Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Рабочая программа дисциплины ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» специальности: 11.02.11 «Сети и связи и системы коммутации»

Рабочая программа дисциплины ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» специальности: 11.02.11 «Сети и связи и системы коммутации»



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


hello_html_17105f0.jpg

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ПЕРМСКОГО КРАЯ

КГАПОУ «ПЕРМСКИЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ИМ. А.С. ПОПОВА»




Разработчик: Уральцев А.В.,

преподаватель I категории

КГАПОУ ПРК





Согласовано:

Зам. директора по УПР ________________П.В. Корнейчук «__»________20__ г.


Рассмотрено на заседании ПЦК ЕН и ОПД Протокол №_______ от «__»________20__ г.






Пермь, 2015 г.

СОДЕРЖАНИЕ



Практическая работа № 7 «Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора-Маклорена»

Практическая работа № 8« Дифференциальные уравнения первого порядка»

37


46

Практическая работа № 9-10« Дифференциальные уравнения второго порядка»

51

ПРЕДИСЛОВИЕ


Методические указания для выполнения практических работ являются частью основной профессиональной образовательной программы КГАПОУ «Пермский радиотехнический колледж им. А.С. Попова» по специальности 11.02.11 «Сети и связи и системы коммутации», в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам очной, заочной и очно-заочной форм обучения.

Методические указания созданы в помощь для работы на занятиях, подготовке к практическим работам, правильного составления отчетов.

Приступая к выполнению практической работы, необходимо внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами третьего поколения (ФГОС-3), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

Все задания к практической работе необходимо выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

Отчет о практической работе необходимо выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения допуска к экзамену по дисциплине «Математика», поэтому в случае отсутствия на занятии по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу необходимо найти время для ее выполнения или пересдачи.



Правила выполнения практических работ


1. Студент должен прийти на практическое занятие подготовленным к выполнению практической работы.

2. После проведения практической работы студент должен представить отчет о проделанной работе.

3. Отчет о проделанной работе следует выполнять в журнале практических работ на листах формата А4 с одной стороны листа.


Оценку по практической работе студент получает, если:

- студентом работа выполнена в полном объеме;

- студент может пояснить выполнение любого этапа работы;

- отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнению работы;

- студент отвечает на контрольные вопросы на удовлетворительную оценку и выше.

Зачет по выполнению практических работ студент получает при условии выполнения всех предусмотренных программой практических работ после сдачи журнала с отчетами по работам и оценкам.


Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.


Обеспеченность занятия:

  1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное

пособие – М.: Высш. школа, 2009.

- Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие – М. Новая волна, 2010 .

- Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М. Высшая школа, 2009.

- Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов – учебник для вузов – М.: Юнити, 2009.

2. Справочная литература:

- Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике - М.: ООО «Издательство Астрель», 2009.

3. Интернет ресурсы:

- ИНТУИТ. Национальный открытый университет. Проект Издательства «Открытые Системы». [Электронный ресурс]- режим доступа: http://www.intuit.ru (2003-2011)

- МАТПРОФИ.РУ. Высшая математика для заочников и не только http://mathprofi.ru/ (2010-2015)

4. Технические средства обучения:

- калькулятор инженерный.



Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

3. Продемонстрировать результаты выполнения предложенных заданий преподавателю.

4. Составить по практической работе отчет.

5. Ответить на контрольные вопросы.

Практическая работа № 1


«Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей»


Учебная цель: научиться вычислять пределы с использованием замечательных пределов, раскрывать неопределённости


Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:


Студент должен

уметь:

-применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- основные методы дифференциального и интегрального исчисления



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.


Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

hello_html_6286dd9e.gif,


Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

hello_html_34f4ed04.gif,

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

hello_html_3700f77.gif,

Теорема 4: Предел отношений двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

hello_html_295e6e43.gif

Замечательные пределы

hello_html_m4cc5403c.gifи hello_html_425917e3.gif




Примеры по выполнению практической работы


Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.

1) Предел многочлена. Вычислить hello_html_104d0ca0.gif

hello_html_m4d3da069.gif

Таким образом, для вычисления предела многочлена f (x) при xx0 достаточно вместо переменной x поставить значение x0 , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е.

hello_html_1b725c2c.gif

2) Предел отношения двух многочленов, hello_html_m49eb1ba4.gif, где x0 – число.

а) Если g (x0) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.

Пример 1. Пусть требуется вычислить:

hello_html_5c05d26e.gif


Здесь f (x) = x3 – 2x – 3 и g (x) = x2 + 3x + 3. Так как g (3) = 32 + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем :

hello_html_m1a84676d.gif

б) Если g (x0) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если ƒ(x0) = A ≠ 0, то

hello_html_m6c5bd3d4.gif

если же ƒ (x0) = 0 – имеем неопределённость вида 0/0. В этом случае предел hello_html_m4ce443fc.gif можно вычислить разложением многочленов ƒ (x) и g (x) на множители или заменой y= x - x0.

Пример 2. Вычислить hello_html_m6ac7feaa.gif.

Здесь ƒ (2) = 22 - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 22 - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем

hello_html_m89c925f.gif

или, заменяя y = x-2 и учитывая, что y → 0 при x → 2, получаем

hello_html_m28110a76.gif

3) Предел отношения многочленов hello_html_m6d460bb0.gif при x → ∞ .

Пример 3. Вычислить hello_html_m6e8ed454.gif.

hello_html_m3a39b044.gif.

Пример 4. Вычислитьhello_html_376f1bd.gif

hello_html_541d7d5d.gif.


Пример 5. Вычислить hello_html_5c449af6.gif

hello_html_m2ac7b556.gif.

4) Пределы некоторых иррациональных функций. Для вычисления hello_html_7384fb51.gif,

где ƒ (x) ≥ 0 и hello_html_3c3e71fb.gif, воспользуемся равенством

hello_html_78677750.gif,

которое принимается нами без доказательства. Например,

hello_html_2ac43b83.gif

Пример 6. Вычислить hello_html_7ec20458.gif

Так как hello_html_488d0c2e.gif, то теорему о пределе частного применить нельзя. Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, получим

hello_html_278f8873.gif

5) Применение замечательных пределов

hello_html_m4cc5403c.gifи hello_html_425917e3.gif


Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов

Пример 7. Вычислить hello_html_m2df1df11.gif

hello_html_3f46f7b0.gif, заменяя 3x = y и учитывая, что y 0

при x 0, получаем:

hello_html_39a9d276.gif

Пример 8. Вычислить hello_html_m74f2b15a.gif


hello_html_10447c8b.gifЗдесь мы воспользовались известным из курса средней школы пределом

hello_html_75c01b32.gif

Пример 9. Вычислить hello_html_m6fbf9149.gif

hello_html_3c6cb22.gif

Заменяя hello_html_m6d6d0b04.gif и учитывая, что y → ∞ при x → ∞, можем написать


hello_html_m17786548.gif


Задания для практического занятия.

Вариант 1


1.Найти предел функции в точке:

а) hello_html_7497346.gif б) hello_html_2783cf58.gif


2.Найти предел функции на бесконечности:

а) hello_html_1352c888.gif б) hello_html_mba7ac0e.gif

3.Найти предел функции:

а) hello_html_m300c2041.gif б) hello_html_m72f3bb76.gif в)hello_html_m217c4eb1.gif


Вариант 2


1.Найти предел функции в точке:

а) hello_html_ade6382.gif б) hello_html_382d9269.gif

2.Найти предел функции на бесконечности:

а) hello_html_7a650246.gif б) hello_html_m151c4e6d.gif

3.Найти предел функции:

а) hello_html_m578ba19e.gif б) hello_html_176d725e.gif в) hello_html_m359595e3.gif


Вариант 3


1.Найти предел функции в точке:

а) hello_html_m41ac6372.gif б) hello_html_m6d78b541.gif

2.Найти предел функции на бесконечности:

а) hello_html_1ff6bfe4.gif б)hello_html_2ac9e266.gif

3.Найти предел функции

а) hello_html_m7efed2f6.gif б) hello_html_m5e9688ef.gif в) hello_html_m4c532fc4.gif


Вариант 4


1.Найти предел функции в точке:

а) hello_html_m719b2634.gif б) hello_html_m76f6023f.gif

2.Найти предел функции на бесконечности:

а) hello_html_52b5ed8b.gif б) hello_html_m619f544.gif

3.Найти предел функции:

а) hello_html_me267bd5.gif б) hello_html_m4afe626e.gif в) hello_html_21c04e21.gif



Контрольные вопросы


1. Перечислите теоремы о пределах.

2. Какие виды неопределенностей могут возникать при вычислении некоторых пределов?

3. Пределы на бесконечности. Как в этом случае можно выйти из неопределенности?

4. Какие замечательные пределы вы знаете?


Практическая работа № 2


«Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производной сложных функций»


Учебная цель: научиться вычислять производные функции на основе определения и применяя формулы производных сложных функций



Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:


Студент должен

уметь

- применять методы дифференциального исчисления;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

-основные методы дифференциального и интегрального исчисления



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Основные правила дифференцирования

а) c’ = 0; б) (и ± υ)’ = и’ ± υ’; в) (иυ)’ = и’υ + иυ’; г ) hello_html_6e8f754a.gif

Дифференцирование сложной функции. Если hello_html_4f6330a6.gif, hello_html_41deae38.gif то hello_html_494f6011.gif- сложная функция. Тогда, hello_html_52e4b9c8.gif или hello_html_1e72d59d.gif

Здесь c = const, u и υ - дифференцируемые функции

Таблица производных основных элементарных функций

hello_html_73ed1738.gif

hello_html_m1c8d6c4a.gif

hello_html_m42907a7a.gif



Примеры по выполнению практической работы


Пример: Найти производные следующих функций :


hello_html_7dbe29c2.gif hello_html_38182cfb.gifhello_html_1b6d3be9.gif


Решение. 1) Запишем данную функцию следующим образом:

hello_html_m3713427a.gif.

Тогда:

hello_html_mbc3664.gif


2) Имеем


hello_html_3a35914b.gif


3) Имеем


hello_html_m5fcf9622.gif


4) Имеем


hello_html_m66c95066.gif;


5) Имеем


hello_html_m1e0b32f6.gif


Задания для практического занятия:


Вариант 1


1. Вычислить производные следующих функций:

1) hello_html_465d919b.gif; 2) hello_html_m43340801.gif; 3) hello_html_m7b46aa78.gif;

4) hello_html_24750325.gif; 5); hello_html_m53d6e514.gif 6) hello_html_1ee16e02.gif;

2. Вычислить hello_html_m2778129c.gif, если hello_html_m530a54ca.gif;

3. Вычислить hello_html_3d29646a.gif, если hello_html_3422e0e9.gif.

Вариант 2


1. Вычислить производные следующих функций:

1) hello_html_m60d4ee90.gif; 2) hello_html_m68130299.gif; 3) hello_html_m64371ef6.gif;

4) hello_html_5054a2dd.gif 5) hello_html_372b0658.gif; 6) hello_html_m279b08e7.gif;

2. Вычислить hello_html_42c6315.gif, если hello_html_me0d7c81.gif;

3. Найти hello_html_m67d2f123.gif, если hello_html_66475fb0.gif.


Вариант 3


1. Вычислить производные следующих функций:

1) hello_html_65b0065c.gif; 2) hello_html_m79cc1a2b.gif; 3) hello_html_3483d402.gif;

4) hello_html_4e0d7257.gif; 5) hello_html_m1862445.gif; 6) hello_html_m4c55e7d3.gif;

2. Вычислить hello_html_m28221fef.gif), если hello_html_27af9c3c.gif;

3. Найти hello_html_m67d2f123.gif, если hello_html_6343be26.gif.


Вариант 4


1. Вычислить производные следующих функций:

1) hello_html_17bb050.gif; 2) hello_html_5748e1d4.gif; 3)hello_html_2e1d5ddb.gif; 4) hello_html_7ebdd7ee.gif

5) hello_html_m4d190c5.gif; 6) hello_html_25f994f.gif;

2. Вычислить hello_html_7302b622.gif, если hello_html_m72b90f44.gif;

3. Найти hello_html_m113798e4.gif, если hello_html_m369101a7.gif.



Контрольные вопросы


1. Дайте определение производной функции в точке.

2. Каков алгоритм вычисления производной функции в точке?

3. Перечислите основные формулы дифференцирования.

4. Назовите основные правила вычисления производных.

Практическая работа № 3


«Решение задач на геометрический смысл производной»


Учебная цель: научиться вычислять угловой коэффициент касательной, угол наклона касательной. Уметь составить уравнение касательной и уравнение нормали.


Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:


Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального исчисления;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

-основные методы дифференциального и интегрального исчисления



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


1. Геометрическое приложение производной.

Производная функции y = y (x) при данном значении аргумента x = x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой x0. (См. рис.):

hello_html_mbdd73c.png

y' (x0) = tg α . (1)

Уравнение касательной к графику функции в точке М0 (x0 ; y0) имеет вид

y - y0 = y’(x0) (x - x0) (2)

Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания М0 (x0 ; y0) перпендикулярно касательной, записывается в вид

hello_html_2383b827.gif(3)

2. Механическое приложение производной.

Производная hello_html_m5351ccbe.gif от функции y = y (x), вычисленная при значении аргумента x = x0, представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой переменной x в точке x = x0.

В частности, если зависимость между пройденным путём s и временем t при прямолинейном движении выражается формулой s = s (t), то скорость движения в любой момент времени t есть hello_html_m1945e9b7.gif, а ускорение (т.е. скорость изменения скорости движения) есть hello_html_m1bdebc6c.gif.


Примеры по выполнению практической работы


Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе

y = 2x2 - 6x + 3 в точке М0 (1 ; -1).

Решение. Найдём производную функции y = 2x2 - 6x + 3 при x = 1. Имеем

y = 4x - 6, откуда y (1) = -2.

Воспользовавшись уравнением (2), получим искомое уравнение касательной:

y - (-1) = -2 (x - 1), или 2x + y - 1 = 0.

Уравнение нормали получим, используя уравнение (3):

hello_html_6091be35.gif, или x - 2y - 3 = 0.


Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к параболе

y = 2x2 - 6x + 3 в точке М0 (1 ; -1).

Решение. Найдём производную функции y = 2x2 - 6x + 3 при x = 1. Имеем

y = 4x - 6, откуда y (1) = -2.

Воспользовавшись уравнением (2), получим искомое уравнение касательной:

y - (-1) = -2 (x - 1), или 2x + y - 1 = 0.

Уравнение нормали получим, используя уравнение (3) :

hello_html_6091be35.gif, или x - 2y - 3 = 0.


Пример 3. Составить уравнение касательной к кривой

hello_html_143a7d29.gif

x = t2 - 1,

y = t2 + t - 3

в точке М (3 ; -1).

Решение. Определим прежде всего значение t, соответствующее точке
М (3;-1). Это значение должно одновременно удовлетворять уравнениям

t2 - 1 = 3 и t2 + t - 3 = -1, т.е. t2 = 4 и t2 + t - 2 = 0.

Корни первого уравнения t1 = -2 и t2 = 2 ; корни второго уравнения t1= -2 и t2 = 1. Таким образом, точке М соответствует значение t = -2.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М равен значению производнойhello_html_m1db236db.gif в этой точке

hello_html_579f5771.gif

Следовательно, искомое уравнение касательной имеет вид:

hello_html_4552fb63.gif, или 3x - 4y - 13 = 0.


Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_m26566a94.gif (s выражается в метрах, t - в секундах). Найти скорость и ускорение через 1 сек после начала движения.

Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени:

hello_html_mfc188b6.gif

Отсюда v (1) = 4 (м/с).

Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени:

hello_html_171c71cf.gif

и, следовательно, а (1) = 6 (м/с2).


Задания для практического занятия:


Вариант 1


1.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = sin x в точкеhello_html_m29234588.gif.

2.Составить уравнение касательной к кривой y = sin 3x в точке (hello_html_m73348caf.gif; 0 ) .

3.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = 2(x – 9)2 + 12, в которой касательная параллельна OX.

4.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 5t + 1. Найти мгновенную

скорость и ускорение точки в момент времени t = 5c.


Вариант 2


1.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = cos x в точке hello_html_m6f81706d.gif.

2.Составить уравнение касательной к кривой y = cos 3x в точке (hello_html_1b38d4b9.gif;0).

3.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = hello_html_4e87be9e.gif (x – 6)2 - 12, в которой касательная параллельна OX.

4.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 4t - 5. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 2c


Вариант 3


1hello_html_m3ed1067.gif.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = tg x в точкеhello_html_m19980299.gif.

2.Составить уравнение касательной к кривой y = sin 2x в точке (hello_html_1b38d4b9.gif ;hello_html_6c179b17.gif).

3.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = ln 3x - x, в которой касательная параллельна OX.

4.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 4t2 + 3t + 2. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 3c.


Вариант 4


1.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = ctgx в точке hello_html_m6f81706d.gif.

2.Составить уравнение касательной к кривой y = cos 2x в точке (hello_html_34274f8f.gif; hello_html_6c179b17.gif).

3.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) =6(x – 1)2 + 5, в которой касательная параллельна OX.

4.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t2 + 8t + 10. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 1c.



Контрольные вопросы


1. В чем заключается геометрический смысл производной?

2. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой.

3. В чем заключается физический смысл производной первого порядка?

4. В чем заключается физический смысл производной второго порядка?

Практическая работа № 4


«Вычисление неопределенных интегралов»


Учебная цель: научиться вычислять неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования и способом подстановки.


Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:


Студент должен

уметь

- применять методы интегрального исчисления;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

-основные методы дифференциального и интегрального исчисления



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

1. Неопределенный интеграл

Определение: Совокупность всех первообразных функций F(x) + c для функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается:

f (x) dx

Таким образом,

f (x) dx = F(x) + c,

где f(x) dx называется подынтегральным выражением, а c-произвольной постоянной интегрирования.

Например:2xdx = x2 + c, так как (x2 + c)= 2x.

Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.


2. Метод непосредственного интегрирования.

Под непосредственным интегрированием понимают способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводятся к одному или нескольким табличным интегралам.


Свойства неопределённого интеграла

1) d f(x) dx= f(x) dx

2) ∫ dF (x) =F(x) + c

3) ∫ a ∙ f(x) dx=af(x) dx

4) [f1 (x) + f2 (x) – f3 (x)] dx = f1 (x) dx + f2 (x) dx - f3 (x) dx


Формулы интегрирования

hello_html_m6f04bc6a.png



3. Интегрирование методом замены переменной интегрирования


Замена переменной производится с помощью подстановки:


t = ψ (x), где tновая переменная. В этом случае формула замены переменной

f [ψ(x)]ψ’(x) dx = f(t) dt.

В полученном после интегрирования в правой части выражения надо перейти снова к аргументу x:


Примеры по выполнению практической работы


  1. ( 5x4- 4x3+ 3x2- 1) dx=5x4 dx - 4∫ x3 dx + 3x4 dx - dx = x5x4 + x3x + C

Проверка:

d (x5x4 + x3x + C) = (5x4 – 4x3 + 3x2 – 1) dx

2) hello_html_m23a6256c.png

Проверка:

hello_html_m6c69d16a.gif

3)∫ (1 + x)5 dx

Положим 1+x = z

Продифференцируем это неравенство:

d (1 + x) = dz

dx = dz

Заменим в интеграле:

hello_html_m72095a39.gif

4)hello_html_368db7a4.gif

hello_html_m32c2a748.gif


Задания для практического занятия:


Вариант 1


  1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) hello_html_m34cb50a4.gif б) hello_html_3df51e73.gif в) hello_html_772bbe0d.gif

г)hello_html_24fb2e0.gif д) hello_html_3b2fc0b.gif


  1. Методом подстановки вычислить:

а) hello_html_m203257dd.gif б)hello_html_ca080f5.gif в)hello_html_5169e3d4.gif г) hello_html_5e45f133.gif д) hello_html_m78619a43.gif


Вариант 2


  1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) hello_html_m5312dab.gif б) hello_html_2e1ed27d.gif в) hello_html_4e75d81c.gif

г) hello_html_7af1612e.gif д) hello_html_m4ab9829a.gif


  1. Методом подстановки вычислить:

а) hello_html_m3fa45399.gif б)hello_html_m3233f5b2.gif в)hello_html_mb7beb8.gif г) hello_html_m43dc85c0.gif д) hello_html_61edaa01.gif


Вариант 3


  1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) hello_html_m1f3c1dcd.gif б) hello_html_7d9a9f86.gif в) hello_html_m52365c97.gif

г)hello_html_3509ef08.gif д) hello_html_m25eb61ee.gif


  1. Методом подстановки вычислить:

а) hello_html_m46ff5748.gif б)hello_html_m4e822bdd.gif в)hello_html_40327f8a.gif г) hello_html_4d54c14c.gif д) hello_html_m27dec05d.gif


Вариант 4


  1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) hello_html_5c3b47ac.gif б) hello_html_m7d94c81c.gif в) hello_html_m52acc47b.gif

г)hello_html_m4444c690.gif д) hello_html_706d4d3b.gif


  1. Методом подстановки вычислить:

а) hello_html_2f3fd3da.gif б)hello_html_2415418c.gif в)hello_html_203330d0.gif г) hello_html_m9fb66c1.gif д) hello_html_5caf1513.gif

Контрольные вопросы


1. Дайте определение первообразной. Сформулируйте теорему.

2.Дайте определение неопределенного интеграла.

3.Какие основные формулы интегрирования вы знаете?

4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

5.С каким способом интегрирования вы еще знакомы и в чем его суть?

Практическая работа № 5


«Вычисление определенных интегралов»


Учебная цель: научиться вычислять определенный интеграл методом непосредственного интегрирования и способом подстановки.


Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:


Студент должен

уметь

- применять методы интегрального исчисления;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа

-основные методы дифференциального и интегрального исчисления



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

1. Определённый интеграл и его геометрический смысл.


Приращение F (b) – F (a) любой из первообразных функций

F(x)+ C при изменении аргумента от x = a до x = b называется определённым интегралом от a до b функции f (x) и обозначается:


hello_html_4504ef6f.gif.

Числа a и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним. Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а переменная x – переменной интегрирования.

Таким образом, по определению


hello_html_m78eae7ad.gif.


Данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Если интегрируемая на отрезке [a;b] функция f (x) неотрицательна, то определённый интеграл: hello_html_4504ef6f.gif

численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b :

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_554f09b8.png


2. Свойства определённого интеграла.



  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если

A = const. то


hello_html_7eb99b45.gif


  1. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.


hello_html_m11cfd1dc.gif


  1. Если a<c<b, то

hello_html_75700970.gif


  1. Если функция f (x) неотрицательная на отрезке [a;b], где a<b, то

hello_html_m14263006.gif


  1. Если f (x)≥ g (x) для всех x € [a;b], где a<b, то


hello_html_26754f1d.gif


  1. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a;b], где a<b, то

hello_html_m365f3246.gif


7. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка hello_html_m3a61f9cd.gif такая, что


hello_html_m48f3990d.gif

Примеры по выполнению практической работы


Пример 1: Вычислить hello_html_m50829a5b.gif.

hello_html_m2b8511ed.png

Пример 2: Вычислить hello_html_m3774d2d2.gif

hello_html_46637aca.gif


Пример 3: Вычислить hello_html_327744ad.gif:

hello_html_m18d6615e.gif


Пример 4: Вычислить: hello_html_m600534c7.gif:

hello_html_m13b5e107.gifhello_html_m3a0b0f92.gif.


hello_html_1f67f765.png

Задания для практического занятия:


Вариант 1


  1. Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие определенные интегралы:

1) hello_html_m6f5f52aa.gif 2) hello_html_m6a24f337.gif

  1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

3) hello_html_m3ed2d88a.gif 4) hello_html_68965dee.gif 5) hello_html_m1c378678.gif


Вариант 2


  1. Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие определенные интегралы:

1) hello_html_m12e990d6.gif 2) hello_html_51f8c589.gif

  1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

3) hello_html_m5f7e2fef.gif 4) hello_html_379d327e.gif 5) hello_html_m571a891a.gif

Вариант 3


  1. Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие определенные интегралы:

1) hello_html_m36b2c80b.gif 2) hello_html_598d5c2d.gif

  1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

3) hello_html_1df6798f.gif 4) hello_html_m4b102c85.gif 5) hello_html_m6601fdeb.gif


Вариант 4


  1. Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие определенные интегралы:

1) hello_html_3a2f73e5.gif 2) hello_html_6c69467e.gif


  1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

3) hello_html_m39538ebd.gif 4) hello_html_m198ac95f.gif 5) hello_html_m3f3b0513.gif


Контрольные вопросы


1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

2.Запишите формулу Ньютона-Лейбница

3.Какие основные свойства определенного интеграла вы знаете?

4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

5.С каким способом интегрирования вы еще знакомы и в чем его суть?

Практическая работа № 6


«Числовые ряды»


Учебная цель: научиться исследовать числовые ряды на сходимость.


Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-применять методы дифференциального и интегрального исчисления

знать:

- основные понятия и методы математического анализа.

-основные методы дифференциального и интегрального исчисления


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Числовым рядом называется выражение вида

hello_html_m6ff39174.gif

где числа hello_html_3f3c3c5a.gif называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m6c893e33.gif


при n→ ∞ имеет конечный предел:hello_html_m7d7e62de.gif Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если hello_html_m37ef6d35.gif не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.


Пример 1. Найти сумму ряда.

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m170aa0be.gif.

Решение. По определению частичной суммы ряда имеем


hello_html_m4d319217.gif

Таким образом, получаем последовательность частичных сумм:hello_html_m61679b91.gif общий член который равен hello_html_1de2eff6.gif. hello_html_m345d7f6.gif

Это означает, что ряд сходится и сумма его равна единице.


1.Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член hello_html_56850650.gif при неограниченном увеличении номера hello_html_7382c650.gif стремится к нулю: hello_html_m62672c41.gif - это необходимый признак сходимости ряда.

Если же hello_html_m256ebe4d.gif то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

1.Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда

hello_html_m71690b6f.gif(1)

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда

hello_html_m63c8154.gif(2)

то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда(2).

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрическая прогрессия.

hello_html_5d87f05.gif

которая сходится при hello_html_5dea67c6.gif и расходится при hello_html_10f57b63.gif

Гармонический ряд

hello_html_m7172bc36.gif

является расходящимся рядом.


2.Признак Даламбера. Если для ряда (1) существует предел

hello_html_m67977f59.gif

то при hello_html_2a39180.gif ряд сходится, hello_html_5040fa3b.gif - расходится (при hello_html_32f22cc7.gif вопрос о сходимости ряда остается открытым).


3. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.


Знакочередующимся рядом называется ряд вида


hello_html_m14643381.gifhello_html_m53d4ecad.gif(1)

где hello_html_31790276.gif положительные числа.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости.

Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при hello_html_m529e3cfe.gif

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов .Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивать для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, - эта погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда.


Примеры по выполнению практической работы


Пример 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд hello_html_m6d1a70d0.gif расходится.

Решение. Находим

hello_html_4f9d3dba.gif

Таким образом, предел общего члена ряда при hello_html_m75ede278.gif отличен от нуля, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.


Пример 2.Спомощью признака сравнения исследовать на сходимость ряд:

hello_html_1dca79d9.gif

Решение. 1) Сравним данный ряд с рядом


hello_html_m670a7100.gif. (*)

Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессии со знаменателем hello_html_22977701.gif При этом каждый членhello_html_59380fcd.gifисследуемого ряда меньше соответствующего члена hello_html_m3a93ea35.gif ряда (*).Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд сходится.

2)Сравним данный ряд с гармоническим рядом


hello_html_3ebe5c75.gif. (**)

Каждый член hello_html_673d16b1.gifисследуемого ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена hello_html_m17aaa691.gif ряда (**). Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.


Пример 3. С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость ряд:

hello_html_2807445f.gif

Решение. 1)Для того чтобы воспользоваться признаком Даламбера, надо знать (n+1)-й член ряда. Он получается путем подстановки в выражение общего члена ряда hello_html_4bd4ddef.gif вместо n числа hello_html_m5ebee2da.gif. Теперь найдем предел отношения hello_html_49d6fda8.gif- го члена к hello_html_7382c650.gif-му члену при hello_html_m75ede278.gif:

hello_html_725aa224.gif.

Так как hello_html_m2d16227.gif то данный ряд сходится.

2)зная hello_html_3724d087.gif найдем hello_html_m47288319.gifчлен ряда:hello_html_20af05c7.gif

Вычислим

hello_html_133a2f7d.gif

Так как hello_html_77fff21a.gifто ряд расходится.


Пример 4. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

hello_html_m3d9b8e62.gif.

Решение. Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонного убывают:

hello_html_m6de891fc.gif.hello_html_m53d4ecad.gif

и общий член при hello_html_m75ede278.gif стремится к нулю:

hello_html_12ce2eb4.gif

то в силу признака Лейбница ряд сходится.

Задания для практического занятия:

Вариант 1


1.Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

hello_html_1908c9f6.gifhello_html_m53d4ecad.gif

2.Найти формулу общего члена ряда:

hello_html_3828b647.gif

3.Установить расходимость ряда hello_html_m705c2fc0.gif с помощью следствия из необходимого признака.

4.Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

hello_html_m33b5300c.gif

5.Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

hello_html_m31d1104a.gif


Вариант 2


1.Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

hello_html_654a207.gifhello_html_m72b92934.gif

2.Найти формулу общего члена ряда:

hello_html_7b617c83.gifhello_html_4346bbe.gif

3.Установить расходимость ряда hello_html_m16f6148b.gif с помощью следствия из необходимого признака.

4.Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

hello_html_m2c71a566.gifhello_html_3b6629c1.gif

5.Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

а) hello_html_m15193850.gif б) hello_html_2d114447.gif


Вариант 3


1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

hello_html_6adbfc5.gifhello_html_m397e75d8.gif

2. Найти формулу общего члена ряда:

hello_html_7b617c83.gifhello_html_4346bbe.gif

3.Установить расходимость ряда hello_html_m16f6148b.gif с помощью следствия из необходимого признака.

4.Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

hello_html_a10b146.gifhello_html_f8c391.gif

5.Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

hello_html_m31d1104a.gif


Вариант 4


1.Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

hello_html_3401ea0f.gifhello_html_4626532d.gif

2.Найти формулу общего члена ряда:

hello_html_af1a12d.gif

hello_html_m7c084c95.gif

3.Установить расходимость ряда hello_html_7111131e.gif с помощью следствия из необходимого признака.

4.Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

hello_html_a10b146.gifhello_html_f8c391.gif

5.Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:


а) hello_html_m2b415163.gif б)hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7b33f7ad.gif


Контрольные вопросы


1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

2.Запишите формулу Ньютона-Лейбница

3.Какие основные свойства определенного интеграла вы знаете?

4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

5.С каким способом интегрирования вы еще знакомы и в чем его суть?

Практическая работа № 7


«Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора-Маклорена»


Учебная цель: научиться исследовать степенные ряды на сходимость и раскладывать функции в ряд Маклорена


Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:


Студент должен

уметь

-применять методы дифференциального и интегрального исчисления

знать:

- основные понятия и методы математического анализа.

-основные методы дифференциального и интегрального исчисления



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

hello_html_m53d4ecad.gif

Ряды членами которого являются функции от x, называется функциональным. При одних значениях х ряд может сходиться, а при других – расходиться.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_a4d3345.gif(x)+hello_html_5a97d938.gif(x)+...+hello_html_m3ee6c61.gif(X)+...=hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_mf912ab6.gifhello_html_m3ee6c61.gif(x), (1)

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке hello_html_m29810906.gif, если при hello_html_1017e5b2.gifон обращается в сходящийся числовой ряд, если же при hello_html_1017e5b2.gifполучается расходящийся числовой ряд, то ряд (1) называется расходящимся в точке hello_html_1017e5b2.gif.

Совокупность значений х, при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Из всех функциональных рядов наиболее распространенными на практике являются степенные ряды вида

hello_html_84e4cde.gif(2)

или более общего вида

hello_html_m4205510e.gif(3)

где постоянные hello_html_m75dc905.gifназывается коэффициентами ряда.

Областью сходимости любого степенного ряда вида (2) служит промежуток (– R; R) числовой оси, симметрично точке х=0, дополненный, быть может, его концами. Этот промежуток, называемый промежутком сходимости, обладает тем свойством, что при всех | x | < R ряд сходится, притом абсолютно, а при всех | x | > R – расходится. На концах промежутка сходимости, т. е. в точках х = - R и х = R, возможна как сходимость, так и расходимость степенного ряда.

Для нахождения области сходимости степенного ряда (2), применяется признак Даламбера к ряду, членами которого служат абсолютные величины членов рассматриваемого степенного ряда, а затем исследуется сходимость ряда на концах промежутка сходимости.

Разложение элементарных функций в степенные ряды


Рядом Тейлора для f(x) называются степенной ряд вида

hello_html_3ee01f1d.gif. (1)

Если а = 0, то получается ряд

hello_html_m1492265.gif. (2)

который называется рядом Маклорена.

При представлении элементарной функции в виде суммы ряда Тейлора обычно поступают следующим образом: вычисляют последовательные производные данной функции в точке х = а ,а затем, пользуясь (1), составляют для нее ряд Тейлора и определяют промежуток сходимости полученного ряда. В этом промежутке ряд Тейлора сходится к порождающей его функции f(x), если только все значения hello_html_63a67430.gif получается непосредственной подстановкой значения х = а в выражения hello_html_m54d1ac13.gif.

Применяя указанный способ, можно найти разложение в ряд Маклорена для следующих функций:

hello_html_m69a8e92b.gif(3)

hello_html_m78c2508e.gif(4)

hello_html_7d6d52a7.gif(5)

hello_html_mcb3b3bf.gif(6)

hello_html_m3a253786.gif(7)

hello_html_m6952ec6d.gif(8)

Помимо приведенного выше способа, можно получить разложения функций в ряд Тейлора, исходя из известных разложений, например, разложений

(3)-(8). При этом возможно использование следующих действий над степенными рядами внутри их промежутков сходимости:

1)два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения многочленов);

2)степенной ряд можно почленно умножать на общий множитель;

3)степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то полученное в результате указанных действий разложение будет искомым.


Примеры по выполнению практической работы


Пример 1: Найти области сходимости степенных рядов:

а) hello_html_m40fee5a9.gif


б) hello_html_49b16287.gif


в) hello_html_2d3ff2c8.gif

Решение . а) Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:


hello_html_5a30587c.gif.

Согласно признаку Даламбера полученный знакоположительный ряд сходится (абсолютно) при тех значениях х, для которых hello_html_407d2777.gif. Здесь hello_html_m598980e1.gif,

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_1a675fd5.gif.Отсюда


hello_html_m4904761a.gif

Определим, при каких значениях х этот предел l будет меньше единицы. Для этого решим неравенство hello_html_22d3c79.gif , или |x+1| < 2, откуда -3 < x < 1.Таким образом, первоначальный ряд сходится (абсолютно) в промежутке( -3, 1) - это и есть промежуток сходимости данного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка сходимости. При

х = - 3 получаем числовой ряд


hello_html_74065d66.gif.

Это – гармонический ряд, который, как известно, расходится.

При х=1 получаем числовой знакочередующийся ряд


hello_html_1370ca77.gif,

который по признаку Лейбница сходится (условно).

Итак, область сходимости данного ряда – полуоткрытый промежуток hello_html_1635cd6b.gif


б) Здесь hello_html_1353ecc3.gif Отсюда


hello_html_ba2f3c4.gif

т.е. hello_html_md3d13d7.gif

Таким образом, согласно признаку Даламбера ряд сходится только в точке

х = 0.

в) Имеем hello_html_58ba745a.gif Отсюда



hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m18f70206.gif

Следовательно, при любом х по признаку Даламбера данный ряд абсолютно сходится. Область сходимости рассматриваемого ряда есть вся числовая ось.


Пример 2. разложите в ряд Тейлора по степеням х – 2 функцию hello_html_3c53ebf7.gif

Решение. Вычислим значения данной функции и ее последовательных производных при x=2:


hello_html_42fd7b30.gifhello_html_14f70d9e.gif

……………………………….

hello_html_e3902a7.gif

………………………………….

Подставляя найденные значения и общее выражение ряда Тейлора для производной функции, получим

hello_html_2d5224b2.gif

Это и есть разложение ряд Тейлора по степеням х – 2 для функции hello_html_3c53ebf7.gif Полученный ряд сходится к порождающей его функции hello_html_241157bc.gifпри любом значении х.

Заметим, что искомое разложение можно получить также следующим образом. В разложение (3) заменим х на 5х; тем самым получим ряд Маклорена для функцииhello_html_m22874de6.gif. (*)

Представив теперь функцию hello_html_40c070dd.gif в виде hello_html_1632b369.gifи подставляя в соотношение

(*) х - 2 вместо х, приходим к разложению

hello_html_4321032f.gif

Пример 3. разложить в ряд Маклорена функцию hello_html_m1b1e073a.gif

hello_html_m53d4ecad.gifРешение. Заменяя в разложении (8) х на – 2х, получим

hello_html_m22d9efb0.gif,

или hello_html_5cad0495.gif .

Разложение (8) справедливо в промежутке hello_html_3c6edc28.gifа искомое получается в результате замены х на – 2 х. Следовательно, для нахождения промежутка сходимости полученного ряда нужно решить неравенство hello_html_4fa7178d.gifhello_html_798323e2.gif

Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию hello_html_6e30ecbb.gif

Решение. По известной тригонометрической формуле имеем

hello_html_4918a5b3.gif

Разложить в ряд Маклорена функцию cos2x, заменяя в разложении (5) х на 2х:


hello_html_m10aef317.gif

или


hello_html_m741dc023.gif(*)

Разложение (5) справедливо при любом х, поэтому ряд Маклорена для cos 2x сходится к порождающей его функции также на всей числовой оси.

Для того чтобы получить разложение в ряд Маклорена функции hello_html_ma6d604a.gifcos2x,

умножим все члены ряда (*) на ½:

hello_html_m42b4f9c.gif.

Тогда

hello_html_16b1d4e2.gif.

Это и есть разложение в ряд Маклорена функцииhello_html_6e30ecbb.gifОчевидно, что оно справедливо при любом х.


Пример 5. Приложение рядов к приближенным вычислениям.

Вычислить hello_html_25a622db.gif, ограничиваясь первыми двумя членами ряда Маклорена для sin x, и оценить получающуюся при этом погрешность.

Решение. Так как разложение (4) справедливо при любом х, то, в частности, при hello_html_22619ee.gif имеем

hello_html_942cac2.gif.

Полученный ряд - знакочередующийся. Ограничиваясь двумя членами этого ряда, т. е. считая hello_html_m64a58e8c.gif равным их сумме, мы тем самым допускаем ошибку, не превосходящую первого отбрасываемого члена hello_html_m4c87e3c4.gif.Так как hello_html_m4c87e3c4.gif<0,0001, то с точностью до 0,0001 получаем

hello_html_m37edb8ab.gif.


Пример 6. Вычислить hello_html_m8ba02a7.gif с точностью до 0,01.

Решение. Пользуясь разложением (3) , при х=2 получим

hello_html_71c96a1d.gif.

Остается решить вопрос о том, сколько членов данного ряда надо взять, чтобы получить значение hello_html_m8ba02a7.gif с требуемой точностью. Пусть искомое число членов равно hello_html_m3dbce1f6.gif. Это означает, что ошибка hello_html_7f376f93.gif, которую мы допускаем, заменяя сумму ряда его hello_html_5b49fb7b.gif частичной суммой, равна сумме членов ряда, начиная с hello_html_m5430f9a1.gif-го:

hello_html_m7b46a5d0.gif


Если заменить каждое из чиселhello_html_28990f80.gif числом hello_html_99b2c08.gif, то знаменатели дробей уменьшается, а сами дроби, следовательно, увеличиваются. Поэтому


hello_html_5ae31e46.gif

Выражение, стоящие в квадратной скобке, есть сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем hello_html_1f8cc3d7.gif и следовательно, равно

hello_html_m5bdaa985.gif

Таким образом,

hello_html_m4eae62f8.gif

Но, с другой стороны, ошибка hello_html_7f376f93.gif не должна превосходить 0,01:hello_html_m784b795d.gif

Решая методом подбора неравенство

hello_html_2533dbad.gif

получим hello_html_1375f35f.gif

Итак, для достижения требуемой точности надо взять 8 членов ряда:

hello_html_370edfbf.gif

Пример 7. Вычислить hello_html_1ae4b03c.gif с точностью до 0.01.

Решение. Данный определенный интеграл можно вычислить только приближенно.

Для этого разложим подынтегральную функцию вряд Тейлора:

hello_html_m11c5daf7.gif.


Отсюда

hello_html_m2f2ec09.gif

здесь мы ограничились двумя первыми этого знакопеременного ряда,

так как третий член 1/(5!5) меньше 0,01.


Задания для практического занятия:


Вариант 1


1.Найти область сходимости заданного степенного ряда.

hello_html_3bf64178.gif

2. Разложить в ряд Маклорена

hello_html_m91ff315.gif

  1. Вычислитьhello_html_m466cd32e.gif с точностью до 0,0001


Вариант 2


1.Найти область сходимости заданного степенного ряда

hello_html_60d13c51.gif

2. Разложить в ряд Маклорена

hello_html_59076dad.gif

3. Вычислить hello_html_2b6f8abc.gif с точностью до 0,001


Вариант 3


1.Найти область сходимости заданного степенного ряда

hello_html_m6f56b0de.gif

2.Разложить в ряд Маклорена

hello_html_m510fef20.gif

3.Вычислитьhello_html_m466cd32e.gif с точностью до 0,0001


Вариант 4


1.Найти область сходимости заданного степенного ряда

hello_html_3714a140.gif

2.Разложить в ряд Маклорена

hello_html_3aa224b.gif

3.Вычислить

hello_html_m500ea246.gifс точностью до 0,0001

Контрольные вопросы


1.Какие ряды называются функциональными рядами?

2.Какой признак применяют при исследовании степенных рядов на сходимость?

3.Выведите формулу Маклорена.



Практическая работа № 8


« Дифференциальные уравнения первого порядка»


Учебная цель: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.


Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:


Студент должен

уметь

-применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

-решать дифференциальные уравнения

знать:

- основные понятия и методы математического анализа.

- основные методы дифференциального и интегрального исчисления


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

hello_html_m53d4ecad.gif

  1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка. Общее и частное решение.


Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

F (x, y, y ) = 0. (1)

т.е. содержит независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её производную у(х).

Разрешая уравнение (1), если это возможно, относительно производной у получим

у = f (х,у). (2)

Иногда уравнения (1), (2) записывают в дифференциалах:

P(х, у) dx + Q(x, y) dy = 0. (3)

Дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений.

Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения называется его частным решением.

Для многих дифференциальных уравнений первого порядка общее решение можно задать формулой вида:

y = y(x, C), (4)

где С - произвольная постоянная такая, что при любом С функция (4) является частным решением дифференциального уравнения. С геометрической точки зрения совокупность всех решений дифференциального уравнения представляет собой семейство кривых, называемых интегральными кривыми, а каждое частное решение представляет собой отдельную интегральную кривую.

Иногда не удаётся получить решения дифференциального уравнения в явной форме, т.е в виде у = у(х, С), а получают их в неявной форме, т.е. решение задаётся формулой вида:

Ф (y, x, C) = 0 (5)

Выражение типа Ф (х, у, С) = 0 в этом случае называют интегралом (частным, общим) дифференциального уравнения.


2. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.

В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение у = у(х) уравнения

у= f (х, у), удовлетворяющее начальному условию y(xhello_html_5a2706e8.gif) = yhello_html_5a2706e8.gifили в другой записи hello_html_m2bb41ea2.gif, где hello_html_m7de6a19e.gif- заданные числа. Задача Коши кратко записывается так:


уhello_html_6c75df44.gif= f (x, y); (6) hello_html_m53d4ecad.gif

у = уhello_html_5a2706e8.gif при х=хhello_html_5a2706e8.gif.

Геометрически решение, удовлетворяющее начальному условию

у (хhello_html_5a2706e8.gif)= уhello_html_5a2706e8.gif, представляет интегральную кривую, проходящую через данную точку hello_html_5a2706e8.gif; уhello_html_5a2706e8.gif).


3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение (2) называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид:

hello_html_m20952636.gif(7)


В предположении, что hello_html_m29beda0c.gif, уравнение с разделяющимися переменными (7) можно переписать в виде (разделить переменные):

hello_html_47a242c0.gif(8)

Уравнение вида (8) называется уравнением с разделёнными переменными.

Теорема 1. Если существуют интегралы hello_html_25da23fd.gif и hello_html_m6eed8030.gif, то общий интеграл уравнения с разделёнными переменными (8) задаётся уравнением

hello_html_7fc42ddd.gif(9)

где hello_html_m5231c55f.gif и hello_html_m2ad0a34.gif - некоторые первообразные соответственно функций hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_72da8240.gif и hello_html_m190e4e11.gif.

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом:

  1. разделить переменные (с учётом условий, когда это можно делать);

  2. проинтегрировать почленно полученное уравнение с разделёнными переменными;

  3. найти его общий интеграл;

  4. выяснить, имеет ли уравнение (5) решения, не получающиеся из общего интеграла;

  5. найти частный интеграл (или решение), удовлетворяющий начальным условиям (в случае задачи Коши).


Примеры по выполнению практической работы


Пример: Найти частное решение уравнения:

hello_html_511d6877.gif2уу = 1 – 3х²;

уhello_html_5a2706e8.gif = 3 при хhello_html_5a2706e8.gif = 0

Это уравнение с разделяющимися переменными. Представим его в дифференциалах. Учитывая, что hello_html_678e4350.gif

hello_html_310e99db.gif

Разделим переменные:

hello_html_m77401fd7.gif

Интегрируя обе части последнего равенства, найдём

hello_html_m22f72815.gif

т.е. у²=х-х³+С

Подставив начальные значения хhello_html_5a2706e8.gif=1, уhello_html_5a2706e8.gif=3, найдём С.

9=1-1+С, т.е. С=9

Следовательно, искомый частный интеграл будет у²=х-х³+9, или

х³+y² – x-9=0


Задания для практического занятия:


Вариант 1


1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

а) hello_html_m3fcae2b3.gif;

б) hello_html_m7177ff73.gif;

2. Решить задачу Коши (найти частные решения дифференциальных

уравнений):

а)hello_html_m19445ac7.gif

б) hello_html_md451859.gif

Вариант 2


1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

а) hello_html_44e3c3ec.gif;

б) hello_html_2db55752.gif

2. Решить задачу Коши (найти частное решение дифференциальных уравнений):

а) hello_html_m2302bdcb.gif

б) hello_html_5d87292a.gif


Вариант 3


1. Найти общее решение дифференциальных уравнений

а) hello_html_7427fd55.gif;

б) hello_html_m65a8d8c7.gif;

2. Решить задачу Коши (найти частное решение дифференциальных уравнений):

а) hello_html_6c0a49a7.gif

б) hello_html_55b6dcbf.gif


Вариант 4


1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

а) hello_html_57f2c5ff.gif;

б) hello_html_m647ac9f.gif;

2. Решить задачу Коши (найти частное решение дифференциальных уравнений):

а) hello_html_m42254a1a.gif

б) hello_html_m7228f55e.gif



Контрольные вопросы


1.Дать определение дифференциального уравнения.

2.От чего зависит порядок дифференциального уравнения?

3.Назовите алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

4.В чем заключается задача Коши?

Практическая работа № 9-10


« Дифференциальные уравнения второго порядка»


Учебная цель: научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка.


Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:


Студент должен

уметь

-применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

-решать дифференциальные уравнения

знать:

- основные понятия и методы математического анализа.

- основные методы дифференциального и интегрального исчисления



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


1.Дифференциальные уравнения второго порядка


Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде:


hello_html_23759874.gif(1)


или, если это возможно, в разрешённом относительно у'' виде


hello_html_e6358a9.gif. (2)


Определение 1. Говорят, что формула hello_html_5fd7323.gif представляет общее решение дифференциального уравнения второго порядка (1) или (2), если для любых значений hello_html_maa1bcc1.gif и hello_html_3b901fba.gifпостоянных hello_html_m1b663497.gif и hello_html_357f0bb5.gifфункция hello_html_26672647.gifявляется решением данного уравнения, и любое его частное решение может быть получено из формулы hello_html_42fb4ebd.gif при некоторых значениях hello_html_m778766.gif и hello_html_783b532e.gif.

2. Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка.

Для дифференциальных уравнений второго порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение у = y(x) уравнения hello_html_m53eaee20.gif удовлетворяющее начальным условиям hello_html_14e817c7.gifhello_html_m356cef46.gif или, в другой записи,

hello_html_427d2567.gif(3)


где hello_html_m54b9627d.gif - заданные числа. Геометрически общее решение уравнения (1) или (2) представляет собой семейство интегральных кривых, а решение, удовлетворяющее начальным условиям hello_html_m4dc8bc17.gif, hello_html_m356cef46.gif, представляет интегральную кривую, проходящую через данную точку hello_html_5fc20f89.gif;hello_html_4f64dfff.gif в данном направлении – угловой коэффициент касательной к интегральной кривой (графику решения y = y(x)), проведённой в точке hello_html_5fc20f89.gif;hello_html_4f64dfff.gifравен данному числу hello_html_m4f7a8461.gif.

Простейшее уравнение второго порядка имеет вид


hello_html_5d28b7b7.gif. (4)

Уравнения этого вида решаются двукратным интегрированием,

полагаем

hello_html_77d1924a.gif,

тогда

hello_html_m17cde22a.gif

и уравнение (4) принимает вид

hello_html_m65aa1eea.gif, или dp=f(x) dx.

Отсюда

hello_html_1a7d0f75.gif


где F(x) – одна из первообразных для функции f(x). Так как

р = у',

то


hello_html_4cb6c4a8.gifили hello_html_m47f5b176.gif.


Отсюда, интегрируя ещё раз, находим, как нетрудно проверить, общее решение уравнения (4) (в области, где существуют рассматриваемые интегралы):


hello_html_mbcd58c4.gif



3. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами


Уравнение вида

hello_html_6a823eb4.gif, (1)

где hello_html_4d1870f4.gif - действительные числа hello_html_9077754.gif, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Чтобы решить уравнение (1), нужно решить характеристическое уравнение:

hello_html_4e17fd15.gif(2)

При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая, в зависимости от которых строится общее решение данного дифференциального уравнения (1)


hello_html_77a43866.gif

hello_html_m73912d88.gif

Равные: hello_html_m1830dccc.gif

hello_html_7d8e6778.gif

hello_html_m363c43ae.gif

Комплексно сопряжённые:

hello_html_m59599449.gif

hello_html_2bddbf15.gif

hello_html_m2a881a15.gif


Примеры по выполнению практической работы


Пример 1. Найти общее решение уравнения hello_html_m74607ede.gif

Положим hello_html_77d1924a.gif; тогда hello_html_m17cde22a.gif, и, следовательно,


hello_html_60a2c2a8.gifили hello_html_24edf40d.gif.


Интегрируя это уравнение, находим:


hello_html_757151ec.gif,

или

hello_html_3b66bdd3.gif


Интегрируя второй раз, находим общее решение:

hello_html_65f14081.gif

т.е.

hello_html_662402c.gif

Пример 2. Дана задача Коши:

hello_html_57157176.gif



Решение: Положим hello_html_59c4ff64.gif тогда hello_html_5d753561.gif и получим следующее уравнение:

hello_html_m2765d999.gifили hello_html_m103eb84b.gif

Интегрируя, получим:

hello_html_17c3d6fd.gif.

Так как

hello_html_51b92ae3.gif,

то получим следующее:

hello_html_8c1cf3c.gifили hello_html_713a8cf3.gif.

Интегрируя почленно, получим

hello_html_m2d37c1ab.gif- общее решение.

Наложим начальные условия. Тогда


hello_html_m15b87cea.gif

Отсюда имеем, что

hello_html_6b02b60c.gif.

Значит, частное решение следующее:

hello_html_5055edff.gif

Пример 3. Найти общее решение уравнений:

а)hello_html_3b910f07.gif;

б)hello_html_17ee66a2.gif;

в)hello_html_m1618abd7.gif.

Решение:

а) Составим характеристическое уравнение:

hello_html_1856b75e.gif.

Его корни hello_html_2186acba.gif и hello_html_m27c94af9.gif. Значит, общее решение уравнения имеет вид

hello_html_m26eaa382.gif.

б) Составим характеристическое уравнение:

hello_html_18d2c08c.gif.

Его корни hello_html_m2375f89a.gifhello_html_5d752c6e.gif. Тогда общее решение имеет вид

hello_html_m4e7ce20a.gif.


в) Составим характеристическое уравнение:

hello_html_422bbedf.gif.

Решая его, получим hello_html_m140d5dab.gif и комплексно сопряжённые корни hello_html_m44b8bad1.gif и hello_html_m2496cc4.gif. Тогда его общим решением будет hello_html_m50391a8c.gif

Задания для практического занятия:


Вариант 1

1.Найти общее решение дифференциального уравнения: hello_html_3330e7e0.gif

2.Решить задачу Коши: hello_html_49345fc9.gif

3. Ускорение тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону hello_html_4e92bdde.gif (ускорение - м/с2, время - сек). Начальное положение тела hello_html_47f1781a.gif и начальная скорость hello_html_6f125ecf.gif. Найти закон движения тела и путь, пройденный за 3 секунды;

4. Найти общее дифференциального уравнения: hello_html_m78924067.gif

5 .Решить задачу Коши: hello_html_m41a44edc.gif


6. Решить задачу Коши: hello_html_m3bfe12bf.gif



Вариант 2


1.Найти общее решение дифференциального уравнения: hello_html_47ab2d5b.gif

2.Решить задачу Коши: hello_html_m4491eddc.gif

3. Из семейства интегральных кривых уравнения hello_html_5ab4e2ad.gifвыделить ту, которая в точке(1;1) имеет касательную с угловым коэффициентом, равным 4;

4.Найти общее решение дифференциального уравнения: hello_html_7296666.gif

5.Решить задачу Коши: hello_html_m4d75f25d.gif

6. Решить задачу Коши: hello_html_m2d9aec54.gif


Вариант 3


1.Найти общее решение дифференциального уравнения: hello_html_m28ddf0e5.gif.


2.Решить задачу Коши: hello_html_m51337624.gif

3. Из семейства интегральных кривых уравнения hello_html_m73d8dafe.gif выделить ту, которая в точке (1; 5) имеет касательную с углом наклона к оси ОХ, равным hello_html_m18f465.gif.

4.Найти общее решение дифференциального уравнения: hello_html_m1c11422e.gif.


5.Решить задачу Коши: hello_html_4d8b23e6.gif

6.Решить задачу Коши: hello_html_7f80782b.gif



Вариант 4


1.Найти общее решение дифференциального уравнения:

hello_html_m28d3af68.gif.


2.Решить задачу Коши: hello_html_24d96741.gif

3. Ускорение тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону hello_html_m41ea6099.gif (ускорение - м/с2, время - сек). Найти закон движения тела и путь, пройденный за 5секунд; если через 2 секунды после начала движения hello_html_45823cee.gif ;

4.Найти общее решение дифференциального уравнения: hello_html_32d4991c.gif


5.Решить задачу Коши: hello_html_m157da155.gif

6. Решить задачу Коши: hello_html_m2e57854.gif



Контрольные вопросы


1. Какие уравнения называются простейшими уравнениями второго порядка и каков алгоритм их решения?

2. Какие уравнения называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами и как они решаются?




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 13.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров33
Номер материала ДБ-191410
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх