Программа элективного курса "Исследование квадратного трёхчлена" 9 класс

Элективный курс

« Исследование квадратного трёхчлена»

Пояснительная записка

   Математическое образование в системе общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, её возможностями в развитии и формировании мышления человека, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

   Актуальным остаётся вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой стороны – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к математике.

    Программа курса «Исследование квадратного трёхчлена» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы, но часто встречаются в экзаменационных заданиях. Рассматриваемая тема позволяет сделать достаточно полный обзор не только изучаемых в школьном курсе формул корней уравнения  и формул Виета, выражающих зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, но и теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой. Практическая часть составлена из заданий с параметрами, что будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

Целями данного курса являются:

v Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

v Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщение умственных умений.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

v Выделение логических приёмов мышления и способствование их осмыслению, развитие образного и ассоциативного мышления.

v Обеспечение диалогичности процесса обучения.

   Курс предназначен для учащихся 9 классов и рассчитан на 8,5 часов аудиторного времени.

   Курс призван помочь учащимся в овладении навыком решения заданий с параметрами, повысить уровень общей математической культуры, оценить потенциал для дальнейшего обучения в профильной школе.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

v Свободно оперировать аппаратом алгебры при решении задач на исследование квадратного трёхчлена.

v Применять формулы корней квадратного трёхчлена, теорему Виета и теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой для решения заданий с параметрами.

Тематическое планирование

№	Тема занятия	Количество часов
		лекции	практические
1	Теорема Виета	1	2
2	Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой	1	2
3	Задания на определение количества корней квадратного трёхчлена	–	2
4	Выходной контроль	–	0,5

Исследование квадратного трёхчлена

Теорема Виета

    Между корнями иквадратного трёхчлена  и коэффициентами существуют соотношения:

                              ;         

 При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.

     Теорема 1.  Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

                             >  

при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:

                                             >

и оба корня будут отрицательными, если

                                              <

       Теорема 2. Чтобы  корни квадратного трёхчлена были действительными и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих соотношений:

                 >                   <

при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если

                                              >

если же

                                                <

то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.

Задания для самостоятельного решения 

1.     При каких значениях  уравнение

имеет два различных положительных корня?

2.     При каких значениях  уравнение

имеет корни разных знаков? 

3.     При каком значении  сумма квадратов корней уравнения

минимальна?

4.     При каком значении  сумма квадратов корней уравнения

минимальна?

5.     При каком значении  корни уравнения

таковы, что сумма их квадратов равна ?

6.     При каком значении  сумма квадратов корней уравнения

минимальна?

7.     При каких значениях  произведение корней квадратного уравнения

равно нулю?

8.     При каких значениях  сумма корней квадратного уравнения

равна нулю?

9.     В уравнении  сумма квадратов корней равна 16.         Найдите .

10.  В уравнении  квадрат разности корней равен 16. Найдите .

11.  При каких значениях  сумма корней уравнения

равна сумме квадратов его корней?

12.  При каком значении параметра  сумма квадратов корней уравнения

 наибольшая?

13.  При каких значениях  и  корни уравнения

равны  и

14.  При каких значениях параметра  один из корней квадратного уравнения

 в два раза больше другого?

15.  Известно, что корни уравнения

на 1 меньше корней уравнения

.

Найдите  и корни каждого из уравнений.

16. Известно, что корни уравнения

равны соответственно квадратам корней уравнения

.

Найдите  и , и корни каждого из уравнений.

Ответы

№ 1.     <  

                                                                                                                                                                № 2.     <  и  >  

                                                                                                                                                      № 3.    .

№ 4.       

                                                                                                                                                       № 5.     

                                                                                                                                                      № 6.   

№ 7.     3;4.

№ 8.     1.

№ 9.     0.

№ 10.   – 3.

№ 11.  

№ 12.   – 1.

№ 13.    или

№ 14.  

№ 15.    2 и 3 – корни первого уравнения, 3 и 4 – корни второго уравнения.

№ 16.    корни первого уравнения равны 2; 3, корни второго уравнения равны 4; 9, или   корни первого уравнения равны      – 2;  – 3, корни второго уравнения равны 4; 9.

Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена                         на координатной прямой

      Пусть квадратный трёхчлен  имеет корни  и , а    — некоторое действительное число. Во всех нижеперечисленных соотношениях   представляет собой выражение

      Теорема 1.   Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше, чем число , т.е. лежали на координатной прямой левее точки , необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

                                                                                                               
                                          

      Теорема 2.   Чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число , а другой больше числа , т.е. точка лежала бы между корнями, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

                                                                

       Теорема 3.  Чтобы оба  корня квадратного трёхчлена были больше, чем число ,т.е. лежали на координатной прямой правее, чем точка , необходимо и  достаточно выполнения следующих условий:

                                                              

   Следствие 1. Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше,

чем число М, но меньше, чем число А (М < А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно:

                                                      

       Следствие 2.  Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале между М и А (М < А), необходимо и достаточно:

                                                       

При этом меньший корень лежит вне отрезка МА.

       Следствие 3. Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале между М и А (М < А), необходимо и достаточно:

                                                          

При этом больший корень лежит вне отрезка МА.

        Следствие 4.  Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М < А), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

                                                       

Задания  для самостоятельного решения

1.     При каких значениях оба  корня  квадратного трёхчлена

     больше ?

2.     При каких значениях  оба корня квадратного уравнения

     больше 3?

3.     При каких значениях  оба корня квадратного уравнения

меньше  – 1?

4.     При каких значениях оба корня квадратного уравнения

больше 1?

5.     При каких значениях один из корней квадратного уравнения

больше 1, а другой меньше 1?

6.     При каких значениях оба корня квадратного уравнения

по абсолютной величине меньше 1?

7.     При каких значениях  уравнение

имеет один корень больше 3, а другой меньше 2?

8.     При каких значениях  корни уравнения

принадлежат промежутку ?

9.     При каких значениях  корни уравнения

принадлежат промежутку ?

10.  При каких значениях  один корень квадратного уравнения

больше   а другой меньше

11.  При каких значениях  число находится между корнями квадратного трёхчлена

?

Ответы

  

  и  

Задания  на определение количества корней квадратного трёхчлена

1.     При каких значениях  уравнение

имеет единственное решение?

2.     При каких значениях  уравнение

имеет единственное решение?

3.     При каких значениях  уравнение

имеет более одного корня?

4.     При каких значениях уравнение

имеет корни? Приведите пример положительного значения

5.     При каких значениях уравнение

     не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения

6.     Найдите все целые значения , при которых уравнение

имеет два корня?

7.     Найдите все целые значения , при которых уравнение

имеет два корня?

8.     При каком значении  уравнение

имеет два корня? Найдите эти корни.

9.     При каком значении  уравнение

имеет два корня? Найдите эти корни.

10.  При каких значениях  уравнение

имеет корни?

11.  При каких значениях  уравнение

имеет корни?

12.  При каких значениях параметра  корни уравнения

     равны по модулю?

13.  Найдите наибольшее целое значение , при котором уравнение

не имеет действительных корней.

14.  Найдите наименьшее целое значение  при котором уравнение

имеет два различных корня.

15.  При каком значении  уравнение

имеет один корень?

16.  При каком значении  уравнение

имеет один корень?

17. При каких значениях  уравнение

имеет более двух корней?

Ответы

.