Справочный материал для учеников по теме "Квадратное уравнение"

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

ax² + bx = 0, a≠0, b≠0

Пусть неполное квадратное уравнение имеет вид , где a ≠ 0; b≠ 0. В левой части этого уравнения естьобщий множитель .

1. Вынесем общий множитель  за скобки.

Мы получим . Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем или . Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

Пример 1.

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ: 0; 4.

2. Решаем получившуюся систему уравнений.

Решив эту систему, мы получим  и . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня  и .

ax² + c = 0, a≠0, с≠0

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим .

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если , то получаем два корня: 

если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Пример 2.

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня  и 

ax² = 0, a≠0

Разделим обе части уравнения на , мы получим , . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень . В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень .

Решение полного квадратного уравнения

Найдем решение полного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения  называется выражение b² — 4ac.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. D > 0. Тогда корни уравнения равны:

2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня: 

3. D < 0. В этом случае уравнение не имеет решения.

Теорема Виета

Теорема Виета — сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.

Обратная теорема — если сумма двух чисел x₁ и x₂ равна p, а произведение этих числе равно q, то числа x₁ и x₂являются корнями приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен — многочлен вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, a,b,c — некоторые числа.

Значения переменной , которые обращают квадратный трехчлен в нуль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена — это корни квадратного уравнения .

Теорема. Если квадратное уравнение  имеет корни , то его можно записать в виде: x² + bx + c = a (x — x₁)(x — x₂).

Пример 3.

Разложим на множители квадратный трехчлен: 

Сначала решим квадратное уравнение:

Получим:  и 

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители: