу пришлось бы
потратить на покупку синего и черного сукна всего:
4) 345 + 207 = 552 (руб.)
А это на 12 рублей
больше, чем на самом деле потратил купец:
5) 552 – 540 = 12 (руб.);
Известно, что синее сукно
дороже черного на 2 рубля. Поэтому можно сделать вывод, что синего сукна (более
дорогого) купили меньше черного на 6 аршин:
6) 12 : 2 = 6 (арш.)
Следовательно, синего
сукна купили 63 аршина:
7) 69 – 6 = 63 (арш.)
А черного сукна – 75
аршин:
8) 138 – 63 = 75 (арш.)
Ответ: 63 аршина синего
сукна и 75 аршин черного сукна.
Поскольку задача,
предложенная А.П. Чеховым герою своего рассказа, Пете Удодову, оказалась для
него слишком сложной, я решил составить для Пети свою задачу, попроще: «Папа
купил Пете баранки, с маком и с солью, всего на 105 рублей. Известно, что
баранок с солью было в 2 раза больше, чем с маком. Спрашивается, сколько папа
купил Пете баранок с маком, сколько с солью, и сколько всего баранок было
куплено, если известно, что 1 баранка с маком стоила 3 рубля, 1 баранка с солью
– 2 рубля».
Решение:
х – количество баранок с
маком по 3 рубля за штуку;
2х – количество баранок
с солью по 2 рубля за штуку;
1)
3х + 2х Х 2 = 105 (руб.)
3х + 4х = 105
7х = 105
х = 105 : 7
х = 15 (шт.) – куплено баранок с маком.
2)
2 Х 15 = 30 (шт.) – куплено баранок с
солью.
3)
30 + 15 = 45 (шт.) – всего.
Ответ: всего куплено 45
баранок, из них 15 баранок с маком и 30 баранок с солью.
2.2.
Н.Н. Носов «Федина задача».
Гораздо проще задачи, рассмотренной в
предыдущей главе, задача, предложенная писателем Н.Н. Носовым своему герою Феде
Рыбкину в рассказе «Федина задача»:
«На мельницу доставили четыреста
пятьдесят мешков ржи, по восемьдесят килограммов в каждом. Рожь смололи, причем
из шести килограммов зерна вышло пять килограммов муки. Сколько понадобилось
машин для перевозки всей муки, если на каждой машине помещалось по три тонны
муки?»
Вот ее решение:
1) 450 х 80 = 36000 (кг) всего
привезли ржи на мельницу;
2) 36000:6 х 5 = 30000 (кг) - вышло
муки из привезенной на мельницу ржи;
3) 30000 кг = 30 т
4) 30 : 3 = 10 (машин) – потребуется
для перевозки всей муки
Ответ: 10 машин понадобилось для
перевозки всей муки.
И если бы Федя Рыбкин не отвлекался
на посторонние занятия – слушал песни, которые передавались в это время по
радио, а немножко подумал, он бы без труда решил эту задачу.
2.3.
Л. Б. Гераскина «В стране невыученных
уроков»
Жил-был мальчик по имени
Витя Перестукин, ученик 4-го класса, который однажды за один учебный день
получил сразу пять «двоек». Витя ленился выполнять домашние задания, за что и
попал в «Страну невыученных уроков».
Меня заинтересовала
задача по математике, заданная Вите на дом: «5 землекопов вырыли траншею в 100
погонных метров за 4 дня». В тексте нет вопроса к этой задаче, зато известно,
что решив эту задачу неправильно, Витя получил ответ «полтора землекопа», а
перерешав её правильно – получил ответ «два землекопа».
Вот я и задумался, какой
же вопрос должен был стоять к задаче, чтобы в ответе получилось «два
землекопа». И оказалось, что вопросов может быть несколько. Приведу пример из
двух вопросов.
Но для начала нужно
понять, что можно извлечь из имеющихся условий задачи:
1)
Узнаем, сколько погонных метров траншеи
могут выкопать 5 землекопов за один день:
100 : 4 = 25 (п.м);
2)
Затем рассчитываем, сколько погонных
метров траншеи может выкопать землекоп за один день:
25 : 5 = 5 (п.м).
Вопрос 1:
Сколько землекопов выроют траншею в 100 погонных метров за 10 дней?
3)
Зная, сколько может выкопать погонных
метров за день один землекоп, рассчитываем количество дней, которое ему
потребуется, чтобы выкопать всю траншею:
100 : 5 = 20 (дней);
4)
Соответственно, чтобы ускорить работу в 2
раза, потребуется еще один землекоп:
20 : 10 = 2 (землекопа).
Ответ: 2 землекопа.
Вопрос 2:
Сколько еще потребуется землекопов, чтобы за 4 дня вырыть траншею в 140
погонных метров?
4)
Зная, что 5 землекопов вырыли траншею в
100 погонных метров за 4 дня, остается узнать, сколько потребуется землекопов,
чтобы за 4 дня выкопать еще 40 погонных метров:
140 – 100 = 40 (п.м)
5)
Зная, сколько может выкопать погонных
метров за день один землекоп, рассчитываем количество дней, которое ему
потребуется, чтобы выкопать всю траншею:
40 : 5 = 8 (дней);
6)
Соответственно, чтобы ускорить работу в 2
раза, потребуется еще один землекоп:
8 : 4 = 2 (землекопа).
Ответ: 2 землекопа.
Чтобы Витя Перестукин
потренировался в решении математических задач, я бы предложил ему следующую
задачу: «Бригада железнодорожных строителей проложила 2000 погонных метров
железнодорожного полотна за 10 дней. Сколько бригад строителей необходимо
привлечь, чтобы эту работу выполнить за 5 дней?»
1.5. А. Аверченко «Экзаменационная
задача»
Главный герой рассказа А.
Аверченко «Экзаменационная задача», Семен Панталыкин, мечтатель и фантазер,
попадает в непростую ситуацию, когда ему всего за 20 минут необходимо решить
«очень трудную» задачу: «Два крестьянина вышли одновременно из пункта А в
пункт Б, причем один из них делал в час четыре версты, а другой – пять.
Спрашивается, насколько один крестьянин придет раньше другого в пункт Б, если
второй вышел позже первого на четверть часа, а от пункта А до пункта Б такое же
расстояние в верстах, сколько получится, если два виноторговца продали третьему
такое количество бочек вина, которое дало первому прибыли 120 рублей, второму –
80, а всего бочка вина приносит прибыли 40 рублей».
Решение:
Сначала узнаем расстояние
между пунктом А и пунктом Б, исходя из условий второй части задачи, т.е. находим
общее количество бочек вина, проданных третьему виноторговцу:
1)
(120 + 80) : 40 = 5 (бочек)
Таким образом, расстояние
от пункта А до пункта Б составляет 5 верст.
Далее рассчитываем, за
какое время пройдут это расстояние оба крестьянина:
2)
5 : 5 = 1 (ч) – потратит на дорогу второй
крестьянин;
3)
5 : 4 = 1 (ч) –
потратит на дорогу первый крестьянин.
Из чего следует, что,
если оба крестьянина выйдут из пункта А одновременно, то в пункт Б второй
крестьянин придет на часа раньше первого:
4)
1 -1 = (ч).
Ответ: Если второй
крестьянин вышел из пункта А позже первого на часа,
то в пункт Б оба крестьянина придут одновременно.
Вывод.
Математика
- вечное живое дерево науки. С древнейших времён
известно, что математика учит правильно и последовательно мыслить,
логически рассуждать.
Цель и задачи поставленные перед началом работы, были выполнены. Для
этого были подобранны для исследования отрывки произведений классиков
русской литературы XIX-XX веков, в которых рассматривались и были
представлены различные математические задачи или ситуации, связанные с этой
наукой.
Благодаря этому
проекту, я узнал много нового о математических задачах, показал связь двух наук
– математики и литературы, «помог» литературным героям, составив задачи,
которые помогли бы им в решении авторских задач.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.