Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Программа элективного курса "Исследование квадратного трёхчлена" 9 класс

Программа элективного курса "Исследование квадратного трёхчлена" 9 класс

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Элективный курс


« Исследование квадратного трёхчлена»


Пояснительная записка


Математическое образование в системе общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, её возможностями в развитии и формировании мышления человека, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остаётся вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой стороны – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к математике.

Программа курса «Исследование квадратного трёхчлена» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы, но часто встречаются в экзаменационных заданиях. Рассматриваемая тема позволяет сделать достаточно полный обзор не только изучаемых в школьном курсе формул корней уравнения hello_html_26456920.gif и формул Виета, выражающих зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, но и теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой. Практическая часть составлена из заданий с параметрами, что будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.


Целями данного курса являются:


  • Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

  • Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщение умственных умений.


Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:


  • Выделение логических приёмов мышления и способствование их осмыслению, развитие образного и ассоциативного мышления.

  • Обеспечение диалогичности процесса обучения.


Курс предназначен для учащихся 9 классов и рассчитан на 8,5 часов аудиторного времени.

Курс призван помочь учащимся в овладении навыком решения заданий с параметрами, повысить уровень общей математической культуры, оценить потенциал для дальнейшего обучения в профильной школе.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:


  • Свободно оперировать аппаратом алгебры при решении задач на исследование квадратного трёхчлена.

  • Применять формулы корней квадратного трёхчлена, теорему Виета и теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой для решения заданий с параметрами.


Тематическое планирование

лекции


практические

1

Теорема Виета

1

2

2

Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой

1


2

3

Задания на определение количества корней квадратного трёхчлена


2

4

Выходной контроль


0,5

















Исследование квадратного трёхчлена


Теорема Виета

Между корнями hello_html_m712162d8.gifиhello_html_m4b903951.gifhello_html_m53d4ecad.gifквадратного трёхчлена hello_html_m5298b02d.gif и коэффициентами существуют соотношения:

hello_html_6ecb55e9.gif; hello_html_7a370ec3.gif

При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.


Теорема 1. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

hello_html_210017cb.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_b0f187a.gif> hello_html_11b56c31.gif

при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:

hello_html_6ecb55e9.gif> hello_html_11b56c31.gif

и оба корня будут отрицательными, если

hello_html_6ecb55e9.gif< hello_html_m6c6994c9.gif

Теорема 2. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих соотношений:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4ba9b37e.gif> hello_html_11b56c31.gifhello_html_b0f187a.gif< hello_html_m6c6994c9.gif

при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если

hello_html_6ecb55e9.gif> hello_html_11b56c31.gif

если же

hello_html_6ecb55e9.gif< hello_html_11b56c31.gif

то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.

Задания для самостоятельного решения



  1. При каких значениях hello_html_m552725b3.gif уравнение

hello_html_m3478abb3.gif

имеет два различных положительных корня?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gif уравнение

hello_html_m477899d6.gif

имеет корни разных знаков?


  1. При каком значении hello_html_m71dc1037.gif сумма квадратов корней уравнения

hello_html_m3bea3d18.gif

минимальна?


  1. При каком значении hello_html_m71dc1037.gif сумма квадратов корней уравнения

hello_html_3a1e3f79.gif

минимальна?


  1. При каком значении hello_html_m1d843afb.gif корни уравнения

hello_html_m3ed60139.gif

таковы, что сумма их квадратов равна hello_html_m271f8424.gif?


  1. При каком значении hello_html_m1d843afb.gif сумма квадратов корней уравнения

hello_html_m342e8d41.gif

минимальна?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gif произведение корней квадратного уравнения

hello_html_m15beb25d.gif

равно нулю?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gif сумма корней квадратного уравнения

hello_html_555cb225.gif

равна нулю?


  1. В уравнении hello_html_5bad6d96.gif сумма квадратов корней равна 16. Найдите hello_html_m1d843afb.gif.


  1. В уравнении hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5c6db291.gif квадрат разности корней равен 16. Найдите hello_html_m1d843afb.gif.


  1. При каких значениях hello_html_m1d843afb.gif сумма корней уравнения

hello_html_79b47e0d.gif

равна сумме квадратов его корней?


  1. При каком значении параметра hello_html_m71dc1037.gif сумма квадратов корней уравнения

hello_html_m24c9e008.gif

наибольшая?

  1. При каких значениях hello_html_m552725b3.gif и hello_html_m1f6f3e16.gif корни уравнения

hello_html_658f3f0b.gif

равны hello_html_m2f3603b8.gif и hello_html_3b331a5a.gif


  1. При каких значениях параметра hello_html_m1d843afb.gif один из корней квадратного уравнения

hello_html_m101ff0ff.gif

в два раза больше другого?


  1. Известно, что корни уравнения

hello_html_m738e0b20.gif

на 1 меньше корней уравнения

hello_html_m63fd86ef.gif.

Найдите hello_html_m1d843afb.gif и корни каждого из уравнений.


  1. Известно, что корни уравнения

hello_html_6bec0903.gif

равны соответственно квадратам корней уравнения

hello_html_m550af2ee.gif.

Найдите hello_html_m1d843afb.gif и hello_html_m552725b3.gif, и корни каждого из уравнений.



Ответы


1. hello_html_m552725b3.gif< hello_html_m6e27d1da.gif

2. hello_html_m1baebf4b.gif< hello_html_mb7654cd.gif и hello_html_m1baebf4b.gif> hello_html_m7ba02e80.gif

3. hello_html_m52ce5f35.gif.


4. hello_html_1efa5ad6.gif

5. hello_html_m15b8e68d.gif

6. hello_html_27382040.gif


7. 3;4.


8. 1.


9. 0.


10. – 3.


11. hello_html_6ef33fd0.gif


12. – 1.


13. hello_html_708ac7ee.gif или hello_html_7d905508.gif


14. hello_html_53872d95.gif


15. hello_html_m225c813a.gif 2 и 3 – корни первого уравнения, 3 и 4 – корни второго уравнения.


16. hello_html_73980991.gifкорни первого уравнения равны 2; 3, корни второго уравнения равны 4; 9, или hello_html_12d006dc.gif корни первого уравнения равны – 2; – 3, корни второго уравнения равны 4; 9.



Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой


Пусть квадратный трёхчлен hello_html_19ac337f.gif имеет корни hello_html_m712162d8.gif и hello_html_m4b903951.gif, а hello_html_63919ba5.gif — некоторое действительное число. Во всех нижеперечисленных соотношениях hello_html_m2df9e412.gif представляет собой выражение hello_html_10f694ec.gif



Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше, чем число hello_html_63919ba5.gif, т.е. лежали на координатной прямой левее точки hello_html_63919ba5.gif, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

hello_html_m11dfe005.gifhello_html_m4d661d43.gif


hello_html_7df32bb2.jpg






Теорема 2. Чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число hello_html_63919ba5.gif, а другой больше числа hello_html_63919ba5.gif, т.е. точка hello_html_63919ba5.gifлежала бы между корнями, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:



hello_html_445b0c29.gifhello_html_6ba7554a.gif


hello_html_37e748bf.jpg


Теорема 3. Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число hello_html_63919ba5.gif,т.е. лежали на координатной прямой правее, чем точка hello_html_d266d7d.gif, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:



hello_html_m6c908e40.gif hello_html_4d027f9f.gif

hello_html_7511f2aa.jpg




hello_html_m53d4ecad.gifСледствие 1. Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше,

чем число М, но меньше, чем число А (М < А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно:

hello_html_21552a1e.gif hello_html_m73754e9f.gif


hello_html_m5c69f292.jpg

Следствие 2. Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале между М и А (М < А), необходимо и достаточно:


hello_html_m25fde710.gif hello_html_6fce015d.gif

При этом меньший корень лежит вне отрезка МА.

hello_html_1a7dd800.jpg


Следствие 3. Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале между М и А (М < А), необходимо и достаточно:



hello_html_m2abe28b7.gif hello_html_608dcee4.gif

При этом больший корень лежит вне отрезка МА.

hello_html_488afa52.jpg



Следствие 4. Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М < А), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:



hello_html_750f6094.gif hello_html_6fce015d.gif

hello_html_ma258dec.jpg





Задания для самостоятельного решения

  1. При каких значениях hello_html_m1d843afb.gifоба корня квадратного трёхчлена

hello_html_ma294dac.gif

больше hello_html_12c9b7f6.gif?

  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gif оба корня квадратного уравнения

hello_html_4e13abae.gif

больше 3?


  1. При каких значениях hello_html_m1f6f3e16.gif оба корня квадратного уравнения

hello_html_1690c0fd.gif

меньше – 1?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gifоба корня квадратного уравнения

hello_html_2b4c4314.gif

больше 1?

  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gifодин из корней квадратного уравнения

hello_html_2a753163.gif

больше 1, а другой меньше 1?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gifоба корня квадратного уравнения

hello_html_m590ba9d7.gif

по абсолютной величине меньше 1?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gif уравнение

hello_html_7a242c29.gif

имеет один корень больше 3, а другой меньше 2?


  1. При каких значениях hello_html_m1d843afb.gif корни уравнения

hello_html_664ff21f.gif

принадлежат промежутку hello_html_m3860ebc9.gif?


  1. При каких значениях hello_html_m2e1611d9.gif корни уравнения

hello_html_7d3da2f0.gif

принадлежат промежутку hello_html_m61a1570.gif?


  1. При каких значениях hello_html_m1d843afb.gif один корень квадратного уравнения

hello_html_m6d406e7a.gif

больше hello_html_215f5452.gif а другой меньше hello_html_672ff4fa.gif


  1. При каких значениях hello_html_m1d843afb.gif число hello_html_3745f824.gifнаходится между корнями квадратного трёхчлена

hello_html_m49a84997.gif?

Ответы

hello_html_m7427ca2b.gif

hello_html_53d284ba.gif

hello_html_m42617457.gif

hello_html_m43eec5d4.gif

hello_html_m3f66134e.gif


hello_html_5cab20b2.gif


hello_html_me8c0f84.gif


hello_html_m1629a522.gif


hello_html_5e1c906a.gif


hello_html_1d078378.gif


hello_html_40d8c826.gifи hello_html_m23336a5b.gif


Задания на определение количества корней квадратного трёхчлена

  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gif уравнение

hello_html_m9b86fcf.gif

имеет единственное решение?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gif уравнение

hello_html_m51d99c62.gif

имеет единственное решение?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gif уравнение

hello_html_335c7539.gif

имеет более одного корня?


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gifуравнение

hello_html_m2f65ae9f.gif

имеет корни? Приведите пример положительного значения hello_html_m19087816.gif


  1. При каких значениях hello_html_m1baebf4b.gifуравнение

hello_html_m7b052ea2.gif

не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения hello_html_m19087816.gif


  1. Найдите все целые значения hello_html_m1baebf4b.gif, при которых уравнение

hello_html_58d12980.gif

имеет два корня?


  1. Найдите все целые значения hello_html_m71dc1037.gif, при которых уравнение

hello_html_49a82a30.gif

имеет два корня?


  1. При каком значении hello_html_m71dc1037.gif уравнение

hello_html_m4e219286.gif

имеет два корня? Найдите эти корни.


  1. При каком значении hello_html_m1baebf4b.gif уравнение

hello_html_m78d3fc82.gif

имеет два корня? Найдите эти корни.

  1. При каких значениях hello_html_m1f6f3e16.gif уравнение

hello_html_53be71af.gif

имеет корни?

  1. При каких значениях hello_html_m1f6f3e16.gif уравнение

hello_html_bbcae32.gif

имеет корни?


  1. При каких значениях параметра hello_html_m552725b3.gif корни уравнения

hello_html_m1343e56.gif

равны по модулю?


  1. Найдите наибольшее целое значение hello_html_m1baebf4b.gif, при котором уравнение

hello_html_m753eeda2.gif

не имеет действительных корней.


  1. Найдите наименьшее целое значение hello_html_mccba78b.gif при котором уравнение

hello_html_m494aa05b.gif

имеет два различных корня.


  1. При каком значении hello_html_m1d843afb.gif уравнение

hello_html_69bc4010.gif

имеет один корень?


  1. При каком значении hello_html_m1d843afb.gif уравнение

hello_html_m462a05ee.gif

имеет один корень?


  1. При каких значениях hello_html_m1d843afb.gif уравнение

hello_html_78cc0920.gif

имеет более двух корней?





Ответы

hello_html_m34d94542.gif

hello_html_3e86a7c6.gif

hello_html_m4586c484.gif.

hello_html_72d9b52e.gif




Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров41
Номер материала ДБ-153374
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх