Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение задач повышенной сложности при подготовке к ГИА по геометрии

Решение задач повышенной сложности при подготовке к ГИА по геометрии

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Задача №1- 3

Дано.ABCD- трапеция

A=8 , b=6 , R=5.

Найти. AB , СD,площадь ABCD,h1, h2.

hello_html_2b9b838b.png

1случай. Решение.

ABCD- равнобедренная трапеция. Из Δ ОАН2 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=2 Аналогично из ΔОВН1 ОН1=4, тогда Н1 Н2 =1.

АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ=hello_html_3ac28923.png.

Sтр=hello_html_66756187.pngh=hello_html_6e84fec8.png1=7

2случай.

ABCD- равнобедренная трапеция .Из ΔODH2 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=3 ,из ΔОСН1 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=4, тогда Н1 Н2=7

АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ=hello_html_2f42824b.png.

Sтр=hello_html_66756187.pngh=hello_html_6e84fec8.png ·7=49.

Ответ:

Задача № 4

Найдите угла А, В ,С и D трапеции.


hello_html_m49539b2f.png

Дано:

ABCD – трапеция,

ВС=6, AD=8

Найти:

hello_html_223d64ac.png



Решение:

Из вершины hello_html_3073132c.png опустим высоту hello_html_1fc8df5e.png.

Из задачи 1 следует, что hello_html_31d9866a.png.

По свойству равнобедренной трапеции hello_html_4f56fc37.png.

Так же по свойству равнобедренной трапеции hello_html_68ca3155.png.

Рассмотрим hello_html_129abe63.png - прямоугольный. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника получим:

hello_html_34e0fdd5.png

hello_html_m122e2ee5.png

По условию задачи трапеция hello_html_245b225.png вписана в окружность. Следовательно, hello_html_m3c192b7e.png.

hello_html_m783b421c.png

Ответ: hello_html_m122e2ee5.png hello_html_m783b421c.png


Задача № 5

Найти диагонали hello_html_m14f85cb9.png трапеции.

Дhello_html_m5f4edc17.pngано: hello_html_245b225.png –трапеция, hello_html_68ac62c7.png . Найти: hello_html_m14f85cb9.png.






Решение:

По свойству равнобедренной трапеции hello_html_m52f5e6ae.png.

Рассмотрим hello_html_2e84d4cd.png – прямоугольный. По теореме Пифагора

hello_html_5e6f4ccd.png

hello_html_m33cee104.png

Ответ: hello_html_m13dd97e2.png




Задача № 6

Найти угол между диагоналями hello_html_m14f85cb9.png трапеции.

Дhello_html_50e75ee2.pngано: hello_html_245b225.png –трапеция,

hello_html_68ac62c7.png.

Найти: hello_html_m402ef8ac.png.






Решение:

Пусть hello_html_b4bb9b8.png

Площадь трапеции можно найти по формуле:

hello_html_m321d9342.png

По свойству равнобедренной трапеции hello_html_6ee24e00.png Следовательно, формула принимает вид:

hello_html_69ef48b4.png

Из задачи 3 известно, что hello_html_m63b7662.png Составим и решим уравнение:

hello_html_52dec90c.png

hello_html_m554b20e6.png

hello_html_m1919794c.png

Ответ: hello_html_4b13e8fc.png



Зhello_html_5028cdbf.gifадача №7


hello_html_m51460d72.png

Найти длину отрезка МN, параллельного АD, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции.

Решение:

Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельно основаниям, есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Значит, МN =hello_html_7dc4d6c1.gif, где hello_html_60d2f2c2.gif и hello_html_m46087894.gifоснования трапеции hello_html_m4855e294.gif МN=hello_html_m756606e8.gif=hello_html_9708b4d.gif=6hello_html_m6d0d4b19.gif

Ответ: 6hello_html_m6d0d4b19.gif


Задача №8

Найти длину отрезка средней линии трапеции АВСD, заключенного между диагоналями (длину отрезка ЕF).

Решение:

В треугольнике АСD ЕN – средняя линия ЕN АD и ЕN=АD.

В треугольнике ВСD FN – средняя линия FN ВС и FN=ВС. Тогда ЕF= ЕN- FN=( АD- ВС)

Значит, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.

Длина отрезка равна =1

Ответ: 1

Задача №9

В каком отношении отрезок МN делит площадь трапеции (вычислить hello_html_m4b6ee1d2.gif).

Решение:

hello_html_m4b6ee1d2.gif=hello_html_m4a72b858.gif, где hello_html_m7959acde.gifиhello_html_mbf23cab.gifвысоты трапеций MNCB и ADNM соответственно. Так как hello_html_35c6197d.gif, то hello_html_m7959acde.gif=hello_html_m4dc61cbd.gif.

Значит, hello_html_m4b6ee1d2.gif=hello_html_3c48b7f1.gif=hello_html_7ce621a5.gif

Ответ: hello_html_7ce621a5.gif.

Задача №10.



Нhello_html_maa577a4.pngайти высоту треугольника ADF, где F – точка пересечения продолжений боковых сторон.

Решение: 1 способ.

Рассмотрим прямоугольный hello_html_2c44c06b.gif

hello_html_m457ab599.gif=hello_html_12984e0f.gif

hello_html_m6b1a7698.gif

hello_html_m7109eba1.gif

Ответ: 28

2 способ.

Треугольники hello_html_m74dfd7e8.gif и hello_html_1defe9c6.gifподобны по двум углам (угол hello_html_m7d9b5385.gif-общий, угол hello_html_m425f77f4.gif равен углу hello_html_m40bb5fc8.gif как соответственные углы при параллельных прямых hello_html_4e937cc8.gif и hello_html_m4f5faa8a.gif).

Значит, hello_html_66a15eca.gif, где hello_html_m6c87fbe4.gif.

Пусть hello_html_28fdbe8e.gif= hello_html_46dff828.gif, тогда hello_html_m30c5f15a.gif = hello_html_46dff828.gif+7 (hello_html_4aab3b6e.gif= 7 из задачи № 1)

hello_html_m60644170.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_46dff828.gif=21. Значит, hello_html_474775c.gif

Ответ:28



Задача №11

Известны длины оснований a=8 см и b=6 см вписанной в окружность трапеции АВСD, ВС||АD и радиус окружности R=5 см. Найдите площади четырех треугольников, на которые делят диагонали трапецию.



Дано: АВСD - трапеция,

ВС||АD

основания 8 см и 6 см

R=5


Найти S треугольников, на которые диагонали делят трапецию



Решение:

1. Δ ВОС подобен Δ АОD по двум углам (hello_html_1d144203.gifВОС =hello_html_1d144203.gif СОD (вертикальные), hello_html_1d144203.gifОВС = hello_html_1d144203.gifОDА (накрест лежащие при параллельных прямых (ВС и АD) и секущей ВD).

k = 4/3

Отношение S подобных треугольников равно k2

Обозначим S Δ ВОС за х, тогда S Δ АОD = 16/9х

S Δ ВОА = S Δ СОD = 4/3х (см. БЗ 2.8)

2. S Δ АВСD = 1/2* (8+6)*7=49

S Δ АВСD = S Δ ВОА+ S Δ АОD + S Δ ВОС +S Δ СОD

х+ 16/9х+4/3х+4/3х = 49

х= 9 см2 - S Δ ВОС

S Δ АОD = 16/9*9=16 см2

S Δ ВОА = S Δ СОD = 4/3*9=12 см2

Ответ: 9 см2, 16 см2 , 12 см2


Задача №12

а) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две равновеликие трапеции.





Дано: АВСD - трапеция,

ВС|| АD

основания 8 см и 6 см


Найти: длину MN


Решение:

Согласно БЗ2.12 MN = hello_html_210aa583.gif= 4hello_html_2d077f92.gif см


б) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две подобные трапеции.





Дано: АВСD - трапеция,

ВС|| АD

основания 8 см и 6 см


Найти: длину MN


Решение:

Согласно БЗ2.11 MN = hello_html_m2cc7956.gif = 5hello_html_20329080.gifсм


Задача №13

Можно ли в трапецию вписать окружность?


В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. (БЗ2.5)

Проверим АВ + СD = ВС + АD,

8 см + 6 см hello_html_m88d8014.gif 5hello_html_20329080.gifсм+5hello_html_20329080.gifсм

В данную трапецию окружность вписать нельзя.

Автор
Дата добавления 20.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров15
Номер материала ДБ-277390
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх