Разработка урока на тему " Логарифмы"

Тема «Решение логарифмических уравнений»

Цели урока:

·        отработка навыков решения логарифмических уравнений с помощью формул перехода к новому основанию логарифма; формирование умений решать задачи повышенной сложности;

·        развитие логического мышления, умений самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений говорить и слушать;

·        воспитание трудолюбия, аккуратности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

Ход урока.

I.                  Организационный момент (1 мин.).

Цель: формирование мотива, желания работать на уроке.

II.               Актуализация знаний (12 мин.).

Цель: повторение необходимых теоретических сведений по теме, проверка умений решать логарифмические уравнения базового уровня.

Работа проходит в динамических парах – группе из 4-х человек, сидящих за соседними столами. Каждый учащийся получает карточку с общим заданием, выполняет задания, ответы обсуждаются и одним учащимся из группы проверяется правильность ответов с помощью компьютера.

Ответы по карточкам, содержащих теоретические сведения, даются в устной форме. 

Активное участие каждого учащегося будет учитываться при выставлении отметки за работу на уроке (если группа набирает 4 или 5 баллов, каждый участник группы может при необходимости воспользоваться 1 баллом при выставлении окончательной отметки за самостоятельную работу).

Карточки для устного опроса.

КАРТОЧКА 1

1.     Дайте определение логарифма числа.

2.     Вычислите lg 0,01

3.     Представьте в виде логарифма 2³ = 8

КАРТОЧКА 2

1.     Прочитайте основное логарифмическое тождество.

2.     Вычислите  + 2

3.     Вычислите

КАРТОЧКА 3

1.     Прочитайте теорему о логарифме произведения.

2.     Вычислите log₁₂4 + log₁₂3

КАРТОЧКА 4

1.     Прочитайте теорему о логарифме частного.

2.     Вычислите lg 130 – lg 13

КАРТОЧКА 5

1.     Прочитайте теорему о логарифме степени.

2.     Преобразуйте выражение: 2·log₂ 3

КАРТОЧКА 6

1.     Какая функция называется логарифмической?

2.     Найдите область определения функции:

а) у = log₂ (х + 1);         б) у = log₂ (1 – х)

КАРТОЧКА 7

1.     При каком условии логарифмическая функция возрастает?

2.     Сравните: log₅  и log₅

3.     Какие из перечисленных функций являются возрастающими:

у = log_π х;     у = log х;      у = logх

КАРТОЧКА 8

1.     При каком условии логарифмическая функция убывает?

2.     Сравните: log│-2│ и log│-4│

3.     Какие из перечисленных функций являются убывающими:

у = logх;     у = log х;       у = logх

Тестовые задания для работы в группах.

I гр.                                                  Тест

1.     Напишите  равенство,   содержащее   логарифмы,   используя    числа    2,   3 и 8. Выберите правильный ответ из пяти возможных.

2 = log₃8               3 = log₂8               2 = log₈3

3 = log₈2               8 = log₂3

2.     Выразите х из условия 5^х = 27. Выберите правильный ответ из двух возможных.

х = log₂₇5             х = log₅27

3.     Упростите выражение log₉4. Выберите ответ из четырёх вариантов.

log₂3                    log₃2                                   

4.     Упростите выражение 179

5.     Упростите выражение log_0,5 0,25

II гр.                                                          Тест

1.     Упростите выражение log_а (а^d · а^3с)

2.     Вычислите log₁₀ 3 

3.     Упростите выражение log₃ 30 – log₃ 10

4.     Найти приближенное значение выражения log₁₀6, зная, что log₁₀2 ≈ 0,3, log₁₀3 ≈ 0,5

5.     Найти приближенное значение log₁₀ 0,2

III гр.                                                        Тест

1.     Выбрать правильные ответы, решив уравнения

3 = 1                              -11 и 3

log₆ (х² + 8х + 3) = 2                   7

2^х-1 = 64                                      6

log₂ (х + 5) = 5                           -1

log₈ 2^х-3 = 1                                27

2.     Выбрать правильные ответы, решив уравнения

3 log₈ х – 11 = -8                       -1

0,1^2х = 100                                 2

lg²х – lgх² – 8 = 0                    0,01 и 10000

lg (х + 5) = 0,3                           8

3 · 11^х + 37 = 400                    10^0,3 – 5

5.  Решить уравнение lgх = -1

III гр.                                                        Тест

3.     Выбрать правильные ответы, решив уравнения

4 = 1                                  3

log₃ (х + 5) = 4                            7

2^х-2 = 32                                     -1

log₉ 3^х-1 = 1                                76

log₂ (х² + 4х + 7) = 2               -1 и -3

4.     Выбрать правильные ответы, решив уравнения

2 · 13^х + 3 = 341                       7

lg (х + 4) = 0,1                        0,001 и 10000

0,01^х = 100                               -1

2 log₇х – 11 = - 9                     10^0,1 – 4

lg² х – lgх – 12 = 0                     2

5.  Решить уравнение lgх = -1

III.           Фронтальная работа учителя с классом (14 мин.).

Цель: повторение способов решения логарифмических уравнений с помощью логарифмических формул. 

№1. Решить уравнение: 1+2log _х+2 5=log ₅ (x+2)

№2.  №524(г)

Дополнительные задания.

№3. Решить уравнение: 2log ₂ (-x) =1 + log ₂ (x+4)

№4. Решить уравнение: log ₂ (2x – 1) – 2 = log ₂ (x +2) – log ₂ (x + 1)

Индивидуальные задания.

№1. Решить уравнение: 7log ₅ (x² – 8x + 16) – 26 = log ₅ ׀x - 4׀

№2. Найти произведение всех корней уравнения:

        

IV.            Дифференцированная самостоятельная работа (по уровням) (13 мин.).

      Логарифмы открыты в ХVI в. в связи с быстрым развитием астрономии, требовавшей сложных и точных вычислений. Вам предлагается выполнить самостоятельную работу, ответы которой послужат ключом к расшифровке фамилии изобретателя логарифмов. Самостоятельная работа дифференцированная, 3^х-уровневая. Каждый из вас, оценив свои возможности, выбирает соответствующий уровень: I уровень – задание 1⁰ – отметка 3,  2 задания – отметка 4; II уровень – отметка 4; III уровень – отметка 5. Работу  выполняете на отдельных листах в течении 13 минут. По окончании работы запишите получившиеся ответы в тетради, а листы с решениями сдадите для проверки.

Текст самостоятельной работы

1 уровень

Решите уравнения:

1⁰. lg²х – 3 lgх + 2 = 0

2. log₃х + 2 log_х3 = 3

Помни:       1) ОДЗ!                2) log _а х =            3) анализ корней!

Внимание:  задание 1⁰ – отметка 3;  2 задания – отметка 4.

2 уровень

Решите уравнения:

1. log₂х – 2 log_х2 = -1

2. 3 + 2 log_х+1 3 = 2 log₃ (х + 1)

Внимание: 2 задания – отметка 4

3 уровень

Решите уравнения:

1. log_х3 + log₃ х = log3 + log₃ + 0,5

2. log_3х+7 (5х + 3) = 2 – log_5х+3 (3х + 7)

Внимание: 2 задания – отметка 5

V. Проверка самостоятельной работы (2 мин.)

Решения заданий самостоятельной работы проверяются с помощью проектора, учащиеся проставляют себе отметки в тетрадях. Окончательная отметка будет выставлена учителем после проверки решений.

Лист самоконтроля (через проектор)

1 уровень

1⁰. lg² х – 3 lgх + 2 = 0,            ОДЗ: х > 0

     lg х = t,    t² – 3t + 2 = 0,     t₁ = 2,                   t₂ = 1,

                                                lg х = 2,                lg х = 1,

                                                х = 100,                х = 10.

    Ответ: 10; 100

2.  log₃ х + 2 log_х 3 = 3,            ОДЗ: х > 0, х ≠ 1

     log₃ х + = 3,      log₃ х = t,  t ≠ 0, 

     t +  - 3 = 0,    t² – 3t + 2 = 0,       t₁ = 1,                   t₂ = 2,

log₃х = 1,              log₃х = 2,

х = 3                     х = 9.

       Ответ: 3; 9

2 уровень

1. log₂х – 2log_х 2 = -1,         ОДЗ: х > 0, х ≠ 1

    log₂х - + 1 = 0,        log₂х = t, t ≠ 0,

   t -  + 1 = 0,      t² + t – 2 = 0,         t₁=1,           t₂= - 2,

log₂х = 1,    log₂х = -2,

х = 2,          х = .

Ответ: ; 2

2. 3 + 2 log_х+13 = 2 log₃ (х + 1),         ОДЗ:     

    3 + - 2 log₃ (х + 1) = 0,      log₃ (х + 1) = t, t ≠ 0,

    3 + - 2t = 0,    2t² – 3t – 2 = 0,     t₁ = 2,                             t₂ = -,

                                                         log₃ (х + 1) = 2,              log₃ (х + 1) = -,

                                                         х + 1 = 9,                       х + 1 = ,

                                                         х = 8,                             х =  - 1 = .

Ответ: 8;

3 уровень

1.     log_х 3 + log₃ х = log3 + log₃+ 0,5        ОДЗ: х > 0, х ≠ 1

+ log₃ х - - log₃ х + 0,5 = 0,

 log₃ х -  +  = 0,                  log₃ х = t,

t - +  = 0,                        t₁ = -1,                  t₂ = 2,

                                                                  log₃  х = -1,           log₃  х = 2,

х = ,                  х = 9.

Ответ: ; 9

2.     log_3х+7 (5х + 3) = 2 – log_5х+3 (3х + 7)

ОДЗ:                

log_3х+7 (5х + 3) = 2 – ,             log_3х+7 (5х + 3) =t,

t = 2 - ,                t = 1

 log_3х+7 (5х + 3) = 1,            3х + 7 = 5х + 3,    х = 2 -  входит  в ОДЗ.

Ответ: 2

100	10	3	9		2	8
А	Н	Д	Р	О	Е	М	П

10	2		2	9
Н	Е	П	Е	Р

VI. Исторический экскурс (1мин.)

     На экране  портрет  Н. Джона. Ученик озвучивает краткое сообщение.

НЕПЕР, ДЖОН (Napier, John) (1550–1617), шотландский математик и теолог. Родился в 1550 в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга. Сведения о его жизненном пути очень скудны. По-видимому, учился в Эдинбургском университете, но никакой научной степени не получил. В 1593 опубликовал Простое изъяснение всего Откровения Иоанна Богослова (A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John), первое толкование Священного Писания на шотландском языке.

В области математики Непер известен главным образом как изобретатель системы логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической числовыми прогрессиями. В Описании удивительной таблицы логарифмов (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614) он опубликовал первую таблицу логарифмов (ему же принадлежит и сам термин «логарифм»), но не указал, каким способом она вычислена. Объяснение было дано в другом его сочинении, Построение удивительной таблицы логарифмов (Mirifici logarithmorum canonis constructio), вышедшем в 1619, уже после смерти Непера. Таблицы логарифмов, насущно необходимые астрономам, нашли немедленное применение. В 1617 Непер опубликовал еще одну свою работу, Рабдологию (Rabdologia – «счет на палочках»), в которой изложил способ перемножения чисел с помощью особых брусков, получивших впоследствии название «костей Непера». Непер участвовал также в разработке различного рода боевых устройств (зажигательных стекол, артиллерийских орудий и т.д.). Умер Непер в Мерчистон-Касле 4 апреля 1617.

VII.  Итог урока (1 мин.)

VIII. Задание на дом (1 мин.)