Программа элективного курса "Решение задач по подготовке к ЕГЭ

«Подготовка к Единому государственному экзамену по математике через элективные курсы»

Согласно концепции модернизации российского образования среднее (общее) образование нацелено на формирование социально грамотной и социально мобильной личности, осознающей свои гражданские права и обязанности, ясно представляющей потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути.

Обучение стало вариативным: появилось новое поколение учебной литературы и согласно закону об образовании учителя отказались от единых учебников, появились современные государственные образовательные стандарты общего образования, началось более широкое внедрение информационных технологий в преподавании всех школьных предметов, изменились цели обучения. Всё это в равной мере касается и образовательной области "математика".

Доминирующей идеей федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике является интенсивное развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критического мышления, овладение математическими знаниями и умениями на всех ступенях обучения, использование приобретённых знаний и умений в практической деятельности.

Определены три основные цели модернизации образования:

- расширение доступности образования;

- повышение качества образования;

- повышение эффективности образования.

 Объектом исследования является организация системы подготовки учащихся к ЕГЭ по математике, а предметом исследования - поиск содержания, форм и методов обучения, технологическая и психологическая подготовка, необходимая для успешной сдачи ЕГЭ по математике. В процессе работы были использованы следующие методы исследования:

изучение методической, психологической и справочной литературы по данной теме; знакомство с уже имеющимися разработками по данной теме;

Актуальность данной темы в настоящее время объясняется тем, что в связи с экономическими и политическими преобразованиями в России модернизируется и среднее (общее) образование. Единый государственный экзамен должен не только определить уровень подготовки выпускников школ, но и задать вектор развития школьной математики на ближайшие несколько лет

    В процессе работы были использованы следующие методы исследования:

изучение методической, психологической и справочной литературы по данной теме; знакомство с уже имеющимися разработками по данной теме; задачники с набором текстовых задач; совместные  практические наработки учащихся и учителя по данной теме

  Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике совмещает два экзамена - выпускной школьный и вступительный в высшее учебное заведение (ВУЗ) и среднее специальное учебное заведение (СУЗ). В связи с этим материал, усвоение которого проверяется при сдаче ЕГЭ, значительно шире материала, проверяемого при сдаче выпускного экзамена. Наряду с вопросами содержания школьного курса алгебры и начала анализа 10 - 11 классов (курс В) проверяется усвоение ряда вопросов курсов алгебры 7 - 9 классов и геометрии 7 - 11 классов, которые традиционно контролируются на вступительных экзаменах.

для подготовки к сдаче ЕГЭ необходимо повторить не только материал курса алгебры и начала анализа, но и некоторых тем и разделов курса математики основной и средней школы: проценты (основные задачи на проценты); пропорции (основное свойство пропорции, задачи на составление и решение пропорций); арифметическая и геометрическая прогрессии (формулы общего члена и суммы n первых членов); материал курса планиметрии 7 - 9 классов и курса стереометрии 10 - 11 классов (расположение прямых и плоскости в пространстве, многогранники и тела вращения).

 Эффективный способ подготовки старшеклассников к сдаче ЕГЭ - это введённые в 2003 году Министерством образования  Российской Федерации так называемые элективные курсы (от лат. elektus - избранный, т.е. курсы по выбору). Элективные курсы составляют компонент образовательного учреждения базисного учебного плана.

В классах с углубленным изучением математики (профильных классах) часы на подготовку к ЕГЭ предусмотрены БУПом, в остальных же классах таковых часов нет. Острая необходимость подготовки не профильных классов к экзамену стала основным мотивом использования элективных курсов в основе подготовительной работы.

В качестве программы элективного курса, цель которого - подготовка учащихся к ЕГЭ, используется перечень вопросов содержания (кодификатор) школьного курса математики, усвоение которых проверяется при сдачи единого государственного экзамена.

Элективный курс по подготовке к Единому Государственному Экзамену основан на повторении, систематизации и углублении знаний полученных ранее. Занятия проходят в форме свободного практического урока и состоят из обобщённой теоретической части и практической части, где им предлагается решить задания схожие с заданиями вошедшими в ЕГЭ прошлых лет или же удовлетворяющие перечни контролируемых вопросов. На курсе также рассматриваются иные, нежели привычные, подходы к решению задач, позволяющие сэкономить время на ЕГЭ.

Программа элективного курса: «Решение текстовых задач».

В настоящее время текстовые задачи являются обязательными в курсе основной школы. Текстовые задачи повышенной сложности входят в перечень вопросов содержания школьного курса математики, усвоение которых проверяется при сдаче Единого Государственного Экзамена. Данные задания входят в Единый Государственный Экзамен в части «В» и предусматривают краткий ответ. В связи с этим, текстовые задачи вызывают интерес в выпускных классах.

Цель данного курса: помощь учащимся в подготовке к ЕГЭ, обобщить и систематизировать знания по этой теме.

Задачи курса:

1. Ознакомить учащихся с видами текстовых задач.

2. Расширить знания и умения в решении различных задач, подробно рассмотреть возможные или более приемлемые методы их решения.

3. Формировать умения и навыки решения различных типов задач.

4. Привитие умений правильно анализировать содержание задач.

5. Совершенствование навыков самостоятельной работы со справочной литературой.

Форма обучения: коллективная, групповая, индивидуальная.

Предполагаемые результаты: роль текстовых задач обусловлена тем, что практические представления являются важнейшей составляющей интеллектуального багажа современного человека. Они нужны и для повседневной жизни в современном цивилизованном обществе, и для продолжения образования практически во всех сферах человеческой деятельности. Главным же результатом должна стать оценка результативности Единого Государственного Экзамена.

Тематический план:

1.	Понятие текстовой задачи                                                                   1ч.
2.	Текстовые задачи с практическим содержанием на использование арифметической и геометрической прогрессии.                               2ч.
3.	Основные задачи на проценты: находить процент числа, число по его проценту, процентное соотношение.                                                 2ч.
4.	Основные задачи на проценты: прямо пропорциональные величины, обратно пропорциональные величины                                            2ч.
5	Задачи на движение                                                                           3ч.
6	Задачи на работу                                                                               1ч.
7	Задачи на сложные проценты                                                           1ч.
8	Задачи на десятичную запись числа                                                 1ч.
9	Задачи на концентрацию смеси и сплавы                                        3ч.
10.	Итоговое задание (тестирование )                                                     1ч.

Примеры содержания теории:

Тема 1. Понятие текстовой задачи.

Исторический обзор. Виды и содержание текстовых задач. Простые примеры решения различных текстовых задач. Рассмотрение различных методов решения текстовых задач.

Тема 2. Текстовые задачи с практическим содержанием на использование арифметической и геометрической прогрессии.

Запись формул геометрической и арифметической прогрессии. Рассмотрение различных видов задач. Подробный разбор методов их решения. Самостоятельное решение задач.

Тема 3. Основные задачи на проценты: находить процент числа, число по его проценту, процентное соотношение.

 Повторение теоретического материала .запись формул нахождения числа по процентам  и процентов числа.

Тема 4.

Понятие прямой и обратной пропорциональности

Тема 5. Задачи на движение

Формулы нахождения пути, скорости, времени, скорости по течению, против течения, условия равномерно ускоренного движения,

Примеры решения задач по данным темам наиболее характеризующие данный теоретический материал:

В статьях, посвященных ЕГЭ по математике, преобладают общие слова: решайте как можно больше задач, будьте уверены в себе, « полюбите математику, потому что она ум в порядок приводит…»

При работе с ребятами при работе необходимо рассказывать не только математические приемы решения , но и возможность рационального использования времени. Здравый смысл подсказывает, что сначала надо выбрать три самые легкие задачи, для решения этих задач не надо обладать математическими способностями. Важно знать секреты, которые, как правило, ученику и рассказывает учитель.
Все задачи, приведенные в этой статье, взяты из Банка заданий ФИПИ. Подобраны они так, чтобы представить все возможные типы заданий с таким номером.

Начинаем с простейшей задачи В1, которую осилит и второклассник:

1. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Решение: Делим 775 на 70, получаем 11 и 5 в остатке. Значит, одиннадцать шлюпок будут полностью загружены пассажирами, а в двенадцатой будет сидеть пять человек. И даже если бы там было два человека или один, все равно ответ — 12 шлюпок. Ответ «одиннадцать, а остальные как-нибудь доплывут» — не принимается, это не кино про «Титаник»- полезно пояснить жизненную ситуацию учащимся.

Ответ:12 шлюпок.

Второй тип задач- на проценты: Вспомним, что 1 — это одна сотая часть от чего-либо.
Что такое дробь (то есть часть) от числа? Когда мы говорим «одна четверть от » — это значит, что дробь умножается на величину . «2 от 60 минут» означают, что надо умножить на 60.

Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь умножить на это число.

Итак, от какой-либо величины;
;
;
.

В задачах (да и в жизни) часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит?
Повышение цены на 10 означает, что к прежней цене прибавили 0,1. Наоборот, скидка на 25 означает, что прежняя цена уменьшилась на 25. Если первоначальная цена равна , то новая цена составит 0,25 0,75.

Задача 2.: Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10?

Решение:

 10 от 40 — это .
Новая цена ручки составит 44 рубля. 900 : 44 получится 20 и 20 в остатке.

Ответ: На 900 рублей можно купить 20 ручек.

Задача 3.. Цена на электрический чайник была повышена на 16 и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Для решения задачи учащимся необходимо напомнить  важное правило: за 100 принимается та величина, с которой мы сравниваем. Цена была повышена на 16 по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это 100, новая цена — 116. Составляем пропорцию:

Решаем пропорцию. Получаем, что .

Ответ: 3000 рублей.

Учащимся напоминаем , что пропорция — это равенство вида . Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть .

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.
Например, из пропорции находим :

Задача 4. Налог на доходы составляет 13 от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Константиновны?

Решение: Марья Константиновна получила 9570 рублей после удержания налога. Следовательно, 13 у нее уже удержали, а выдали ей 87 ее заработной платы. Составляем пропорцию:

Решаем пропорцию:

Ответ: 11000 рублей

Задача 5. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8, а в 2010 году — на 9 по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8, то есть стало равно 40000 1,08 43200 человек.
А в 2010 году число жителей выросло на 9, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать 40000 1,08 1,09 47088 жителей.

Ответ : 47088.

Задача 6.. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но ребятам надо пояснить логику. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за 100, и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

	в понедельник утром	в понедельник вечером	во вторник вечером
Стоимость акций

По условию, акции в итоге подешевели на 4.

Получаем, что

Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

По смыслу задачи, > 0.
Получаем, что 20.

Ответ: 20.

Задача 7. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна

11.

Задача 8.. Четыре рубашки дешевле куртки на 8. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Решение:

Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 96 от цены куртки, то есть
4 0,92 .

Стоимость одной рубашки — в 4 раза меньше:
0,23 ,
а стоимость пяти рубашек:
5 1,15 115/100 115 .
Получили, что пять рубашек на 15 дороже куртки.

Ответ: 15.

Задача 9.. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация А» и «ситуация В».

	муж	жена	дочь	Общий доход
В реальности
Ситуация А	2			1,67( )
Ситуация В				0,96( )

Осталось записать систему уравнений.

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму . Получим:
0,67 ( )
Это значит, что зарплата мужа составляет 67 от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение , упростим и получим, что
0,06( )
Значит, стипендия дочки составляет 6 от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27 общего дохода.

Ответ: 27.

---

Задача 10. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 детей и подростков. Среди взрослых 45 не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Решение:

дети и подростки составляют 15 от 200000 жителей. Значит, их число — это 15 от 200000, то есть надо умножить на 200000. Получим, что городе N 30000 детей и подростков. Следовательно, взрослых 170000.
Среди взрослых 45 не работает. Теперь за 100 мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55 от 170000, то есть 93500.

Ответ: 93500.

Данная задача одна из самых сложных для учащихся из этого типа: сложность этой задачи в том, что «15 процентов» или «45 процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Учащимся надо напомнить правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.

Примеры решения задач на движение:

Задача 1. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 288 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 14 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Решение:
Пусть скорость баржи в первый день - x. Составим таблицу для каждого дня:

Приравняем время, потраченное на дорогу в первый и во второй день, так как он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.

-16 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 9.

Задачи на движение по окружности также оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула . Но есть приемы, без которых у ученика сложнее и дольше путь к правильному ответу , поэтому учителю необходимо  познакомить учащихся с рациональными приемами решения.

Задача 1.. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 минут, то есть часа.

Запишем эти данные в таблицу:

	v	t	S
велосипедист
мотоциклист

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 минут, то есть через часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

	v	t	S
велосипедист
мотоциклист

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна 30 км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему.

Получим, что 20, 80. В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: 80.

Задача 2.. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Решение:

Это, пожалуй, самая сложная задача. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через 4 часа, ровно в 12.00.
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально? За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и (круга в час). Старт — в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние 1, а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа — в третий, и еще через часа — в четвертый.
Значит, если старт был в 8.00, то в четвертый раз стрелки поравняются через часа.

Ответ полностью согласуется с экспериментальным» решением!

 Задачи о нахождении средней скорости.

 Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:
.

Если участков пути было два, то

Задача 1. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за 1 (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно , а время, затраченное на полет, равно . Общее время равно .
Средняя скорость равна км/ч.

Ответ: 38,4.

При решении  задачи на работу и производительность правила те же.

14. Андрей и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Андрей — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение:

Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть — производительность Андрея, — производительность Паши, а — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за 1 — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

	производительность	работа
Андрей		1
Паша		1
Володя		1
Вместе		1

Андрей и Паша покрасили забор за 9 часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
( ) 9 1

Аналогично,
( ) 12 1
( ) 12 1.

Тогда


.

Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
.
.

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за 8 часов.

Ответ: 8.

Теперь в новой демоверсии кроме привычных уже задач на движение и работу, появились задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси. Многие из задач разного типа на проценты мы рассмотрели. Теперь перейдем к задачам на сплавы и смеси, которые встречаются не только в математике, но и в химии. Мы стараемся учащимся помочь преодолеть эти трудности через возможность рассказать о самом простом способе их решения.

Задача1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержал 0,12 5 0,6 литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

5.

Задача 2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой 2. Рисуем картинку.

Получаем: 0,15 0,19 0,34 0,17 2

Ответ: 17.

Задача 3. Виноград содержит 90 влаги, а изюм — 5. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Решение:

Мы должны детям объяснить ,что если им встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог —  они должны знать, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось 90 воды, значит, «сухого вещества» было 10. В изюме 5 воды и 95 «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось 20 кг изюма. Тогда
10 от 95 от 20

Составим уравнение:
0,1 0,95 20
и найдем .

Ответ: 190.

---

Задача 4. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10 никеля, второй — 30 никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25 никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Пусть масса первого сплава равна , а масса второго равна . В результате получили сплав массой 200.

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что 50, 150.

Ответ: 50, 150.

Задача 5.. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна 10. Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на 100, поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

60; 30

Ответ: 60.