Справочные материалы по геометрии 8 класс

Тема: Четырехугольники
	Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.	определение
Соседние стороны	Стороны четырехугольника, являющиеся соседними отрезками	определение
Противолежащие стороны	Стороны четырехугольника, не являющиеся соседними сторонами	определение
Соседние вершины	Вершины, являющиеся концами одной стороны	определение
Противолежащие вершины	Не соседние вершины четырехугольника	определение
Диагонали четырехугольника	Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника
Соседние углы	Углы четырехугольника, принадлежащие одной стороне четырехугольника	определение
Противолежащие углы	Углы четырехугольника, не являющиеся соседними	определение
Выпуклый четырехугольник	Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон. Все углы выпуклого четырехугольника меньше развернутого угла	определение
	Сумма        углов          выпуклого          четырёхугольника         равна           360°: A+ B+ C+ D=360°.	теорема

	В невыпуклом четырехугольнике только один из углов может быть больше развернутого	следствие
Тема: Параллелограмм
	Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны: AB||CD,   BC||AD.	определение
	У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны: AB=CD,   BC=AD;  A= C,   B= D.	свойства
	Параллелограмм является выпуклым четырехугольником	следствие
	Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам: AO=OC;   BO=OD. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника: ABC= CDA;   ABD= CDB.	свойства
	Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм. Если  у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.	признаки

	Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противолежащую сторону	определение
Тема: Прямоугольник
Прямоугольник	Параллелограмм, у которого все углы прямые: A= B= C= D=90°.	определение
	Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:  AC=BD; AO=BO=CO=DO.	свойства
Признаки прямоугольника 1)               Если в параллелограмме все углы равны, то он является прямоугольником. 2)               Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником. 3)               Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником. 4)               Если у четырехугольника три угла прямые, то он является прямоугольником. 5)               Если в четырехугольнике все углы равны, то этот четырехугольник является прямоугольником. 6)               Если около параллелограмма можно описать окружность, то он является прямоугольником. 7)               Если в параллелограмме квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон, то он является прямоугольником.                                          8)               Если у параллелограмма два угла, прилежащие к одной стороне, равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.		признаки

Тема: Ромб
	Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны: AB=BC=CD=AD.	определение
	Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов: AC⊥BD; ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB;   ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.	свойства
Признаки ромба 1) Если у параллелограмма 2) Если диагональ параллел 3)   Если у четырехугольника 4)   Если смежные стороны п	диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом. ограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.                    все стороны равны, то он является ромбом. араллелограмма равны, то он является ромбом.	признаки
	Тема: Средняя линия треугольника
	Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон                                                                                                              M — середина AB, N — середина BC. MN — средняя линия треугольника ABC.	определение
	Поскольку в треугольнике три стороны, треугольник имеет три средние линии. MN, MP, PN — средние линии треугольника ABC.
	Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине	свойства

Тема: Трапеция
	Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны: AD||BC.	определение
	Параллельные стороны (AD и |BC) называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами (АВ и СD).	определение
	Высота трапеции (h) – перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.	определение
	Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции: AK=KB;   CL=LD.	определение
	Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме: KL||AD;   KL||BC; KL = ½(AD+BC).	свойства
	Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.  ∠1+∠2=180∘∠1+∠2=180∘   и ∠3+∠4=180∘∠3+∠4=180∘	свойства
	Если боковые стороны равны, то она называется равнобедренной, или равнобокой.	определение
	Равнобокая трапеция:                                                                              1)диагонали равны: AC=BD; 2)углы при основании равны: ∠A=∠D, ∠B=∠C; 3)сумма противолежащих углов равна 180∘                                                       180∘ : ∠A+∠C=∠B+∠D=180∘	свойства
	4) Высота трапеции, проведенная из вершины тупого угла,делит основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - полусумме снований.	свойства
	Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям	определение
	1)             Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне. AB — высота трапеции ABCD. 2)             У прямоугольной трапеции два угла — прямые, один — острый и один — тупой. ∠A и ∠B — прямые, ∠D — острый, ∠C — тупой. 3)             Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.	свойства

Тема: Описанная и вписанная окружности четырехугольника
	Окружность называют описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины. Четырехугольник будет вписанным в эту окружность.	определение
	Центр описанной около четырехугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров	определение
	Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°	свойства
	Если в четырехугольнике сумма  противолежащих углов равна 180°,   то около него можно описать окружность.	признак
	1)Из всех параллелограммов вписать в окружность можно только прямоугольник (в том числе,  квадрат).                                                 Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.                                                                               Радиус описанной около прямоугольника окружности равен половине его диагонали.	следствие
	2) Из всех трапеций вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.	следствие

	Окружность называют вписанной в четырехугольник, если она касается всех его сторон. Четырехугольник будет описанным около этой окружности.	определение
	Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.	определение
	Если четырехугольник является описанным около окружности, то сумма его противолежащих сторон равны.	свойства
	Если в выпуклом четырехугольнике суммы  противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.	признак
	Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины (как отрезки касательных, проведенных из одной точки или как радиусы, проведенные в точки касания).	свойства
	В любой ромб и квадрат можно вписать окружность	следствие

Тема: Центральные и вписанные углы
	Угол, вершина которого лежит в центре окружности называется центральным	определение
	Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Угол β тоже можно назвать центральным. Только он опирается на дугу, которая больше 180°	свойства
	Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность,  называется вписанным.	определение
	Величина (градусная мера) вписанного угла равна половине угловой величине (градусной мере) дуги, на которую он опирается. Или половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. α=β/2	свойства
	Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны	свойства
	Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°              α+β=180°	свойства
	Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, - прямые	свойства

Тема: Решение прямоугольных треугольников
	Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.	лемма
	Отрезки АН и НВ называют проекциями катетов АС и СВ соответственно	определение
b	Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенный к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.               СН²=АН*НВ                      ИЛИ:	свойство высоты прямоуг. треугольника
	Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.       СН=	свойство высоты прямоуг. треугольника
	Квадрат катета прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.                                       АС²=АН*АВ;   СВ²=НВ*АВ	свойство катета треугольника
	Если длины отрезков обозначить так: АС=b, АВ=с, ВС=а, СН=hс, АН=bс, НВ=ас, то данные соотношения принимают вид:                                            hс²= ас*bc ;  a²= c*ac  ;   b²= c*bc                                                                              Эти равенства называются метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.	определение

	В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.                                                                                   АВ²=СВ²+АС²       ИЛИ           с²=a²+b²	свойство гипотенузы прям. треугольника (теорема Пифагора)
	Теорема Пифагора дает возможность по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:                                                                       с                        ,           a                       ,         b
	Из равенства с²=a²+b² следует, что с² > а² и с² > b², отсюда  с >а и с > b, то есть гипотенуза больше любого из катетов.	следствие
	Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотинузе.                                   Sin α = a/c,     sin β=b/c
	Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотинузе.                                           Cos α = b/c,     cos β =a/c
	Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему катету.                  Tg α =  a/b,     tg β =b/a
	Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего  катета к противолежащему катету.           Ctg α = b/a,     ctg β = a/b.

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла
Каждому острому углу α соответствует единственное число, являющееся значением синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является  функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической.      Так, y = sin α, y = cos α, y = tg α, y = ctg α - тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.
Тангенс и котангенс одного острого угла можно выразить через синус и косинус     tg         , ctg
Тангенс и котангенс одного острого угла взаимнообратные числа, то есть   tg α * ctg α = 1
Основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1
Sin α = cos β = a/c , sin β = cos α = b/c, tg β = ctg α = b/a, tg α = ctg β = a/b.                                 Так как α + β = 90°=> β = 90° - α    =>		зависимость между величинами
Сos(90° - α)= sin α, Sin(90° - α)= cos α, Tg(90° - α)= ctg α, Ctg(90° - α)=tg α.
Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике
	Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету. а=с*sinα, b=c*sinβ	формула нахождения катета
	Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету. b=c*cosα, a=c*cosβ.	формула нахождения катета
	Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету. a=b*tgα, b=a*tgβ.	формула нахождения катета
	Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету. a=b*сtgβ, b=a*сtgα.	формула нахождения катета
	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус, противолежащего ему угла  c=a/sin α,  c=b/sin β	формула нахождения гипотенузы
	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус, прилежащего к нему угла  c=b/cos α,  c=a/cos β	формула нахождения гипотенузы

		Тема: Многоугольники. Площадь многоугольника
			Фигуру, составленную из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки   не имеют общих точек называют многоугольником	определение
	В E	С D	ABCDEFG-многоугольник. Отрезки  AB и BC; BC и CD; CD и DE; DE и EF; EF и FG; FG и GH, GH и HA -смежные не лежат на одной прямой.                                                       Отрезки несмежные -  не имеют общих точек.	определение
			A,B,C,D,E,F,G, H- вершины   многоугольника.	определение
			AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA -стороны многоугольника	определение
			Сумма длин сторон  AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA -называется периметром многоугольника	определение
			Вершины, являющиеся концами одной стороны называются соседними	определение
			Отрезок, соединяющий две несоседние  вершины называется диагональю.	определение
			AC, AD, AE, AF, AG- диагонали многоугольника, проведённые из вершины А.	определение
			Многоугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.                                                                                                                  Все углы выпуклого многоугольника меньше развернутого угла	определение, свойство

	Многоугольник называется невыпуклым, если он лежит по разные стороны от хотя бы одной прямой, проходящей через две соседние вершины.	определение
	Выпуклый многоугольник, отличный от треугольника, содержит любую свою диагональ.	свойство
	Формула для вычисления числа диагоналей многоугольника:                         d = n(n-3)/2,                                                                                                          где d – число диагоналей, n – число сторон многоугольника	формула
	Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2),             где n - количество сторон выпуклого многоугольника	теорема
	Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Многоугольник будет вписанным в эту окружность. Центр описанной около многоугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.	определение

	Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник будет описанным около этой окружности. Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.	определение
	Площадь - это некая положительная величина, характеризующая геометрическую фигуру, расположенную на плоскости или на иной поверхности.  Обычно площадь обозначается буквой S. Площадь многоугольника  показывает сколько раз единица измерения или её части укладываются в данном многоугольнике.	определение
	За единицу измерения площади принимают единичный квадрат, т.е. квадрат со стороной, равной  единице измерения длины.	свойство
	Равные многоугольники имеют равные площади.	свойство
	Многоугольники, имеющие равные площади называются равновеликими.	определение

	Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. S1=S2+S3	свойство
	S = B + Г:2 – 1,  S – площадь многоугольника;                                                                          В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника      Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника,              В=7,    Г=8,           S=7+8:2 -1 = 10	формула Пика
S=a²	Площадь квадрата равна квадрату его стороны	формула
S=ab	Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон	формула
	Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведенной к этой стороне                                                                                  S= aha = bhb	формула, теорема
b	Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и высоты, проведенной к этой стороне.                                                                  S= 1/2 aha = 1/2 bhb = 1/2 chc	формула, теорема

	Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов                                                                                                                     S = 1/2 ab	формула, следствие
	Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.                                           S= 1/2 chc	формула
	Площадь любого треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:  S= 1/2 ab * sin α	формула
	Площадь  прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:                                                                      S=1/2bc sinα,    S=1/2ac sinβ	формула
	Площадь равностороннего треугольника равна произведению квадрата стороны на sin α.                                                                                                  S= a² * sinα	формула
	Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.	формула
	Наименьшая высота треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне, а наибольшая высота треугольника — проведенная к наименьшей стороне.	следствие
	Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей                      S= 1/2 d1d2	формула
	Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.       S=(a+b)/2 * h	формула, теорема
	Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.           S= mh, где m - средняя линия трапеции.	формула, следствие

Тема: Пропорциональные отрезки
			Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.	теорема (теорема Фалеса)
			Отношение отрезков - это отношение длин этих отрезков, выраженных в одних и тех же величинах.                                                                                 Отношение отрезков  AB  и  VN  равно  2:1 :  AB/VN=2/1 .  Можно также сказать, что отношение отрезков  VN  и  AB  равно  1:2 :  VN/AB=1/2 .                                                                                                           Отношение отрезков  AR  и  VZ  равно  3:2 :  AR/VZ=3/2 или  VZ/AR=2/3 .	определение
			Если отношение отрезков  a  и  b  равно отношению отрезков  c  и  d , т. е.  a/b=c/d , то эти отрезки называются пропорциональными.                            Сравним отношения отрезков  AB/VN и AH/VT .                                      AB/VN=2/1 и AH/VT=4/2=2/1                                                                               2/1=2/1 . Значит,  AB/VN=AH/VT  — эти пары отрезков пропорциональны.                  Чтобы записать отношение отрезков, необходимы два отрезка. Чтобы найти пропорциональные отрезки, необходимы две пары отрезков.	определение

	Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.                                                                         ОА1/ОВ1= А1А2/В1В2 = ОА2/ОВ2                                                                                                                             ОА1/ОА2 = ОВ1/ОВ2	теорема (теорема о  пропорциональных отрезках)
	Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.	свойство медиан треугольника
	Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:	свойство биссектрисы треугольника

Тема: Подобные треугольники
	Подобные треугольники  — это треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.                                            (АВС  А1В1С1)	определение
	Число k, которое равно отношению соответствующих сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.                                       (АС/А1С1=АВ/А1В1=ВС/В1С1= k)	определение
1) Периметры подобных тр	еугольников относятся как их соответствующие стороны:	свойства подобных треугольников
2) Соответствующие линей т.д.) относятся как их соотв	ные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и етствующие стороны.	свойства подобных треугольников
3) Площади подобных фигу	р относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:	свойства подобных треугольников
	Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.	лемма
Лемма	Вспомогательная теорема, которую используют для доказательства других теорем.	определение
	Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.	Первый признак подобия треугольников
1. Равносторонние треугол  2. Равнобедренные треугол основании. 3.    Два прямоугольных треу 4.    Равнобедренные прямоуг	ьники подобны.  ьники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при гольника подобны, если она имеют по равному острому углу. ольные треугольники подобны.	следствие
	Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны.	Второй признак подобия треугольников
Прямоугольные треугольн	ики подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.	следствие
	Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.	Третий признак подобия треугольников
	Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.	Четвертый признак подобия треугольников

Теоремы
Свойства и признаки вписанной и описанной окружности четырехугольника
Определение	Чертеж	ДАНО	Доказательство
Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°		Дано: АВСD - четырехугольник вписанный в Окр.(О; R)             Доказать:               А+ С=180°        В+ D=180°	Так как углы А и С вписанные в окружность, то     А=1/2ᴗBCD и С=1/2ᴗDBA.                               Имеем: ᴗBCD+ᴗDBA=360°.                                         Тогда А+ С=180°                                                     АНАЛОГИЧНО можно доказать, что                         В+ D=180°
Если четырехугольник является описанным около окружности, то суммы его противолежащих сторон равны.	a	Дано: АВСD - четырехугольник описанный около Окр.(О; R)             Доказать:  АВ+DC=BC+AD	Точки М, К, F, N - точки касания окружности со сторонами четырехугольника.                                    Так как отрезки касательных, проведенных к  окружности через одну точку, равны, то АМ=АN, BM=BK, CK=CF,DN=DF.                            Пусть АМ=a, BM=b, CK=c, DN=d.                            Тогда:                                                        АВ+DC=a+b+c+d,                                                        BC+AD= b+c+a+d.                                                       Следовательно,   АВ+DC=BC+AD

Если в четырехугольнике сумма  противолежащих углов равна 180°,   то около него можно описать окружность.		Дано: АВСD - четырехугольник  А+ С=180°        Доказать: АВСD вписан                    в Окр. (О; R)	Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через  точки А, В и С.   Где будет находиться точка D?Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри  круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.                                                       Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D' (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD' будем иметь: В +  D' = 2d.Продолжив сторону AD' до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме B + Е = 2d.Из этих двух равенств следует:  D' = 2d — B;  E = 2d — B;откуда D' =  E,но этого быть не может, так как  D', как внешний относительно треугольника CD'E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD  можно описать   окружность.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.		Дано: АВСD - четырехугольник  АВ+CD=BC+AD AO, BO - биссектрисы,         AO∩BO=О            Доказать:               АВСD - четырехугольник описанный около Окр.(О; R)	Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD.    Точка O пересечения биссектрис углов A и B равноудалена от сторон AD, AB и BC, поэтому можно провести окружность с центром O, касающуюся указанных трех сторон (рис.а).             Предположим, что это эта окружность не касается стороны CD. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей (то есть имеет две общие точки с окружностью).                                                  Рассмотрим первый случай (рис.  б). Проведем касательную С'D', параллельную стороне CD (C' и D' — точки пересечения касательной со сторонами BC и AD). Так как ABC'D' — описанный четырехугольник, то по свойству его сторон получаем AB+С'D'=BС'+AD'.          (1)         Однако по условию  АВ+CD=BC+AD         (2)         Вычтем из равенства (2) равенство (1):                     CD-С'D'=ВС-BС'+AD-AD'                                          Отсюда  CD-С'D'=С'С+D'D; CD=C'C+D'D+C'D',      т.е. в четырехугольнике C’CDD' одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно.                                                                     Аналогично можно доказать, что сторона СD не может иметь две общие точки с окружностью.

	Теоремы
	Свойство вписанного угла
Определение	Чертеж	ДАНО	Доказательство
Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.             Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.		Дано: окружность (O; R), ABС — вписанный, AOС — центральный. Доказать:	1)Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.                                             В треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны: ABO= BAO. AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: AOC= ABO+ BAO=2∙ ABO. Отсюда,

						2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.               Проведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF. Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и                                                         ∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и
						3) Если центр окружности лежит вне угла.        Проведем диаметр BF. ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и ∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и
Свойство угла между хордой и касательной к окружности
Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла.			Дано: окр. (O; R), AB — хорда, BC — касательная Доказать:             AВС=1/2ᴗАВ		1) Соединим центр окружности с концами хорды. Треугольник OAB — равнобедренный с основанием AB (так как OA=OB как радиусы). Следовательно, OBA= OAB (как углы при основании).  По теореме о сумме углов треугольника, OBA+ OAB+ AOB=180º. Значит, 3) Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла AOB.       ᴗАВ= AOB,          отсюда     AВС=1/2ᴗАВ          Чтд.

Свойство пересекающихся хорд
Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное. То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то  AF ∙ FB=CF ∙ FD		Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,                  AB ∩ CD = F	1)              Проведём отрезки BC и AD. 2)              Рассмотрим треугольники AFD и CFB.               AFD= CFB (как вертикальные); DAF= BCF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BD). Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:      AF/CF=FD/FB, то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны. По основному свойству пропорции:                        AF ∙ FB=CF ∙ FD.                              Чтд.                 При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.
Свойство касательной и секущей
Для касательной и секущей к окружности, проведённых из одной точки, квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длины секущей на длину её внешней части.		Дано: окр. (O;R), AK — касательная, AB — секущая, окр. (O;R)∩AK=K, (O;R)∩AB=B, C Доказать:	Проведём хорды BK и CK. Рассмотрим треугольники ABK и AKC. У них A — общий.  AКС=1/2ᴗСК (как угол между хордой и касательной)                                    AВК=1/2ᴗСК  (как вписанный угол, опирающийся на дугу CK). Следовательно, ABK= AKC. Значит, треугольники ABK и AKC подобны (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: АВ/АК=АК/АС                                                            По основному свойству пропорции                                        Чтд.

Теоремы
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Определение	Чертеж	ДАНО	Доказательство
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два  треугольника, каждый из которых подобен данному. Эти треугольники также подобны между собой. (лемма)		Дано: ∆АВС        ∠С=90°               CH — высота.     Доказать:      ∆ACH ∼∆ABC, ∆CBH ∼∆ABC, ∆ACH ∼∆CBH.	1)                Для треугольников ACH и ABC угол A — общий. Следовательно, ∆ACH ∼∆ABC (по  острому углу). Аналогично, для треугольников CBH  и ABC угол B — общий. Следовательно, ∆CBH∼∆ABC. 2)                Так как сумма острых углов прямоугольного  треугольника равна 90º, в треугольнике ABC ∠B=90º-∠A, в треугольнике CHB ∠BCH=90º∠B=90º-(90º-∠A)=∠A. Таким образом, в треугольниках ACH и CBH ∠CAH=∠BCH. А значит, ∆ACH ∼∆CBH (по острому углу). Что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов		Дано: ∆ ABC, C=90º. Доказать:          АВ²=СВ²+АС²	Пусть BC=a, AC=b, AB=c. На гипотенузе AB построим квадрат со стороной c.              На продолжении стороны AC отложим отрезок AF, AF=a,  на продолжении стороны BC — отрезок BK, BK=b.  CF=AF+AC=a+b, CK=BC+BK=a+b, то есть CF=CK=a+b. Через точки F и K проведём прямые, параллельные катетам: FPǁCK, KPǁCF.        Четырёхугольник CFPK — параллелограмм (по определению). А так как C=90º и CF=CK, то CFPK — квадрат со стороной a+b.                                                                         Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то SCFPK = (a+b)² .                                                                           С другой стороны, площадь CFPK равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников с катетами b и c и квадрата со стороной c. Площадь прямоугольного треугольника равны половине произведения его катетов:    S∆ABC = 1/2BC * AC= 1/2 ab,      площадь квадрата со стороной c равна c². Следовательно, SCFPK = 4* 1/2ab + c².                        Приравняем правые части формул площади CFPK:             2ab + c² = (a+b)²      Имеем: 2ab + c² = a² + 2ab + b²                  После упрощения получаем c² = a² + b²         то есть, АВ²=СВ²+АС².     Чтд.

	Теоремы
	Многоугольники
Определение	Чертеж	ДАНО	Доказательство
Сумма внутренних углов выпуклого     n — угольника равна 180º(n-2)		Дано:                         А1А2А3…Аn-1Аn - выпуклый n-угольник     Доказать:                 А1+ А2+ А3+…+ + Аn-1+ Аn= 180º(n-2)	Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника. Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника. Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º. Следовательно, сумма углов многоугольника            А1+ А2+ А3+…+ Аn-1+ Аn= 180º(n-2) Чтд.

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению стороны параллелограмма на высоту, проведённую к этой стороне.		Дано:ABCD- параллелограмм,            ВН - высота              Доказать:              S=AD * BH	Рассмотрим параллелограмм  ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоты DH и CK.        Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольникии ABH  и DCK равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника НВСК также равны, то есть площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника, но так как BC = AD, то S=AD * BH.

Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.		Дано: ∆ABC,              CF┴AB                   Доказать:                        S= 1/2 АВ*CF	1)                Проведем через вершину C треугольника прямую, параллельную стороне AB, через вершину A — прямую, параллельную стороне BC. Обозначим точку пересечения этих прямых через D. 2)                Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по определению). Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:  SABCD = AB*CF.                                                            3)                Рассмотрим треугольники ABC и CDA. AB=CD, BC=AD (как противоположные стороны параллелограмма). Сторона AC — общая. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по трем сторонам). Равные фигуры имеют равные площади:         S∆ABC = S∆CDA, SABCD = 2S∆ABC              Отсюда, площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD, то есть S∆ABC= 1/2 AB*CF. Чтд.
	Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.		Дано: ABCD -трапеция  Доказать:                          S= ((а+b)/2) *h	Пусть ABCD – данная трапеция  Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника ACD равна S=1/2 AD*CE        Площадь треугольника ABC равна S=1/2 BC*AF    Высоты AF и CE этих треугольников равны расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно,                   S= 1/2 BC*AF + 1/2 AD*CE=(1/2b+1/2a)h=      =((a+b) /2) *h.          Чтд.

	Теоремы
	Теорема Фалеса
Определение	Чертеж	ДАНО	Доказательство
Если на одной  из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их вершины провести параллельные прямые, пересекающие  вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки	Дано: l1, l2 - прямые A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3, A1, A2, A3 ∈ l1,          B1, B2, B3 ∈ l, A1A2=A2A3. Доказать: B1B2=B2B3.

Свойство медиан треугольника

Дано: ABC,              1) Пусть M — середина отрезка AO,    N —                                                                                                                                     AA1,                        середина BO                                                                                                                                    BB1,                          (то есть AM=OM, BN=ON).                                                                                                                                    CC1 — медианы       2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.                                                                                                                                                                    Тогда MN — средняя линия  треугольника AOB и                                                                                                                                    Доказать:                  MN Медианы АА1∩ВВ1= О,                       3) Такǁ AB, MN = 1/2AB.                                               как AA1 и BB1 — медианы треугольника  треугольника АА1∩СС1 = О;                                                         ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — пересекаются АО/ОА1=ВО/ОВ1= середина AC.                                                                   средняя линия                                                                                                                                    =СО/ОС1=2/1                 Следовательно, A1B1 — и в точке треугольника ABC и A1B1ǁAB, A1B1=1/2AB.            пересечения 4) Имеем:             делятся в отношении Значит, четырёхугольник MNA1B1 параллелограмм (по признаку). — 2:1, считая от По свойству диагоналей параллелограмма   ON = вершины. OB1, OM = OA1.  Таким образом,  AM=OM=OA1                                                          BN=ON=OB1,                                                                 из чего следует, что AO/OA1=BO/OB1=2/1.

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.   Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O. Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:   AO/OA1=BO/OB1=CO/OC1=2/1.  Чтд.

Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам		Дано: ∆АВС, АР — биссектриса. Доказать:             АС/СР=АВ/ВР	I. Если АС=АВ, то биссектриса АР является также медианой, СР=ВР, и АС/СР=АВ/ВР.            II.Если АС≠АВ. 1)   Опустим перпендикуляры BN и CF на луч AP. 2)   Прямоугольные треугольники ABN и ACF подобны по острому углу ( BAP= CAP, так как AP — биссектриса BAC (по условию)), следовательно, АВ/АС=ВN/CF.                               3)   Прямоугольные треугольники BNP и CFP  подобны по острому углу ( BPN= CPF (как вертикальные)), следовательно, ВN/CF=ВР/СР.     4)   АВ/АС=ВN/CF и ВN/CF=ВР/СР => АВ/АС=ВР/СР.                                                         Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому    АС/СР=АВ/ВР.            Чтд.

Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.		Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, Доказать: ΔABC~ ΔA1B1C1	1)                По теореме о сумме углов треугольника ∠C=180°-(∠A+∠B), ∠C1=180°-(∠A1+∠B1). Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то и ∠C=∠C1.             2)                На луче A1B1 отложим отрезок A1B2, A1B2=AB. 3) Через точку B2 проведем прямую B2C2, параллельную прямой B1C1. 4)                ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (как соответственные при B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1). Значит, ∠A1B2C2=∠B. 5)                В треугольниках A1B2C2 и ABC:                           ∠A1 =∠A, ∠A1B2C2=∠B, A1B2 =AB. Значит, ΔA1B2C2 = ΔABC (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: A1C2=AC. 6)                По теореме о пропорциональных отрезках, Так как A1B2 =AB и A1C2=AC, то       7)                Аналогично доказывается, что                 8)                Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1: ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1, Значит, ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по определению подобных треугольников).  Чтд.

Второй признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.		Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, ∠A=∠A1,           Доказать: ΔABC~ ΔA1B1C1	1)                Отложим на луче A1B1 отрезок A1B2, A1B2=AB. 2)                Через точку B2 проведём прямую B2С2, параллельную прямой B1C1. 3)                ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (как соответственные при  B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1). 4)                В треугольниках A1B2C2 и A1B1C1: ∠A1 — общий ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (по доказанному) Поэтому  ΔA1B2C2∼ΔA1B1C1 (по двум углам).     Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: 5)                Так как A1B2=AB и то AC=A1C2. 6)                В треугольниках ABC и A1B2C2: A1B2=AB (по построению) AC=A1C2 (по доказанному) ∠A=∠A1 (по условию). Поэтому ΔABC=ΔA1B2C2 (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABC=∠A1B2C2. 7)                Так как ∠A1B2C2=∠A1B1C1, то и ∠ABC=∠A1B1C1. 8)                В треугольниках ABC и A1B1C1: ∠A=∠A1 (по условию); ∠ABC=∠A1B1C1 (по доказанному). Следовательно, ΔABC∼ ΔA1B1C1(по двум углам).
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.		Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, Доказать: ΔABC~ ΔA1B1C1		1)             Отложим на луче A1B1 отрезок A1B2, A1B2=AB. 2)             Через точку B2 проведём прямую B2С2, параллельную прямой B1C1. 3)             В треугольниках A1B2C2 и A1B1C1: ∠A1 — общий  ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (как соответственные при  B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1). Поэтому  ΔA1B2C2∼ΔA1B1C1 (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:                  4)             Поскольку A1B2=AB, то  Так как по условию       то A1C2=AC и B2C2=BC. 5)             В треугольниках ABC и A1B2C2: A1B2=AB (по построению) B2C2=BC (по доказанному) A1C2=AC (по доказанному). Значит, ΔABC=ΔA1B2C2 (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠A1 ∠ABC=∠A1B2C2. 6)             В треугольниках ABC и A1B1C1: ∠A=∠A1 (по условию) Так как ∠A1B2C2=∠A1B1C1, то и ∠ABC=∠A1B1C1. Отсюда ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по двум углам).      Чтд.

	Теоремы
	Свойства параллелограмма
Определение	Чертеж	ДАНО	Доказательство
У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны		Дано: ABCD — параллелограмм. Доказать: AB=CD, AD=BC, ∠A=∠C, ∠B=∠D.	Проведем в параллелограмме ABCD диагональ BD.           Рассмотрим треугольники ABD и CDB. (Важно правильно назвать треугольники!) 1)                сторона BD — общая 2)                ∠ABD=∠CDB (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BD) 3) ∠ADB=∠CBD (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей BD) Значит,  ∆ABD= ∆CDB (по стороне и двум прилежащим к ней углам).                                           Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD, AD=BC и равенство соответствующих углов: ∠A=∠C. В пунктах 2) и 3) обосновано, что ∠ABD=∠CDB и ∠ADB=∠CB. Следовательно, ∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB=∠ADC, то есть, ∠B=∠D. Что и требовалось доказать.

Сумма углов параллелограмма , прилежащих к одной стороне, равна 180º.		Это свойство непосредственно вытекает из того, что углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых. Для параллелограмма ABCD: ∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB; ∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей CD; ∠A+∠D=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей AD; ∠B+∠C=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей BC.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.		Дано: ABCD — параллелограмм, AC ∩ BD=O. Доказать: AO=CO, BO=DO.		Рассмотрим треугольники AOD и COB (важно правильно назвать треугольники!)                  1) ∠ADO=∠CBO (как внутренние накрест лежащие при        AD ∥ BC и секущей BD) 2) ∠DAO=∠BCO (как внутренние накрест лежащие при       AD ∥ BC и секущей AC) 3) AD=BC (как противолежащие стороны параллелограмма) Следовательно, ∆AOD= ∆COB (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AO=CO, BO=DO. Что и требовалось доказать.
Признаки параллелограмма
Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.					Если AO=CO, BO=DO, то ABCD — параллелограмм.
Если две стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.					Если AD=BC и AD  BC, то ABCD — параллелограмм.
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.					Если AB=CD и AD=BC, то ABCD- параллелограмм.

Признаки прямоугольника
Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником. (2 признак прямоугольника)		Дано: ABCD- параллелограмм , ∠A=90º. Доказать: ABCD- прямоугольник.	1) Так как ∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние углы при BC ∥ AD и секущей AB), то ∠A=180º-∠B=180º-90º=90º. 2) ∠C=∠A=90º, ∠D=∠B=90º (как противолежащие углы параллелограмма). 3) Имеем: ABCD — параллелограмм (по условию) и у него все углы прямые (по доказанному). Следовательно, ABCD — прямоугольник (по определению). Что и требовалось доказать.
Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником. (3 признак прямоугольника)		Дано: ABCD — параллелограмм , AC и BD диагонали, AC=BD. Доказать:  ABCD — прямоугольник.	1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA (не забываем, что важно правильно назвать треугольники!).                                      1)               AC=BD (по условию). 2)               Сторона AD — общая. 3)               AB=CD (как противолежащие стороны параллелограмма). Следовательно, треугольники ABD и DCA равны (по трем сторонам). 2.                Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAD=∠CDA. 3.                ∠BAD+∠CDA=180º (как внутренние односторонние углы при AB ∥ CD и секущей AD). Пусть ∠BAD=∠CDA=xº, тогда x+x=180 2x=180 x=90 4.                Значит, ∠BAD=∠CDA=90º. Следовательно, ABCD — параллелограмм, у которого есть прямой угол. Отсюда, ABCD — прямоугольник ( по второму признаку прямоугольника).

Признаки ромба
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны , то он является ромбом.		Дано: ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, Доказать: ABCD — ромб.	1)               Рассмотрим треугольники ABO и CBO. AOB= COB=90º (так как по условию диагонали AC и BD перпендикулярны).                                                    AO=CO (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам). BO — общий катет. Следовательно, треугольники ABO и CBO равны (по двум катетам).                                                                      2)               Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: AB=BC.                                                                                 3)               CD=AB, AD=BC (как противолежащие стороны параллелограмма). 4)               Имеем: ABCD — параллелограмм (по условию), AB=BC=AD=CD (по доказанному). Следовательно, ABCD- ромб (по определению). Что и требовалось доказать.

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.

Дано: ABCD — параллелограмм, AC- диагональ, AC — биссектриса углов BAD и BCD. Доказать: ABCD — ромб.

1)                BAD= BCD (по свойству противолежащих углов параллелограмма). 2)                Так как AC — биссектриса углов BAD и BCD (по условию), то BAC= DAC= BCA= DCA.                    3)                Так как в треугольнике ABC два угла равны ( BAC= BCA), то треугольник ABC- равнобедренный с основанием AC (по признаку). Следовательно, AB=BC. 4)                Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и AD=DC. 5)                По свойству противолежащих сторон параллелограмма, AB=CD, BC=AD. 6)                Таким образом, ABCD — параллелограмм (по условию) и AB=CD=BC=AD (по доказанному). Следовательно, ABCD — ромб (по определению). Что и требовалось доказать.

Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине		Дано:                         ЕDF - треугольник,   Р∩ED, PE=ED  Q∩EF, EQ=QF         Доказать:                     PQ  DF,                      PQ = 1/2DF.	Пусть PQ — средняя линия треугольника DEF (рисунок), т. е. DP = PE и FQ = QE. На луче PQ за точку Q отложим отрезок QR, равный отрезку PQ, и точку R соединим с точкой F. Треугольники PQE и RQF равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,  RF = ЕР = DP, а ∟ EPQ = ∟ FRQ. Учитывая, что эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых РЕ и FR, пересеченных прямой PR, получаем, что эти прямые параллельны. По признаку параллелограмма, утверждаем, что четырехугольник DPRF — параллелограмм. Из определения параллелограмма получаем, что средняя линия PQ  DF. По свойству параллелограмма, получаем,  DF=PR. Но PR = 2PQ. Значит, DF = 2PQ, или окончательно, PQ = 1/2DF.

Задача. Стороны треугольника равны a, b, c. Найти стороны и периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Дано: ∆ ABC, AB=c, BC=a, AC=b, M — середина AB, N — середина BC, P — середина AC. Найти: MN, PN, MP, P(∆ ABC).

Решение: Так как точки M, N и P являются серединами сторон треугольника ABC, то отрезки MN, PN и MP- средние линии этого треугольника (по определению). По свойству средней линии треугольника             Периметр треугольника MNP   Заметим, что периметр треугольника АВС Следовательно:

Свойства трапеции
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме		Дано:  ABCD- трапеция,  KL - средняя линия трапеции, BK=KA, CL=LD. Доказать: KL||AD;   KL||BC; KL = ½(AD+BC).	Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L. На рисунке 2 это прямая BQ. А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ. Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD: По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD. Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.  BLC =  QLD, так как эти углы вертикальные.  BCL =  LDQ, так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD.                          Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно,  LBC =  LQD, BC=DQ и самое главное - BL=LQ => KL, являющаяся средней линией трапеции ABCD, также является и средней линией треугольника ABQ. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем: KL = 1/2AQ = 1/2 (AD+DQ) = 1/2 (AD+BC) KL || AD по свойству средней линии треугольника. А так как AD || BC по определению трапеции, то KL || BC.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны		Дано: ABCD- трапеция, AB=CD Доказать: А= D, АВС= ВСD
В равнобокой трапеции диагонали равны		Дано: ABCD- трапеция, AB=CD Доказать: АС=ВD
В равнобокой трапеции высота,  проведенная из вершины тупого угла, делит основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - полусумме снований.		Дано: ABCD- трапеция, AB=CD Доказать: АМ=                                     МD=