Равносильность неравенств(Решение ключевых задач)

Урок алгебры (под редакцией А.Г. Мордковича, 2013) в 11 классе по теме "Равносильность неравенств"(базовый уровень)

Урок 2: Решение ключевых задач

Тип урока:  урок обобщения, систематизации и совершенствования знаний.

Оборудования: учебники, блокноты, интерактивная доска, карточки с заданиями.

Цели и задачи урока

Цели :

• Повторить основные понятия темы;
• Проанализировать процесс решения неравенств и обосновать цепочку переходов от исходного неравенства к равносильному;
• Способствовать познавательной активности учащихся при помощи информационных технологий;
• Создавать условия для реализации творческих способностей учащихся.

Задачи:

- Создать условия для повторения, закрепления и углубления знаний , при выполнении заданий, связанных с решением уравнений и неравенств, равносильных системам, при отработке основных методов решения, для развития логического мышления .

- Способствовать развитию познавательных и исследовательских умений учащихся, повышению культуры общения.

- Способствовать развитию у учащихся навыков взаимоконтроля и самоконтроля знаний, навыков самостоятельной работы и самостоятельного выбора вида деятельности.

Ход урока

1. Организационный момент (сообщение темы и цели урока).

 Приветствие, проверка отсутствующих в классе. Проверка выполнения домашнего задания. Как справились с домашним заданием? Что вызвало затруднение?

2. Актуализация знаний учащихся

·       какие неравенства называются равносильными?

·       перечислите основные равносильные преобразования.

·       с какими равносильными преобразованиями мы познакомились на прошлом уроке?

·       преобразования, приводящие к уравнению-следствию.

·       что называют решением системы?

·       что значит равносильность уравнения (неравенства) системам?

3. Закрепление нового материала.

Начнем, с определения равносильных неравенств:

Опр.: Нера­вен­ства  (1) и  (2) на­зы­ва­ют­ся рав­но­силь­ны­ми, если их ре­ше­ния сов­па­да­ют. 

 (Первый пример решаем всем классом на доске, а второе и третье уравнения по вариантам – два  ученика работают у доски) 

При­мер 1.

1. 

2. 

Мно­же­ства ре­ше­ний сов­па­да­ют. Зна­чит:

 Пример 2

1. 

«Ре­ше­ние»:

«Ответ»:  ( – част­ные ре­ше­ния)

Про­бле­ма в умно­же­нии на Он мог быть и от­ри­ца­тель­ным, и по­ло­жи­тель­ным. Надо ме­нять знак.

            Пра­ви­ло: в нера­вен­ствах нель­зя умно­жать на , если его знак не из­ве­стен.

2. 

Ре­ше­ние:

Ответ: (верно)

Пра­виль­ное ре­ше­ние:

3.       

1. 

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1

2. 

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 2

Ответ: 

Пример 3.

            Решение. На сей раз обе части неравенства всегда неотрицательны, так что возведение в квадрат дает неравенство, равносильное исходному на его естественной области определения. Возведение в квадрат дает неравенство: , (8) область определения дает неравенства: (9) и (10).

            Мы не учитываем (10), т.к. если правое, меньшее, подкоренное выражение неотрицательно, то левое и подавно неотрицательно. Стало быть, из неравенства следует такая система:

, возведенное в кв. неравенство и неотрицательность меньшей части.

            Неравенство равносильно системе:

Так же рассмотрим равносильные преобразования неравенств

Неравенство 3x2+3,6x≤0,84  равносильно неравенству  3x2+3,6x−0,84≤0,

0,84 перенесли из правой части неравенства в левую с противоположным знаком;

Неравенство  4x2−14x+12≥0  равносильно неравенству 2x2−7x+6≥0,
  обе части первого неравенства разделили на положительное число 2;

Неравенство  −2x2+7x−6>0 равносильно неравенству 2x2−7x+6<0, 

обе части первого неравенства умножили на отрицательное число −1,

при этом знак неравенства > изменили на противоположный, т.е. <;

Неравенство  (2t2+3)(7t−6)>0  равносильно неравенству  7t−6>0, 
обе части исходного неравенства разделили на выражение 2t2+3,

положительное при любых значениях t, при этом знак исходного неравенства оставили без изменения;

Неравенство 11z+6−2z2−3<0  равносильно неравенству 11z+6>0,
обе части исходного неравенства умножили на выражение −2z2−3
отрицательное при любых значениях z, при этом знак исходного неравенства < изменили на противоположный >.

4. Задания для самостоятельного решения (самостоятельная работа).

1.      ]

2.     

3.     

5. Подведения итогов

Мы рас­смот­ре­ли важ­ное по­ня­тие рав­но­силь­но­сти нера­венств. На сле­ду­ю­щем уроке рас­смот­рим метод ин­тер­ва­лов. Написали самостоятельную работу, результаты которой сообщу на следующей паре.

6. До­маш­нее за­да­ние

1.      Ре­шить нера­вен­ства:
а)
б) 

2.      Ре­шить нера­вен­ства:
a)   ;
б) ;

3.       Ал­геб­ра и на­ча­ла ана­ли­за, Морд­ко­вич А.Г.: № 1745, 1746, 1747.