Разработка урока "решение неравенств методом интервалов"

Тема: Решение неравенств методом интервалов

Цели:

ü Рассмотреть наиболее удобный и универсальный способ решения неравенств. 

ü Развивать память, внимание и логическое мышление у учащихся

ü Вырабатывать трудолюбие

Ход урока

                              I.            Организационные моменты

Сообщение темы и целей урока

                           II.            Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Решите неравенство 6 - 13х + 6 ≤ 0.

Ответы: 

2. Решите неравенство -25 + 20х - 4 ≥ 0.

Ответы: 

3. Решите неравенство  - 3|х| + 2 ≥ 0.

Ответы: 

Вариант 2

1. Решите неравенство 15 - 34х +15 ≥ 0.

Ответы: 

2. Решите неравенство 9 -12х + 4 ≤ 0.

Ответы: 

3. Решите неравенство  - 5|х| + 6 ≥ 0.

Ответы: 

                       III.            Изучение нового материала

Рассмотрим наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств - метод интервалов. Он с успехом может быть использован при решении всех типов неравенств, изучаемых в школе. Пока мы рассмотрим применение этого способа для целых и рациональных неравенств. Суть метода интервалов будет понятна из следующего примера.

Пример 1

Решим неравенство  + 2х - 3 ≤ 0.

На числовой оси отметим корни уравнения  + 2х - 3 = 0. Это  = - 3 и   = 1. Эти точки разбили числовую ось на три промежутка: х ∈ (-∞; -3); х ∈ [-3; 1] и х ∈ (1;+∞).

При х ∈ (-∞; -3) в многочлене  + 2х - 3 = (х + 3)(х - 1) оба сомножителя отрицательные. Поэтому многочлен  + 2х - 3 > 0 (отмечено знаком «+»), и неравенство не выполнено.

Для х ∈ [-3; 1] множитель (х + 3) становится неотрицательным, множитель (х - 1) по-прежнему отрицательный. Поэтому произведение (х + 3)(х - 1) ≤ 0 (отмечено знаком «-»), и неравенство выполнено. Следовательно, интервал х ∈ [-3; 1] удовлетворяет неравенству.

При х ∈ (1; +∞) сомножители (х + 3) и (х - 1) положительные, произведение (х + 3)(х - 1) > 0 (отмечено знаком «+»), и неравенство не выполнено.

Заметим, что столь детальный анализ знаков при решении квадратных неравенств является излишним. Достаточно определить знак выражения       + 2х - 3 в одной точке, не совпадающей с границами интервалов (например, при х = -10 выражение  + 2х - 3 =  + 2(-10) - 3 = 77 > 0). Кроме того, надо учесть, что при переходе к каждому следующему промежутку знак выражения  + 2х - 3 меняется на противоположный. Поэтому диаграмма знаков, приведенная на рисунке, может быть получена сразу (решение неравенства отмечено штриховкой).

Пример 2

Решим систему неравенств 

Для решения используем аналитический (метод интервалов) и графический способы.

а) Решим сначала первое неравенство  + 4х + 3 ≤ 0. Найдем корни соответствующего уравнения  + 4х + 3 = 0. Это = - 3 и  = -1. Нанесем эти точки на числовую ось, которые разбивают ее на три интервала. Определим знак выражения  + 4х + 3, например, при х = 0:  + 4 · 0 + 3 = 3 > 0. После этого легко нарисовать диаграмму знаков рассматриваемого выражения. Видно, что неравенство выполняется при х ∈ [-3; -1].

Теперь рассмотрим второе неравенство  + 3х + 2 ≥ 0. Корни этого выражения  = -2 и  = -1. Наносим эти точки на числовую ось. Определяем знак выражения  + 3х + 2, например, при х = 5: 52 + 3 · 5 + 2 = 42 > 0. Рисуем диаграмму знаков для этого выражения. Видно, что неравенство выполняется для х ∈ (-∞; -2]U[-1; +∞).

Найдем те значения х, при которых выполнены оба неравенства. Для этого еще раз нанесем решения первого (штриховка сверху) и второго (штриховка снизу) неравенств на числовую ось. Видно, что оба неравенства выполнены для промежутка х ∈ [-3; - 2] ив отдельной точке х = -1.

Итак, решение данной системы неравенств х ∈ [-3; - 2]U{-1}.

б) Построим графики функций  =  + 4х + 3 и  =  + 3х + 2.

Видно, что неравенство  + 4х + 3 ≤ 0 (график  находится не выше оси абсцисс) выполнено для х ∈ [-3; -1]. Неравенство  + 3х + 2 ≥ 0 (график  находится не ниже оси абсцисс) выполнено при х ∈ (-∞;-2]U[-1;+∞). Оба неравенства выполнены для х ∈ [-3; -2]U{-1}.

Рассмотрим более сложные задачи по этой теме.

Пример 3

Решим неравенство |5 - х|(х - 1) + 5 < х.

Решим это неравенство аналитически и графически.

а) Перенесем все члены неравенства в левую часть: |5 - х|(х - 1) + 5 - х < 0 и раскроем знак модуля.

Если 5 - х ≥ 0 (т. е. х ≤ 5), то получаем неравенство (5 - х)(х - 1) + (5 - х) < 0, или (5 - х)(х - 1 + 1) < 0, или (5 - х)х < 0. Решаем это неравенство методом интервалов. Наносим корни соответствующего уравнения:  = 0 и  = 5. Определяем знак выражения (5 - х)х, например, для х = 2: (5 - 2) · 2 = 6 > 0. После этого рисуем диаграмму знаков.

Решением неравенства является х ∈ (-∞; 0)U(5; +∞). Так как рассматривается область х ≤ 5, то решением является промежуток х ∈ (-∞; 0).

Если 5 - х < 0 (т. е. х > 5), то имеем неравенство -(5 - х)(х - 1) + (5 - х) < 0, или (5 – х)(-х + 1 + 1) < 0, или (5 - х)(2 - х) < 0. На числовой оси отмечаем корни соответствующего уравнения:  = 2 и  = 5. Находим знак выражения (5 - х)(2 - х), например, при х = 3: (5 - 3)(2 - 3) = -2 < 0 и рисуем диаграмму знаков.

Решением неравенства будет интервал х ∈ (2; 5). Так как рассматривается область х > 5, то этот промежуток решением данного неравенства не является.

Итак, решение неравенства х ∈ (-∞; 0).

б) Запишем данное неравенство в виде |5 - х|(х - 1) < х - 5. Построим график функции  = |5 - х|(х - 1). Для этого раскроем знак модуля. При х ≤ 5 получаем:  = (5 - х)(х - 1). В этой области построим график такой функции. Для х > 5 имеем:  = -(5 - х)(х - 1). Видно, что эта функция отличается от предыдущей только знаком минус. Поэтому этот график легко получить из предыдущего, если отразить пунктирную часть параболы относительно оси абсцисс зеркально вверх.

Построим также график функции  = х - 5. Теперь необходимо определить, при каких значениях х значение функции  больше значения функции  (т. е. графику находится выше ). Из рисунка видно, что это происходит при х ∈ (-∞; 0).

Пример 4

Найти все значения а, при которых один из корней уравнения  - 2х -  = 0 меньше (-1), а другой - больше 1.

Найдем дискриминант этого уравнения: D = 22 – 4 · (-) = 4 + 4. При всех значениях а величина D > 0, поэтому уравнение имеет два различных корня. Схематично изобразим график функции у =  - 2х - . Вершина этой параболы находится в точке (1; -1 - ). Тогда больший корень  всегда больше 1. Для того чтобы меньший корень  был меньше (-1), необходимо и достаточно, чтобы значение функции у при х = -1 было отрицательным.

Запишем это условие: (-1)2 - 2(-1) -  < 0 или 3 -  < 0. Решим это неравенство методом интервалов. Находим корни соответствующего уравнения:  При а = 0 определяем знак этого выражения:  3 -  = 3 > 0 и рисуем диаграмму знаков. Теперь можно записать ответ: при  условия задачи выполнены.

                        IV.            Формирование умений и навыков у учащихся.

     Решение заданий из учебника:

№ 325 (а, г); 326 (б, в); 330 (а, б); 331 (а, в); 332 (а).

                           V.            Подведение итогов урока.

                        VI.            Домашнее задание.

     Прочитать п.15; выполнить: № 325 (б, в); 326 (а, г); 330 (в, г); 331 (б, г); 333 (а).