Сборник заданий по планиметрии. Четырехугольники.

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №7
 имени адмирала Ф.Ф.Ушакова

Сборник заданий по планиметрии.
Четырехугольники
(Задания для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ)

                                                                       учитель математики

                                                                        Кузнецова Нелли Валериевна

Тутаев, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………......3

I.                   Дидактический комплект………………………………………………….5

1.1 Описание дидактического комплекта………………………………...5

II.                Рекомендации по  проведению обобщающего повторения темы «Четырехугольники» ……………………………….……………………..7

III.             Теоретические сведения и задания для повторения основных свойств четырехугольников…………………………………………………………8

1.     Свойства и признаки параллелограммов и трапеции………………………….……………………………………...8

2.     Средняя линия трапеции…………...………………………………….13

3.     Формулы площадей…… ……………………………………..…….....14

4.     Вычисление некоторых линейных элементов четырехугольников с использованием формулы площади                                                       16

5.     Вписанные и описанные окружности…………………………………20

Литература………………………………………………………………………...25

Приложения……………………………………………………………………….27

ВВЕДЕНИЕ

При обучении математике ученик последовательно переходит от изучения одной дидактической единицы к изучению другой. При этом у него формируются линейные связи между различными дидактическими единицами. С ростом числа дидактических единиц цепочка линейных связей между ними увеличивается, её становится трудно удержать ученику в памяти, поэтому постепенно математика начинает представляться для него в виде набора некоторых определений, аксиом, теорем, задач.

Одна из главных целей обучения математике – формирование системы знаний у обучающихся. Поэтому необходима организация деятельности учащегося на определенном этапе обучения, специально направленная на систематизацию и обобщение приобретенных учеником элементов знаний. Это возможно при обобщающем повторении. Оно позволяет углубить, расширить, обобщить и систематизировать знания.

Обобщающее повторение целесообразно проводить в конце 9‑го класса, когда изучение планиметрии закончено и необходимо систематизировать полученные учащимися знания и приобретенные умения для дальнейшего их применения на выпускном экзамене по математике.

Особое значение имеет обобщающее повторение при изучении первых разделов стереометрии, так как одним из важных вопросов является проблема закрепления материала по планиметрии в процессе преподавания стереометрии. Актуальность этой проблемы исходит из необходимости умелого использования материала по планиметрии на уроках стереометрии при решении задач на сечения многогранника плоскостью, нахождение площадей полученных сечений, вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.

В предыдущие годы геометрические задания при сдаче ЕГЭ выпускники плохо решали или не решали вовсе. В настоящее время наметился прогресс в выполнении геометрических задач на выпускном экзамене, однако выпускники по-прежнему испытывают определенные трудности при решении планиметрических задач.

Несмотря на то, что некоторые задачи экзаменационной работы – вычислительные, для их решения важно владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется умение грамотно записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур на уровне применения этих свойств для проведения вычислений и, что очень важно, для распознавания различного вида фигур.

По-прежнему, как показывает анализ результатов ЕГЭ, низок процент справляемости с заданиями по стереометрии и планиметрии из второй части КИМа. Решение данных задач требует от учащихся умения проводить анализ условия задачи, который выведет на комплексное применение нескольких геометрических фактов. Это значит, что для успешного решения нужно суметь выделить стандартные конфигурации и применить в них изученные свойства, относящиеся к разным разделам курса геометрии. Практика проведения ЕГЭ говорит о том, что большее влияние на результаты выполнения заданий оказывает не тематика проверяемого материала, а степень узнаваемости ситуации, в которой он применяется. Из всего сказанного следует, что для успешного выполнения геометрических заданий повышенного уровня чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:

1) овладение базовыми знаниями, умениями применять их в стандартной ситуации;

2) формирование системных знаний об изучаемых в школьном курсе фигурах;

3) знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;

4) формирование гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.

Результатом составления данного сборника является многолетний опыт работы с учащимися 9 – 11 классов, который показывает, что при решении указанных проблем большая роль отводится повторению материала, систематизированного по изученным фигурам, которое следует проводить в конце 9 и 11 классов.

                                                                                                                         I.            ДИДАКТИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКТ
1.1.   Описание дидактического комплекта

Закончив изучение курса планиметрии в 9-м классе, учащиеся не всегда могут применить полученные знания при решении задач. На уроках часто не хватает времени для полноценного закрепления изученного материала на решении задач. По некоторым темам нет достаточного количества необходимых задач.

У учеников появляются пробелы в знаниях, которые со временем накапливаются и устранение их требует больших затрат по времени. В 10-11 классах при изучении стереометрии постоянно приходиться возвращаться к некоторым фактам планиметрии, поскольку решение любой стереометрической задачи сводиться к решению нескольких планиметрических задач. Поэтому необходимо иметь комплект дидактических материалов, который учитель всегда может использовать по мере необходимости.

Разработанный дидактический комплект направлен на ликвидацию пробелов в теоретическом материале и его систематизацию, отработку умений и навыков решения задач по всему курсу планиметрии. Здесь предусмотрено повторение свойств основных фигур через решение задач. Дидактический комплект содержит задачи, навык решения которых потребуется при изучении стереометрии, а также при подготовке к ГИА в 9 классе и ЕГЭ. Большая часть теоретического материала дана в справочных таблицах, которые могут вывешиваться на уроки повторения или записываться учащимися в справочные тетради. Некоторые темы предлагается повторить устно, решая задачи с использованием готовых чертежей, а в классах со слабоуспевающими учащимися решения некоторых таких задач можно записать.

Комплект содержит задачи с решениями, демонстрирующими какой-либо способ рассуждений при решении задач, который возможно не был рассмотрен на уроке при изучении данной темы. Задачный материал по некоторым темам оформлен в виде тестов, имеет готовые чертежи.

При повторении и систематизации материала целесообразно одну и ту же задачу решать несколькими способами, что способствует развитию творчества учащихся, повышению интереса к предмету, умению подходить к решению задачи с разных сторон. Поэтому в комплекте есть задачи, решенные несколькими способами. При разборе различных способов решения одной и той же задачи учащиеся должны оценить все плюсы и минусы способа и выбрать наиболее удачный. Возможность проведения анализа, выбор рационального способа решения воспитывают самостоятельность учащихся, способствуют прочности усвоения геометрического материала.

В дидактический комплект могут включаться:

1.                 Справочные таблицы.

2.                 Задания с готовыми чертежами.

3.                 Блок ключевых задач планиметрии и группы задач с их использованием.

4.                 Материалы для проведения контроля за знаниями учащихся, разноуровневые задания.

5.                 Наборы задач с решениями несколькими способами.

                                                                II.                        Рекомендации по проведению обобщающего темы «Четырехугольники»

Повторение планиметрии можно провести с помощью специально подобранных упражнений по каждой из основных тем геометрии 7-9 классов. Система упражнений направлена на ликвидацию недостатков в знаниях по планиметрии учащихся 9-х классов, кто планирует успешно сдать выпускной экзамен по математике, а также далее обучаться в 10-11 классах. Предлагаемая система упражнений направлена на формирование специальных математических навыков решения планиметрических задач. При этом из курса 7-9 классов выбраны только те умения и навыки, которые имеют широкое применение при решении задач по стереометрии, а также на ЕГЭ.

Заключительное повторение курса планиметрии можно построить на основе повторения свойств основных геометрических фигур – треугольников, четырехугольников, окружности и круга. Таким образом, весь учебный материал курса организуется по принципу наиболее полного описания свойств и признаков каждой из геометрических фигур.

В данном сборнике предложены задания для повторения учебного материала, отражающего свойства одной из основных фигур планиметрии – четырехугольника. Учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Четырехугольник, как и треугольник, является еще одной из основных «рабочих» фигур изучаемого в школе курса планиметрии, а также широко применяемого и при изучении стереометрии (выход на четырехугольные призмы и пирамиды, различные сечения цилиндра).

                                                          III.            Теоретические сведения и задания для повторения основных свойств четырехугольников

В этой теме идет закрепление знаний по теме «Признаки равенства треугольников» и умений учащихся применять признаки при доказательстве теорем данного параграфа и решении задач. В задачах по теме «Четырехугольники» идет применение всех знаний свойств треугольников. Углубляются общие представления учащихся о признаках и свойствах геометрических фигур. Свойства четырехугольников широко применяются при решении задач других разделов планиметрии («Преобразования фигур», «Векторы на плоскости»), а также при изучении свойств многогранников в стереометрии и решении задач на нахождение некоторых линейных элементов многогранников, вычисление площадей их поверхности и объемов.

Принятые обозначения:
a, b    – смежные стороны, – угол между ними;
h_a           – высота, проведённая к стороне а;
d₁, d₂  – диагонали;  – угол между ними;
S       – площадь;
r, R    – радиусы вписанной и описанной окружности;
р       – полупериметр.

Повторение темы «Четырехугольники» можно начать с рассмотрения справочной таблицы «Классификация четырехугольников» (см. Приложение), которую следует составлять вместе с учащимися на доске и в тетрадях. В таблице видна классификация четырехугольников по различным элементам. Таким образом, осуществляется систематизация сведений о четырехугольниках, повторение определений всех видов четырехугольников.

Далее следует повторить свойства и признаки параллелограммов и трапеции. При повторении можно обратиться к следующей таблице.

1.     Свойства и признаки параллелограммов и трапеции

Справочная таблица

Параллелограмм
Ромб
Прямоугольник			Квадрат
Равнобедренная трапеция

На применение определения, свойств и признаков параллелограмма можно решить устные задачи с использованием готовых чертежей. Далее навык решения задач на применение признаков параллелограмма используется в теме «Векторы. Координаты на плоскости» (при решении задач) и в 10, 11 классах при изучении свойств многогранников.

Тренировочные упражнения:

I
Доказать, что ABCD – параллелограмм
1)	2)		3)		4)
5)	6)		7)		8)
Свойства параллелограмма                                II
Найти углы параллелограмма
1)		2)		3)
4)		5)		6)
III
Найти стороны параллелограмма ABCD, если PABCD=24см
1)		2)		3)
4)		5)		6)
7)		8)		9)

Приведенные тренировочные упражнения направлены на формирование навыка нахождения углов, сторон, периметра четырехугольников с помощью свойств параллелограммов, а также свойств треугольников. Этот навык потребуется в 10-11 классах при решении задач на нахождение некоторых линейных элементов многогранников и площадей их поверхностей.

IV
Найти периметр
Параллелограмм	Прямоугольник		Ромб		Квадрат
1)	3)		5)		7)
2)	4)		6)		8)
V
Найти все неизвестные углы
1)	4)		7)		10)
2)	5)		8)		11)
3)	6)		9)		12)
Определение и признак праллелограмма VI
1)      Дано: ABCD –  четырехугольник. Доказать: MNPQ – параллелограмм.		2)      Дано: ABCD – трапеция, ÐBEA=ÐCDA. Доказать: BCDE – параллелограмм.		3)      Дано: AF=BC, ÐEAF=ÐBCE Доказать:  ABCF – параллелограмм.
4)      Дано: ABCD – трапеция, BC=ED. Доказать: BCDE – параллелограмм.		5) Дано: ABCD – параллелограмм, AM=AB, BZ=BC,CN=CD, DK=AD Доказать: MZNK – параллелограмм.		6)      Дано: ABCD – ромб. Определить вид четырехугольника MLKP.
2.     Средняя линия трапеции Справочная таблица Задачи на применение свойств средней линии трапеции:    VII
1)      Дано: ABCD – трапеция. Доказать: MP – средняя линия.		2)      Дано: ABCD – трапеция, MN=21см, МК:КР:РN=2:3:2 Найти: AD и BC.		3) Дано: ABCD – трапеция, MN||PQ||RS||AD, BC=15см, AD=23см. Найти: MN, PQ, RS.
4)      Дано: ABCD – трапеция, AM=MB=CN=ND, AK=3, BC=7. Найти MN.		5)      Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия, MN=18см, ÐBCD=135°, AB^AD, BC:AD=1:8. Найти: PABCD.		6)      Дано: MK=3дм, NK=5дм. Найти: PABCD.

3.     Формулы площадей

Прочные знания формул площадей нужны при решении задач на вычисление площадей поверхности и объемов многогранников и тел вращения. Все формулы площадей четырехугольников сведены в справочную таблицу. Работу по формированию или восстановлению соответствующих навыков можно провести, используя тренировочные упражнения.

Справочная таблица

Тренировочные упражнения: Вычислить площадь фигуры

В планиметрии часто знание формулы площади фигуры используется для вычисления некоторых линейных элементов, таких как высота, радиусы вписанной и описанной окружностей.

4.     Вычисление некоторых линейных элементов четырехугольников
с использованием формулы площади

Справочная таблица

Найти h		Найти r
	Дано: ABCD– пара­лле­ло­грамм, AD=6, AB=5, CE^AB, CE=3, CF^AD. Найти CF.		Дано: ABCD– ромб, AC=20, BD=15. Найти: r.
Решение: SABCD=AD×CF, и SABCD=AB×CE. AD×CF=AB×CE; . Ответ: CF=2,5.		Решение: SABCD=150. BC=12,5. SABCD=4SBOC=. , r=6. Ответ: r=6. Вывод: .

Задачи на вычисление площадей четырехугольников:

I.          Задачи на применение теоремы об отношении площадей подобных фигур

1.      Основания AB и CD трапеции ABCD соответственно равны a и b; O – точка пересечения диагоналей. Найти отношение площадей DABO и трапеции ABCD.

Дано:         ABCD – трапеция,
                   AB||CD, ACÇBD=O, AB=a, CD=b.

Найти:        .

Решение:

1 способ:

1.     Через точку O построим высоту KM=H, OM=h.

2.     .

3.     DAOB¥DCOD, значит , , .

4.     .

2 способ:

1.     Проведем CE||BD до пересечения с прямой AB в точке E. Так как DCEB – параллелограмм, то BE=b, AE=a+b.

2.     S_DACE=S_ABCD, так как S_DADC=S_DCBE (CD=BE – основания, а высоты треугольников равны).

3.     DAOB¥DACE (OB||CE),
 Þ .

Ответ: .

2.        В трапеции ABCD (AD||BC) диагонали пересекаются в точке O.
Найти площадь трапеции ABCD, если площадь DBOC равна S₁, а площадь DAOD равна S₂.

Дано:         ABCD – трапеция,
                   AD||BC, ACÇBD=O, S_DBOC=S₁, S_DAOD=S₂.

Найти:        S_ABCD.

Решение:

1 способ

1.     Пусть OE=h (OE^BC), OF=H(OF^AD), где O – точка пересечения диагоналей, BC=a, AD=b.
; , т.е. , .

2.     DBOC¥DDOA, следовательно .

3.     Умножим обе части (*) на bh, получим , .

4.     Умножив обе части (*) на aH, получим , .

5.    

2 способ:

1.     S_DABC= S_DBCD, значит S_DAOB= S_DCOD.

2.     , где в первом отношении высота опущена из точки C, а во втором – из точки A.
Тогда  или , , .

3.     .

Ответ: .

II.      Задачи на вычисление площадей фигур различными способами:

3.      В трапеции основания равны 12 и 30, а диагонали равны 20 и 34. Найти площадь трапеции.

Дано:         ABCE – трапеция, AE||BC,
                   AE=30, BC=12, AC=34, BE=20.

Найти:        S_ABCE.

Решение:

K

H

Продолжим основание AE на  отрезок EF=12см, соединим точки F и C.

1 способ:

1.     В DACF: AF=42, AC=34, CF=20, , по формуле Герона
.

2.     Высоты DACF и трапеции равны. .

2 способ:

Докажем, что S_ABCE=S_ACF.

Действительно, S_ABCE=S_ABC+S_ACE, S_ACF=S_CEF+S_ACE,
но S_ABC=S_CEF, т.к. в этих треугольниках основания BC и EF равны, а высоты проведенные к ним также равны.

Ответ: S_ABCE=336.

3 способ: Пусть . Выразим высоты  и  из прямоугольных треугольников  и :

, ;

, ; учитывая, что , получаем

;

, .                            Ответ: S_ABCE=336.

5.Вписанная и описанная окружности

Справочная таблица

	В любом вписанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны
	В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Задачи на применение свойств вписанной и описанной окружностей:

1.	Найдите углы четырехугольника , вписанного в некоторую окружность, если .
2.	В равнобедренной трапеции длины оснований равны 6 см и 2 см, а длина высоты – 2 см. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.
3.	Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 6 см. Найдите периметр и площадь трапеции, если один из ее углов равен .
4.	В четырехугольник  вписана окружность, . Найдите периметр четырехугольника.
5.	Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 12 и 20. Найдите большую из оставшихся сторон.
6.	В четырехугольник  вписана окружность, . Найдите четвертую сторону четырехугольника.
7.	Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:5:9. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 20.
8.	Около окружности диаметром 15 описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17. Найдите длину большего основания трапеции.
9.	Найдите периметр четырехугольника , описанного около некоторой окружности, если .
10.	Прямоугольник вписан в окружность радиусом . Одна из его сторон равна . Найдите смежную с ней сторону прямоугольника.
11.	Трапеция  вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее меньшее основание  равно 24, , .
12.	Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.
13.	В равнобедренной трапеции длины оснований равны  и , а длина высоты - . Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.
14.	В окружность вписан четырехугольник , в котором . Найдите величины остальных углов этого четырехугольника и диаметр описанной около него окружности.

Тест по теме: Четырехугольники

Вариант 1

1.      В ромбе сторона равна 6 см, а один из углов 60°. Радиус окружности, касающейся сторон и меньшей диагонали ромба равен
1 3 см	2  см	3 4 см	4  см	5  см
2.      В описанном около окружности четырехугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 2:3. Длина большей из этих сторон составляет
1 25 см	2 26 см	3 27 см	4 28 см	5 29 см
3.      Если боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции соответственно равны 8, 10, 10, то ее большее основание равно
1 18	2 14	3 12	4 20	5 16
4.      В равнобедренной трапеции диагональ составляет угол 30° с основанием, а высота равна 2. Найти среднюю линию трапеции.
1 1	2 2	3	4	5
5.      Диагональ параллелограмма образует с одной стороной, равной 8, угол 60°, а с другой 75°. Длина диагонали составляет
1	2	3	4	5 5

Вариант 2

1.      В ромбе сторона равна 6 см, а один из углов 60°. Радиус окружности, касающейся сторон и большей диагонали ромба равен
1  см	2  см	3 4 см	4  см	5  см
2.      В описанном около окружности четырехугольнике сумма двух противоположных сторон равна 40 см. Остальные две стороны относятся как 1:3. Длина большей из этих сторон составляет
1 25 см	2 26 см	3 27 см	4 28 см	5 30 см
3.      Если боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции соответственно равны 4, 5, 10, то ее большее основание равно
1 18	2 14	3 13	4 20	5 16
4.      В равнобедренной трапеции диагональ составляет угол 45° с основанием, а высота равна 2. Найти среднюю линию трапеции.
1 1	2 2	3	4	5
5.      Диагональ параллелограмма образует с одной стороной, равной 8, угол 60°, а с другой 15°. Длина диагонали составляет
1	2	3 4	4	5 5

При итоговом повторении можно предложить учащимся решить задачи на разные темы, где фигурируют четырехугольники:

	Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 8, отсекает треугольник, периметр которого равен 17. Найдите периметр трапеции.
	Диагонали четырехугольника равны 7 и 25. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
	Найдите площадь трапеции с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4.
	В равнобедренной трапеции основания равны 40 и 24, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

ЛИТЕРАТУРА

1.     Блинков А.Д. Сценарии уроков геометрии [9 класс]//Современный урок. – 2009. - №1. – с. 15 – 28.

2.     Вольфсон Б.И., Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9. Учимся решать задачи: учебное пособие/Б.И.Вольфсон, Л.И.Резницкий. – Ростов н/Д: Легион – М, 2011. – 2011. – 224с.

3.     Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2008. – 368с.

4.     Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 9 класс. – М.: ВАКО, 2005. – 320с.

5.     Геометрия.7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/[Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 384с.

6.     Гордин Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2011. – 176с.

7.     Гусев В.А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. Спец. Пед. ин-тов и учителей/В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1992. – 352с.

8.     Далингер В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя/В.А. Далингер. – М.: Просвещение, 2006. – 256с.

9.     Далингер В.А.. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 80с.

10. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания/ И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров, В.С.Панферов, С.Е.Посицельский и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. – 63с.

11. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ. – М.: Интеллект-Центр, 2010. – 96с.

12. Корикова Т.М., Ястребов А.В. Справочные материалы по общей методике преподавания математики [Текст]: учебное пособие. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2009. – 60с.

13. Кочагин В.В. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник заданий/В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина. – М.: Эксмо, 2009. – 208с.

14. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416с.

15. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие./Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина и др.; Под ред. Ю.М. Колягина. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2009. – 732с.

16. Мищенко Т.М. Заключительное повторение курса планиметрии//Математика в школе. – 2004. - №3. – с.19 – 33.

17. Мищенко Т.М., Рослова Л.О. Курс по выбору для IX класса «Избранные вопросы математики»// Математика в школе. – 2004. - №4. – с.20 – 25.

18. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч. 1. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 320с.

19. Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7 – 9 классы. Геометрия. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003. – 56с.

20. Российская педагогическая энциклопедия: В 2 т./Гл. ред. В.В. Давыдов. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. – 672с., ил. Т. 2. – М-Я – 1999.

21. Семенов А.В. Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. Единый государственный экзамен 2012. Математика. Учебное пособие./А.В.Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко, П.И.Захаров; под ред. И.В.Ященко; Московский центр непрерывного математического образования. – М.: Интеллект-Центр, 2012. – 112с.

22. Смирнов В.А. Геометрия. Планиметрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ/Под ред. А.П.Семенова, И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2009. – 256с.

23. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1989. – 576с.

24. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7 – 9 кл. – М.: Дрофа, 1997. – 352с.

25. Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994. – 252с.

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Классификация четырехугольников

 

Краткое описание документа:

Разработанный дидактический комплект направлен на ликвидацию пробелов в теоретическом материале и его систематизацию, отработку умений и навыков решения задач по теме «Четырехугольники». Здесь предусмотрено повторение свойств четырехугольников через решение задач. Дидактический комплект содержит задачи, навык решения которых потребуется при изучении стереометрии, а также при подготовке к ГИА в 9 классе и ЕГЭ.