Решение задач повышенной сложности при подготовке к ГИА по геометрии

Задача №1- 3

Дано.ABCD- трапеция

 A=8 , b=6 , R=5.

Найти.  AB  , СD,площадь ABCD,h_1,   h₂.

1случай.               Решение.

ABCD- равнобедренная  трапеция. Из Δ ОАН₂ прямоугольного по теореме Пифагора ОН₂=2  Аналогично из ΔОВН₁  ОН₁=4, тогда Н₁ Н₂ =1.

АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ=.

 S_тр=h=1=7

2случай.

ABCD- равнобедренная  трапеция .Из ΔODH₂ прямоугольного по теореме Пифагора ОН₂=3 ,из ΔОСН₁ прямоугольного по теореме Пифагора ОН₂=4, тогда Н₁ Н₂=7

АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ=.

 S_тр=h= ·7=49.

Ответ:

Н1 Н2	АВ	Sтр
1		7
7		49

Задача № 4

Найдите угла А, В ,С и D трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция,

ВС=6, AD=8

Найти:

Решение:

Из вершины  опустим высоту  .

Из задачи 1 следует, что .

По свойству равнобедренной трапеции .

Так же по свойству равнобедренной трапеции .

Рассмотрим  - прямоугольный. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника получим:

По условию задачи трапеция  вписана в окружность. Следовательно, .

Ответ:   

Задача № 5

 Найти диагонали  трапеции.

Дано:   –трапеция,        . Найти: .

Решение:

По свойству равнобедренной трапеции .

Рассмотрим  – прямоугольный. По теореме Пифагора

Ответ:

Задача № 6

 Найти угол между диагоналями   трапеции.

Дано:   –трапеция,

.

   Найти: .

Решение:

Пусть

Площадь трапеции можно найти по формуле:

По свойству равнобедренной трапеции  Следовательно, формула принимает вид:

Из задачи 3 известно, что  Составим и решим уравнение:

Ответ:

Задача №7

Найти длину отрезка МN, параллельного АD, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции.

Решение:

    Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции,  параллельно основаниям, есть среднее гармоническое оснований трапеции.

 Значит,  МN =, где  и основания трапеции  МN===6

Ответ: 6

Задача №8  

Найти длину отрезка средней линии трапеции АВСD, заключенного между диагоналями (длину отрезка ЕF).

Решение:

      В треугольнике АСD   ЕN – средняя линия  ЕN  АD  и ЕN=АD.

В треугольнике  ВСD  FN – средняя линия  FN ВС и FN=ВС. Тогда ЕF= ЕN- FN=( АD- ВС)

    Значит,  длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.

Длина отрезка равна  =1

Ответ: 1

Задача №9

В каком отношении отрезок МN делит площадь трапеции (вычислить ).

Решение:

=, где ивысоты трапеций MNCB  и ADNM соответственно. Так как , то =.

Значит, ==

Ответ: .

Задача №10.

Найти высоту треугольника ADF, где F – точка пересечения продолжений боковых сторон.

 Решение:  1 способ.                                                                 

Рассмотрим прямоугольный                                  

=

                                                              

Ответ: 28

2 способ.

Треугольники   и подобны  по двум углам (угол -общий, угол  равен углу   как соответственные углы при параллельных прямых  и  ).

Значит, , где    .

Пусть    = , тогда  = +7     (= 7 из задачи № 1)

      =21. Значит,  

Ответ:28                                                                                

Задача №11

Известны длины оснований a=8 см  и b=6 см вписанной в окружность трапеции АВСD, ВС||АD и радиус окружности R=5 см. Найдите площади четырех треугольников, на которые делят диагонали трапецию.

Дано: АВСD - трапеция,  ВС||АD основания 8 см и 6 см  R=5 Найти  S треугольников, на которые диагонали делят трапецию

Решение: 1. Δ ВОС подобен Δ АОD по двум углам (ВОС = СОD  (вертикальные), ОВС = ОDА (накрест лежащие при параллельных прямых (ВС и АD) и секущей ВD). k = 4/3 Отношение  S подобных треугольников равно k2 Обозначим S Δ ВОС за х, тогда S Δ АОD = 16/9х S Δ ВОА = S Δ СОD  = 4/3х (см. БЗ 2.8) 2. S Δ АВСD =  1/2* (8+6)*7=49 S Δ АВСD =  S Δ ВОА+ S Δ АОD + S Δ ВОС +S Δ СОD   х+ 16/9х+4/3х+4/3х = 49 х= 9 см2 - S Δ ВОС S Δ АОD =  16/9*9=16 см2 S Δ ВОА = S Δ СОD  = 4/3*9=12 см2 Ответ: 9 см2, 16 см2 , 12 см2

Задача №12

а) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две равновеликие трапеции.

	Дано: АВСD - трапеция,  ВС|| АD основания 8 см и 6 см Найти: длину  MN
Решение: Согласно БЗ2.12 MN = = 4 см

б) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две подобные трапеции.

	Дано: АВСD - трапеция,  ВС|| АD основания 8 см и 6 см Найти: длину  MN
Решение: Согласно БЗ2.11 MN =  = 5см

Задача №13

Можно ли в трапецию вписать окружность?

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. (БЗ2.5)

Проверим АВ + СD = ВС + АD,

8 см + 6 см  5см+5см

В данную трапецию окружность вписать нельзя.