Скачивание материала началось

Предлагаем Вам установить расширение «Инфоурок» для удобного поиска материалов:

ПЕРЕЙТИ К УСТАНОВКЕ
Каждую неделю мы делим 100 000 ₽ среди активных педагогов. Добавьте свои разработки в библиотеку “Инфоурок”
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Алгебра КонспектыРазработка урока "решение неравенств методом интервалов"

Разработка урока "решение неравенств методом интервалов"

библиотека
материалов

Урок 33

Тема: Решение неравенств методом интервалов

Цели:

  • Рассмотреть наиболее удобный и универсальный способ решения неравенств.

  • Развивать память, внимание и логическое мышление у учащихся

  • Вырабатывать трудолюбие

Ход урока

  1. Организационные моменты

Сообщение темы и целей урока

 

  1. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).


Вариант 1

1. Решите неравенство 6hello_html_7a2a5240.gif - 13х + 6 ≤ 0.

Ответы: http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image434.jpghttp://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image435.jpg

2. Решите неравенство -25hello_html_7a2a5240.gif + 20х - 4 ≥ 0.

Ответы: http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image436.jpg

3. Решите неравенство hello_html_7a2a5240.gif - 3|х| + 2 ≥ 0.

Ответы: http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image437.jpghttp://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image438.jpg

 

Вариант 2

1. Решите неравенство 15hello_html_7a2a5240.gif - 34х +15 ≥ 0.

Ответы: http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image439.jpghttp://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image440.jpg

2. Решите неравенство 9hello_html_7a2a5240.gif -12х + 4 ≤ 0.

Ответы: http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image441.jpg

3. Решите неравенство hello_html_7a2a5240.gif - 5|х| + 6 ≥ 0.

Ответы: http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image442.jpghttp://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image443.jpg

 

  1. Изучение нового материала

Рассмотрим наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств - метод интервалов. Он с успехом может быть использован при решении всех типов неравенств, изучаемых в школе. Пока мы рассмотрим применение этого способа для целых и рациональных неравенств. Суть метода интервалов будет понятна из следующего примера.

Пример 1

Решим неравенство hello_html_7a2a5240.gif + 2х - 3 ≤ 0.

На числовой оси отметим корни уравнения hello_html_7a2a5240.gif + 2х - 3 = 0. Это hello_html_m438d6914.gif = - 3 и hello_html_m3f108886.gif = 1. Эти точки разбили числовую ось на три промежутка: х  (-∞; -3); х  [-3; 1] и х  (1;+∞).

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image444.jpg

 

При х  (-∞; -3) в многочлене hello_html_7a2a5240.gif + 2х - 3 = (х + 3)(х - 1) оба сомножителя отрицательные. Поэтому многочлен hello_html_7a2a5240.gif + 2х - 3 > 0 (отмечено знаком «+»), и неравенство не выполнено.

Для х  [-3; 1] множитель (х + 3) становится неотрицательным, множитель (х - 1) по-прежнему отрицательный. Поэтому произведение (х + 3)(х - 1) ≤ 0 (отмечено знаком «-»), и неравенство выполнено. Следовательно, интервал х  [-3; 1] удовлетворяет неравенству.

При х  (1; +∞) сомножители (х + 3) и (х - 1) положительные, произведение (х + 3)(х - 1) > 0 (отмечено знаком «+»), и неравенство не выполнено.

Заметим, что столь детальный анализ знаков при решении квадратных неравенств является излишним. Достаточно определить знак выражения hello_html_7a2a5240.gif + 2х - 3 в одной точке, не совпадающей с границами интервалов (например, при х = -10 выражение hello_html_7a2a5240.gif + 2х - 3 = hello_html_m36ae92.gif+ 2(-10) - 3 = 77 > 0). Кроме того, надо учесть, что при переходе к каждому следующему промежутку знак выражения hello_html_7a2a5240.gif + 2х - 3 меняется на противоположный. Поэтому диаграмма знаков, приведенная на рисунке, может быть получена сразу (решение неравенства отмечено штриховкой).

 

Пример 2

Решим систему неравенств http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image445.jpg

Для решения используем аналитический (метод интервалов) и графический способы.

а) Решим сначала первое неравенство hello_html_7a2a5240.gif + 4х + 3 ≤ 0. Найдем корни соответствующего уравнения hello_html_7a2a5240.gif + 4х + 3 = 0. Это hello_html_m438d6914.gif= - 3 и hello_html_m3f108886.gif = -1. Нанесем эти точки на числовую ось, которые разбивают ее на три интервала. Определим знак выражения hello_html_7a2a5240.gif + 4х + 3, например, при х = 0: hello_html_7e89c761.gif + 4 · 0 + 3 = 3 > 0. После этого легко нарисовать диаграмму знаков рассматриваемого выражения. Видно, что неравенство выполняется при х  [-3; -1].

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image446.jpg

 

Теперь рассмотрим второе неравенство hello_html_7a2a5240.gif + 3х + 2 ≥ 0. Корни этого выражения hello_html_m438d6914.gif = -2 и hello_html_m3f108886.gif = -1. Наносим эти точки на числовую ось. Определяем знак выражения hello_html_7a2a5240.gif + 3х + 2, например, при х = 5: 52 + 3 · 5 + 2 = 42 > 0. Рисуем диаграмму знаков для этого выражения. Видно, что неравенство выполняется для х  (-∞; -2]U[-1; +∞).

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image447.jpg

 

Найдем те значения х, при которых выполнены оба неравенства. Для этого еще раз нанесем решения первого (штриховка сверху) и второго (штриховка снизу) неравенств на числовую ось. Видно, что оба неравенства выполнены для промежутка х  [-3; - 2] ив отдельной точке х = -1.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image448.jpg

 

Итак, решение данной системы неравенств х  [-3; - 2]U{-1}.

б) Построим графики функций hello_html_2322758f.gif = hello_html_7a2a5240.gif + 4х + 3 и hello_html_5fbf9419.gif = hello_html_7a2a5240.gif + 3х + 2.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image449.jpg

 

Видно, что неравенство hello_html_7a2a5240.gif + 4х + 3 ≤ 0 (график hello_html_2322758f.gif находится не выше оси абсцисс) выполнено для х  [-3; -1]. Неравенство hello_html_7a2a5240.gif + 3х + 2 ≥ 0 (график hello_html_5fbf9419.gif находится не ниже оси абсцисс) выполнено при х  (-∞;-2]U[-1;+∞). Оба неравенства выполнены для х  [-3; -2]U{-1}.

Рассмотрим более сложные задачи по этой теме.

 

Пример 3

Решим неравенство |5 - х|(х - 1) + 5 < х.

Решим это неравенство аналитически и графически.

а) Перенесем все члены неравенства в левую часть: |5 - х|(х - 1) + 5 - х < 0 и раскроем знак модуля.

Если 5 - х ≥ 0 (т. е. х ≤ 5), то получаем неравенство (5 - х)(х - 1) + (5 - х) < 0, или (5 - х)(х - 1 + 1) < 0, или (5 - х)х < 0. Решаем это неравенство методом интервалов. Наносим корни соответствующего уравнения: hello_html_m438d6914.gif = 0 и hello_html_m3f108886.gif = 5. Определяем знак выражения (5 - х)х, например, для х = 2: (5 - 2) · 2 = 6 > 0. После этого рисуем диаграмму знаков.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image450.jpg

 

Решением неравенства является х  (-∞; 0)U(5; +∞). Так как рассматривается область х ≤ 5, то решением является промежуток х  (-∞; 0).

Если 5 - х < 0 (т. е. х > 5), то имеем неравенство -(5 - х)(х - 1) + (5 - х) < 0, или (5 – х)(-х + 1 + 1) < 0, или (5 - х)(2 - х) < 0. На числовой оси отмечаем корни соответствующего уравнения: hello_html_m438d6914.gif = 2 и hello_html_m3f108886.gif = 5. Находим знак выражения (5 - х)(2 - х), например, при х = 3: (5 - 3)(2 - 3) = -2 < 0 и рисуем диаграмму знаков.

 

image63

 

Решением неравенства будет интервал х  (2; 5). Так как рассматривается область х > 5, то этот промежуток решением данного неравенства не является.

Итак, решение неравенства х  (-∞; 0).

б) Запишем данное неравенство в виде |5 - х|(х - 1) < х - 5. Построим график функции hello_html_2322758f.gif = |5 - х|(х - 1). Для этого раскроем знак модуля. При х ≤ 5 получаем: hello_html_2322758f.gif = (5 - х)(х - 1). В этой области построим график такой функции. Для х > 5 имеем: hello_html_2322758f.gif = -(5 - х)(х - 1). Видно, что эта функция отличается от предыдущей только знаком минус. Поэтому этот график легко получить из предыдущего, если отразить пунктирную часть параболы относительно оси абсцисс зеркально вверх.

Построим также график функции hello_html_5fbf9419.gif = х - 5. Теперь необходимо определить, при каких значениях х значение функции hello_html_5fbf9419.gif больше значения функции hello_html_2322758f.gif (т. е. графику находится выше hello_html_2322758f.gif). Из рисунка видно, что это происходит при х  (-∞; 0).

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image452.jpg

 

 

Пример 4

Найти все значения а, при которых один из корней уравнения hello_html_7a2a5240.gif - 2х - hello_html_532091fd.gif = 0 меньше (-1), а другой - больше 1.

Найдем дискриминант этого уравнения: D = 22 – 4 · (-hello_html_532091fd.gif) = 4 + 4hello_html_532091fd.gif. При всех значениях а величина D > 0, поэтому уравнение имеет два различных корня. Схематично изобразим график функции у = hello_html_7a2a5240.gif - 2х - hello_html_532091fd.gif. Вершина этой параболы находится в точке (1; -1 - hello_html_532091fd.gif). Тогда больший корень hello_html_m3f108886.gif всегда больше 1. Для того чтобы меньший корень hello_html_m438d6914.gif был меньше (-1), необходимо и достаточно, чтобы значение функции у при х = -1 было отрицательным.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image459.jpg

 

Запишем это условие: (-1)2 - 2(-1) - hello_html_532091fd.gif < 0 или 3 - hello_html_532091fd.gif < 0. Решим это неравенство методом интервалов. Находим корни соответствующего уравнения: http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image460.jpg При а = 0 определяем знак этого выражения: 3 - hello_html_7e89c761.gif = 3 > 0 и рисуем диаграмму знаков. Теперь можно записать ответ: при http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image461.jpg условия задачи выполнены.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra9/algebra9.files/image462.jpg

 

  1. Формирование умений и навыков у учащихся.

Решение заданий из учебника:

325 (а, г); 326 (б, в); 330 (а, б); 331 (а, в); 332 (а).


  1. Подведение итогов урока.

 

  1. Домашнее задание.

Прочитать п.15; выполнить: № 325 (б, в); 326 (а, г); 330 (в, г); 331 (б, г); 333 (а).

 


7


Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики и информатики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.