Реферат по математике "Натуральные числа" (10 класс)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОММУНАЛЬНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Выполнила:

студентка группы Г 2-9                                                                                        А.В. Храпонова

Проверила:

преподаватель                                                                                                         Е.В. Морозова

Тула 2009

Содержание

      Введение……………………………………………………………………………………….…..… 3

1      История возникновения натуральных чисел…………………………………………..………..6

2      Значение натуральных чисел в жизни человека ………………………………………………10

3      Таинственное число семь………………………………………………………………………..12

4      «Чёртова дюжина»……………………………………………………………………………….16

Заключение…………………………………………………………………………………………..18

       Список литературы………………………………………………………………………………….20

Введение

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени,

Вы радугой связующей повисли

К раздумиям с вершины вдохновений.

В. Брюсов

Теперь даже дошкольникам известно, что дважды два — четыре. Но чтобы узнать эту простую истину, человеку пришлось учиться не одну тысячу лет. У живших в каменном веке первобытных людей даже слов таких не было: «два», «четыре», «пять» и так далее. Как же они обходились? Очень просто. В охоте на зверя, к примеру, должны участвовать восемь человек: пять охотников-загонщиков выгоняют зверя на засаду, еще три не дают свернуть ему в сторону. А для того, чтобы договориться друг с другом, называть числа вовсе не обязательно, достаточно показать все на пальцах. Пальцы были и первыми изображениями чисел, и... первой «счетной машинкой». Очень удобно складывать и вычитать. Чтобы к пяти прибавить два, достаточно загнуть пять пальцев на одной руке и два на другой. Загибаешь пальцы — складываешь, разгибаешь — вычитаешь. Если не хватит пальцев на руках — не беда, есть еще в запасе десять пальцев на ногах. Мы считаем десятками: досчитали до десяти, дальше идет одиннадцать, двенадцать, тринадцать и т. д. Двадцать — два десятка, тридцать — три. Многие ученые считают, что такой счет как раз и пошел от десяти пальцев на руках. Позже люди стали изображать числа зарубками на дереве или на камне. Шли века, тысячелетия. Наши далекие предки стали строить каменные здания, делить пахотную землю на части, вычислять сроки начала посева. Но для этого нужны сложные расчеты, а для расчетов — цифры. Первые цифры появились примерно тогда же, когда и первые значки-слова, первые буквы. Уже в Древнем Египте умели решать очень сложные арифметические задания. Однажды ученые нашли высеченную на камне запись о победах некоего фараона — царя Древнего Египта. Среди знаков-рисунков попался один, похожий на птичку. Оказалось, что это цифра, обозначающая «сто тысяч». Сто тысяч... и ни одного нуля! Дело в том, что нулей тогда вообще не знали. Не знали нулей и позднее — в Древней Греции и в Древнем Риме. Древние греки цифры записывали просто буквами: А — один, Б — два, Г — три и т. д. У древних римлян цифры были, но тоже не очень удобные. Единица, двойка и тройка изображались просто палочками: I, II, III. А пятерка — это уже пятерня — рука. А чтобы не рисовать четыре пальца и один большой, стали писать вот такой значок: V. Надо изобразить четверку, тут уж занимайся арифметикой, вычитай из пяти один — пиши сначала единичку, а за ней пятерку, вот так: IV. Нужна шестерка, значит, прибавляй, пиши сначала пятерку, а единичку следом за ней: VI. Семерка — это пятерка и две палочки: VII, восьмерка — прибавляй еще одну. Девятка... Опять прибавлять? Нет, наоборот, опять вычитай. Десятка у римлян изображалась как буква X (как бы две пятерки: одна сверху, а другая — снизу). Значит, чтобы изобразить девятку, надо из десяти вычесть один, поместив единицу впереди нее — вот так: IX. Римская нумерация была большим изобретением для своего времени. И все же для записи и выполнения арифметических действий она была не очень удобной. После того, как люди создали алфавит, во многих странах числа стали записывать, применяя буквы. Греки и славяне добавляли к буквам специальные значки, чтобы не спутать с обычными буквами. Однако и буквенная нумерация была неудобна для обозначения большого числа. Способ записи чисел всего несколькими знаками (десятью), который принят теперь во всем мире, был создан в Древней Индии. Индийская система счета распространилась затем по Европе, а цифры получили название арабских (в отличие от применяющихся иногда римских цифр), так как пришли к нам через арабов. Но все-таки правильнее было бы их называть индийскими.

В индо-арабской системе счисления каждая запись, обозначающая число, представляет собой набор из десяти основных символов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемых цифрами (рисунок 1). Например, индо-арабское обозначение числа четыреста двадцать три имеет вид последовательности цифр 423. Значение цифры в индо-арабской записи числа определяется ее местом, или позицией, в последовательности цифр, образующих эту запись. В приведенном примере цифра 4 означает четыре сотни, цифра 2 – два десятка и цифра 3 – три единицы. Очень важную роль играет цифра 0 (нуль), используемая для заполнения пустых позиций; например, запись 403 означает число четыреста три, т.е. отсутствуют десятки.

Вот так в мире появились цифры (письменный знак, изображающий число). Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятия «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид: «Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц».

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

В своей «Общей арифметике» (1707 г.) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон (рисунок 2) пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу».

Мариупольский математик С.Ф. Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания».

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480-524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Таким образом, числа 1, 2, 3, 4, 5, …, использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными.

1 История возникновения натуральных чисел

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом, пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Дальнейшее развитие математики началось примерно 3000 лет до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые так называемыми клинописными текстами, которые датируются от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10. Символ, обозначавший единицу, повторялся нужное количество раз для чисел от 1 до 9. Для обозначения чисел от 11 до 59 вавилоняне использовали комбинацию символа числа 10 и символа единицы. Для обозначения чисел, начиная с 60 и больше, вавилоняне ввели позиционную систему счисления с основанием 60, а также составили таблицы обратных чисел (которые использовались при выполнении деления), таблицы квадратов и квадратных корней, таблицы кубов и кубических корней. Что касается алгебраических задач, то они формулировались и решались в словесных обозначениях.

Знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 г. до н.э. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – ок. 3500 до н.э. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна: для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты. Но главной областью применения математики была астрономия, точнее, расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развития астрономии в Древнем Египте намного уступал уровню ее развития в Вавилоне. Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Система счисления того периода также уступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. С появлением папируса возникло так называемое иератическое письмо-скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы. Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ.

Математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами – весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.

С точки зрения XX в., родоначальниками математики явились греки классического периода (VI-IV вв. до н.э.). Математики и философы принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам. Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с VI-III вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 – начальные буквы их греческих названий. В более поздней, ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого «мириои» – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч. Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640-546 гг. до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии. Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор.

Пифагор (рисунок 3) родился около 580 г. до н. э., много путешествовал по Египту, Халдее и другим странам и, вернувшись, основал в южной Италии особое философское общество. В этом обществе, или пифагорейской школе, изучались науки, особенно арифметика, геометрия и астрономия, и были сделаны важнейшие открытия. Пифагорийцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»).

Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорийцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д. Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. Например, пифагорийцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (в современных обозначениях) n² – квадратное число, то n² + 2n + 1 = (n + 1)². Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорийцы называли совершенным. Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496. Два числа пифагорийцы называли дружественными, если каждое из чисел равно сумме делителей другого; например, 220 и 284 – дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей). Для пифагорийцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей. Пифагорийцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Они имеют геометрическую интерпретацию: если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузы. Такая интерпретация привела пифагорийцев к осознанию более общего факта, известного ныне под названием теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Жившие позднее римляне, напротив, практически не внесли никакого вклада в науку о числе. О зарождении индийской арифметики известно очень мало. До нас дошли лишь некоторые более поздние работы о теории и практике операций с числами, написанные уже после того, как индийская позиционная система была усовершенствована посредством включения в нее нуля. Когда в точности это произошло,  достоверно неизвестно, но именно тогда были заложены основы для  наиболее распространенных арифметических алгоритмов.

Индийская система счисления и первые арифметические алгоритмы были заимствованы арабами. Самый ранний из дошедших до нас из арабских учебников арифметики был написан Мухаммедом аль-Хорезми. В нем широко используются и объясняются индийские цифры. Позднее этот учебник был переведен на латынь и оказал значительное влияние на Западную Европу.  Индо-арабская арифметика стала известна в Западной Европе в основном благодаря сочинению Л.Фибоначчи «Книга абака». Метод абацистов предлагал упрощения, подобные использованию нашей позиционной системы, во всяком случае, для сложения и умножения. Абацистов сменили алгоритмики, которые использовали нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня. Один из первых учебников арифметики, автор, которого нам неизвестен, вышел в Тревизо (Италия) в 1478 г. В нем речь шла о расчетах при совершении торговых сделок. Этот учебник стал предшественником многих появившихся впоследствии учебников арифметики. До начала  XVII в. в Европе было опубликовано более трехсот таких учебников. Арифметические алгоритмы за это время были существенно усовершенствованы. В XVI-XVII вв. появились символы арифметических операций, такие как «=», «+», «–» .

Долго и трудно человечество добиралось до первого уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности: 1, 2, … ∞ . Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи (рисунок 4).

2 Значение натуральных чисел в жизни человека

Числа окружают человека всю его жизнь: от момента рождения и до самых последних его дней. На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятие «много».

Пифагор и его ученики, последователи сократили все числа до цифр от 1 до 9 включительно, поскольку они являются исходными числами, из которых могут быть получены все остальные. Больше всего им нравилось число 4. Считалось, что оно – символ основательности и стабильности. Ведь есть четыре части света, четыре стихии, четыре времени года, четыре недели в месяце… Стол и стул имеют четыре ножки, животные имеют четыре лапы, а дом – четыре угла, то есть все, что обеспечивает устойчивость, делится на четыре.

О непонятном часто говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках. На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в переделах нескольких первых десятков и лишь позднее дошли до сотни.

 Число 13 зачастую расценивается как самое несчастливое число, однако людям, родившимся тринадцатого числа, всегда везет. А вот 12, наоборот, считается самым счастливым. Это особое число. В Евангелии говорится, что у Христа было двенадцать учеников-апостолов.

У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение, равное 1600.

Тот же смысл имеет слово «сорок» в ряде русских пословиц и поговорок. Также словом «сорок» в древней Руси называли большой мешок, куда укладывались ценные вещи.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел сорок фунтов, бочка-сороковка – сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа 60, которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой смысл оно имеет, например, в загадке: стоит поп низок, на нем сто ризок (капуста). Такой же смысл потом приобретают последовательно числа 1 000, 10 000, 1 000 000.

С течением времени пределом у славянского народа было число «тьма», равное 10 000, а запределом – «тьма тьмущая», равное 100 000 000. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 10⁶, «легион» – 10¹², «леодр» – 10²⁴, «ворон» – 10⁴⁸, «колода» – 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире в III в. до н.э. дальше всех продвинулись Архимед (рисунок 5), в «исчислении песчинок» – до числа 10, возведенного в степень 8∙10¹⁶, и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.

3 Таинственное число семь

Ах, это таинственное число 7! Каким его только не считают: и священным, и божественным, и счастливым. Так относятся к нему англичане, французы, итальянцы, русские, почитают индусы, арабы, турки и другие народы. Почитали за много столетий до нашей эры, в средние века, почитают и сегодня. Число семь играет важную роль в религиях и верованиях людей, в искусстве и языке, в науке и технике...

Не вызывает сомнений, что число семь получило свою мистификацию именно благодаря семи планетам на небе. В связи с этим семь ярчайших светил превратились в богов. У египтян было семь изначальных высших богов, у финикийцев – семь кабиров, у персов – семь священных коней Митры, у парсов – семь ангелов, противостоящих семи демонам, а также семь небесных обителей, соответствовавших семи нижним сферам. Согласно арабской легенде, семь ангелов охлаждают Солнце с помощью льда и снега, дабы оно не испепелило Землю, и семь тысяч ангелов каждое утро приводят в движение Солнце. Две древнейшие реки Востока – Ганг и Нил – имеют по семь устьев. В древнем Востоке было семь главных рек (Нил, Тигр, Евфрат, Окс, Джаксартез, Аракс и Инд), семь знаменитых сокровищ, семь городов, полных злата, семь чудес света и так далее.

Древние греки, как и другие народы, придавали большое значение числу семь. Число семь фигурирует во многих легендах. Например, в мифе о чудотворце Минотавре, которому ежегодно приносили в жертву семь юношей и семь девушек. В легенде о смертной женщине Ниобе, дерзнувшей оскорбить богиню Латону, упоминается о семи сыновьях и о семи дочерях Ниобы, погибшей от стрел детей Латоны – Аполлона и Артемиды. Число семь считали священным числом бога Аполлона – покровителя искусств.

В Греции почитали семь мудрецов. К семи мудрецам причисляли замечательного ученого древности, математика и астронома Фалеса Милетского (рисунок 6). Среди мудрецов называли и афинского законодателя Солона (VI в. до н. э.). Древние греки насчитывали семь чудес света. Семь памятников, воплотивших наивысшие достижения культуры наиболее развитых стран древности, вполне заслужили названия чудес света. Самое чудесное в них то, что создали их ум и руки человека. Египетские пирамиды, Сады Семирамиды, Статуя Зевса Олимпийского, Мавзолей в Галикарнассе, Храм Артемиды Эфесской,  Фаросский маяк, Колосс Родосский.

Древний Рим также боготворил число семь. Сам город построен на семи холмах; река Стикс, окружающая подземное царство, семь раз обтекает ад, разделенный у Вергилия, на семь областей...

Согласно исламу, имеется семь небес; попадающие на седьмое небо испытывают высшее блаженство. В браминском и буддийском верованиях и богослужениях число семь также священно. От индусов пошел обычай дарить на счастье семь слоников – фигурок из кости, дерева или другого материала.

В христианстве говорится о семи смертных грехах (гордыня или тщеславие, скупость или сребролюбие, блуд или невоздержание, чревоугодие или обжорство, гнев, лень или уныние) и семь таинств (крещение, миропомазание, причащение или евхаристия, покаяние или исповедь, соборование или елеосвящение, священство, брак).

Число семь играет немалую роль в книгах Священного писания, в частности, в «Апокалипсисе». Там сказано, что Бог, сидя на престоле, держит книгу, запечатанную семью печатями. Когда снимают седьмую печать, появляются семь ангелов с трубами. После того, как протрубит седьмой ангел, появятся новые семь ангелов с семью чашами гнева Господнего.

Задолго до появления Библии в Древнем Риме праздновали Сатурналии в течение семи дней. Число семь вошло в легенду о сотворении мира в течение семи дней.  

Семь свечей зажигаются во время соборования: например, во Владимирской губернии во время таинства соборования на стол, накрытый скатертью или холстиной, ставилась глиняная чаша с зерном, а в зерно втыкалось семь лучин, обернутых на концах пенькой, и семь зажженных свечей. Этот вариант соборования в среднерусском регионе сохраняется до сих пор. О нем рассказывали жители Михайловского района Рязанской области: для таинства ломается на семь лучинок ветка троицкой березки, вместе с семью свечами березовые лучины ставятся в чашу с пшеном: зажигаются и свечи, и лучины, в иных случаях – одни свечи. Таинство совершает только священнослужитель. Примечательно, что по церковным правилам таинство соборования должно совершаться священниками, которых «числом должно быть семь». Все эти меры – часть православного уклада жизни и азы ритуальной грамоты.

Василий Суриков на своем историческом полотне «Утро стрелецкой казни» изобразил семь стрельцов со свечами в руках. Семь свечей на картине Сурикова символизируют жизнь и смерть стрельцов. Одновременно каждая свеча картины находится в сакральном соотношении с семью главами переднего плана храма Василия Блаженного. Семи видимыми главами собора соответствует семь смертных свечей картины. Суриков воплотил на полотне знания о старорусской ритуальной культуре. Надо быть художником от корня русского духа, чтобы оценить эти знания, сохранить и воплотить их в живописи.

И сейчас числу семь придают иногда особое значение. Мы говорим о семи цветах радуги – красном, оранжевом, желтом, зеленом, голубом, синем и фиолетовом. В музыке выделяют семь тонов (нот) звукоряда (рисунок 7).

В сказках мы тоже всюду встречаемся с загадочным числом семь: злодей Синяя Борода имел семь жен, Белоснежка жила у семи гномов за семью горами, в лесном тереме живут семь братьев-богатырей из «Сказки о мертвой царевне и семи богатырях», а храбрый портняжка убивает семерых мух одним ударом.

С числом семь связано множество загадок, примет. Оно присутствует в пословицах и поговорках русского народа. В.И. Даль собрал их в своём сборнике.

По этому поводу Шолохов в предисловии к сборнику В. И. Даля, вышедшего в 1987 году, писал: «Из бездны времен дошли до нас в этих сгустках разума и знания жизни радость и страдания, смех и слезы, любовь и гнев, вера и безверие, правда и кривда, честность и обман…»

В обычной жизни мы часто произносим с уважением «Семь пядей во лбу», с доброжелательностью «Семь футов под килем», с упреком «Семь пятниц на неделе», с осмотрительностью «Семь раз примерь, один раз отрежь». И таких пословиц и поговорок достаточно много:

-       Семь бед один ответ.

-       Семь вёрст до небес и всё лесом.

-       Семь вёрст не крюк.

-       Семь раз отмерь, один раз отрежь.

-       Семь раз отпей, один раз отлей.

-       Семь дел в одни руки не берут.

-       Семь деревень, а лошадка одна.

-       Семь лет мак не родил, а голода не было.

-       Семь лет молчал, на восьмой вскричал.

-       Семь лет не виделись, а сошлись – и говорить нечего.

-       Семь раз, по-твоему, да хоть раз, по-моему.

-       Семь рек осушила, холста не смочила.

-       Семь топоров вместе лежат, а две прялки врозь.

-       Семь четвергов, и все в пятницу.

В арифметике также достаточно много задач связано с числом семь, не только современных, но и старинных.

Задача № 1

Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня, и т.д., седьмой – через шесть дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова встретятся на озере?

Ответ: для того, чтобы узнать через, сколько дней рыбаки соберутся на озере все вместе, надо найти наименьшее общее кратное:   НОК (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420.

Задача № 2

Отец имел семь сыновей. У каждого из них было по одной сестре. Сколько детей было в семье?

Ответ: в семье было восемь детей.

Задача № 3

Шли семь старцев.

У каждого старца по семь костылей,

На каждом костыле по семь сучков,

На каждом сучке по семь кошелей,

В каждом кошеле по семь пирогов,

В каждом пироге по семь воробьев.

Сколько всего?

Ответ: 137256.

Задача № 4

 Эту задачу составил итальянский математик Леонардо Пизанский, по прозвищу Фибоначи.

 Семь старух отправились в Рим. У каждой старухи по семи ослов, каждый осел несет по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

Ответ: 137256.

Задача № 5

Было у крестьянина семь лошадей,

На каждую лошадь – по семь батраков.

Каждый батрак имел семь жен.

Что ни жена, то семь детей.

Что ни дитя, то нянек семь.

Сколько же ног у всех?

Ответ: 39 228

4  «Чёртова дюжина»

Говоря о двенадцати как о символе гармонии, ему противопоставляют тринадцать, «чёртову дюжину», издавна вызывающую суеверный трепет в сердцах людей (рисунок 8). Во многих странах люди пытаются избегать числа тринадцать. Например, в США нет тринадцатых автобусов, во Франции нет домов № 13, в некоторых самолетах за двенадцатым сиденьем следует четырнадцатое. Во многих гостиницах нет тринадцатого номера или тринадцатого этажа.

Стоит также отметить, что как все другое в этом мире – число тринадцать имеет не только отрицательные, но и положительные свойства: со времен античности было замечено, что тринадцатый в группе считался самым могущественным и сильным. Таков Зевс в окружении двенадцати небожителей, которым он предводительствует в качестве тринадцатого, выделяясь силой и могуществом. Улисс, тринадцатый среди своих товарищей, единственный ускользает от прожорливого Циклопа. В индийском пантеоне находится тринадцать Будд.

У майя и ацтеков тринадцать считалось священным числом и не связывалось с понятием смерти. В их мифологии небо делилось на тринадцать уровней, в каждом из которых жил свой бог. В календаре древних жителей Южной Америки были тринадцатидневные «недели». Иисус Христос был тринадцатым участником тайной вечери вместе с апостолами.

Символика числа 13 присутствует во многих рисунках однодолларовой банкноты. Официально считается, что это означает число первоначально объединившихся штатов. Число тринадцать представлено во всех элементах герба США. Мы видим над головой орла звезду, составленную из тринадцати звезд. В левой лапе орел держит тринадцать стрел, а в правой — оливковую ветвь с тринадцатью листьями и тринадцатью ягодами. Красных и белых полос на флаге США в сумме также тринадцать.

Тринадцать – символ иудейского народа, состоящего из двенадцати колен Израиля и тринадцатого колена хазар (сегодня они составляют большинство евреев).

Король Франции Людовик (кстати, тринадцатый) считал число тринадцать счастливым. Он даже женился на Анне Австрийской, когда ей было тринадцать лет.

Число 13 – цифра, которой приписываются множество вредных и (что значительно реже) полезных магических свойств. Некоторые «совпадения» с этим числом настолько поразительны, что здравый смысл отказывается считать их случайностями.

В античном мире еще древнегреческий поэт Гесиод предостерегал крестьян не начинать посев тринадцатого числа. С распространением единобожия смерть стала пугать людей, а вместе с ней и число тринадцать. Оно идет сразу после числа двенадцать, считавшегося совершенным числом, символом божественной гармонии. Число тринадцать начинает новый цикл и, таким образом, нарушает равновесие, достигнутое в предыдущем.

На Ближнем Востоке и в Китае тринадцать до сих пор воспринимается как вторжение в замкнутую астрологическую систему, состоящую из двенадцати знаков зодиака. Поэтому и здесь тринадцать считается числом смерти.

Интересно, что во многих странах, например, в США или во Франции, существуют «Клубы тринадцати». Тринадцать членов каждого такого клуба собираются тринадцатого числа каждого месяца в комнате № 13 и устраивают обеды на  тринадцать персон. Надо сказать, что пока ни с одним из членов таких клубов ничего экстраординарного не случалось.

Люди боятся числа тринадцать по той же причине, по которой они боятся всего нового — нежелание изменять своим привычкам. А прошлое нагнетает страх, пытаясь убедить людей в том, что тринадцать – несчастливое число. Но суеверия всё дальше уходят в историю. По данным статистики, в повседневной жизни тринадцать ничем не выделяется из обычного ряда числового ряда: тринадцатого числа происходит, в среднем, столько же несчастных случаев, как и в любой другой день. Поэтому не стоит забывать фразу американского киноактера Гручо Маркса: «Тринадцать человек за столом может быть несчастливым числом, если вы приготовили только двенадцать котлет».

Заключение

Легендарному Пифагору приписывают слова: «Всё есть число». Школа Пифагора сделала число «основой всех вещей». Один из его последователей писал: « Если бы не число и его природа, ничто существующее нельзя бы было постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам. Мощь чисел проявляется во всех деяниях и промыслах людей, во всех ремеслах и музыке».

Числам приписывали магические свойства многие цивилизации. К ним снова обращаются и современные люди, поражаясь глубиной тайн, скрытых в числах, надеясь увидеть в них ответ на загадки бытия. «Один вопрос о числах стоит столько же, сколько вопрос о системе мироздания» – это уже было сказано не во времена пифагорейской школы, а совсем недавно нашими современниками.

Науку о числах называют арифметикой. Трудно сказать что-либо конкретное о времени и месте ее рождения. Многочисленные исследователи этого вопроса приписывают открытие различным народностям и приурочивают его к разным эпохам. Историк Иосиф Флавий утверждает, что еще праотец Авраам в пребывании своем в Египте, во время голода, постигшего Ханаанскую землю, первый обучил египтян арифметике. Платон и Диоген Лаэрций тоже считают Египет колыбелью не только арифметики, но и геометрии. Они говорят, что числа, числительное искусство ниспосланы египтянам от их бога Тевта, владевшего торговлею и числами, подобно греческому Меркурию. Другие, более позднейшие исследователи полагают, что арифметика открыта халдейцами и финикиянам, так как они первые стали производить обширную торговлю, которая, без сомнения, требовала некоторых познаний в счетной науке. Люди начали считать с того самого отдаленного времени, когда, приходя во взаимное столкновение между собою, они стали группироваться в общества, так как они знали число членов своих семейств, считали свои стада и т. п.

Таким образом, начало арифметики должно отнести к эпохе первого проявления гражданского строя среди людей; что же касается усовершенствования первобытных понятий о счислении, то они должны быть отнесены к позднейшим временам. Первыми историческими математиками должны быть признаны древние греки, а именно: Эвклид, Диофант и Никомах. В их сочинениях мы встречаемся с двумя различными терминами: логистика, так называемое «числительное искусство», и арифметика – наука о свойствах чисел. Открытие книгопечатания оказало немаловажную услугу распространению первоначальных истин арифметики.

Одной из самых интересных страниц истории арифметики должно признать вопрос о счислении. Сведения, собранные различными исследователями этого важного вопроса, сводятся к тому заключению, что почти у всех народов испокон веков была принята система десятеричного счисления. Джордж Пикок приводит в своей статье данные о системах счисления даже у диких племен, и там мы встречаем десять различных слов у каждого наречия, которые служат основанием счисления. Объяснения подобного совпадения систем надо искать в факте наличности десяти пальцев у человека, который на первых ступенях своего развития естественно прибегал к своим пальцам для выражения числа. Письменное счисление десятью цифрами получило свое начало на Востоке, а именно у индусов, которые передали свое искусство для усовершенствования арабам, изучившим творения греков по «числительному искусству». Вполне достоверно на основании дошедших до нас памятников, что арабы еще в конце X в. совершенно понимали употребление десяти цифр и не могли не сообщить своего знания всем народам, с которыми имели отношения.

Однако римские цифры господствовали до половины XV в., когда наступает некоторым образом эпоха смешения римских и арабских знаков; мало-помалу римские знаки уступают место арабским среди ученых, благодаря которым арабские и делаются всеобщим достоянием.

Числа всегда играли огромную роль в жизни человека. Люди нередко преклонялись перед их величеством и предавали им особый смысл. Так отзвуки восхищения числами слышны в стихотворении Валерия Брюсова:

Мечтатели, сибиллы и пророки

Дорогами, запретными для мысли,

Проникли – вне сознания – далеко,

Туда, где светят царственные числа.

Предчувствие разоблачает тайны,

Проводником нелицемерным светит;

Едва откроется намек случайный,

Объемлет нас непереказный трепет.

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени,

Вы радугой связующей повисли

К раздумиям с вершины вдохновений.

Список литературы

1        Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи.  – М.: Просвещение, 1994 г.

2        Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. – М.: Дрофа, 2008 г.

3        Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математики. – М.: Наука, 1979 г.

4        Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России.  – М.: Огиз, 1946 г.

5        Депман И.Я. История арифметики. –  М.: Просвещение, 1989 г.

6        Колмагоров А. Н. Математика в ее историческом развитии. – М.: Наука, 1991 г.

7        Литцман В. М. Веселое и занимательное о числах и фигурах. – М.: Физматгиз, 1963 г.

8      Пословицы и поговорки русского народа (из сборника В.И. Даля) под ред. Б.П. Кирдана. – М.: Правда, 1987 г.