Обучение учащихся средней
школы графическому методу решения уравнений
Уравнения
в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. Школьники начинают знакомиться
с уравнениями еще в начальной школе. Содержание темы «Уравнения» постепенно
углубляется и расширяется. Задача учителя − научить школьников эффективно
решать как стандартные уравнения, так и уравнения, не являющиеся таковыми. За
сотни лет развития «царицы всех наук» люди придумали большое количество методов
решения уравнений. Большая часть этих методов основана на тождественных и
равносильных преобразованиях. А как решать уравнения,
не проводя сложных вычислений? Существует графический метод.
Учащиеся
общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с
графическим методом решения уравнений. Тем не менее, содержащиеся в
контрольно-измерительных материалах ОГЭ задания, решения которых требуют
применения графического метода, вызывают у них затруднения. Более того,
учащиеся порой не замечают возможности применения графиков к решению уравнений.
Вместе с тем, графическое решение уравнений играет немаловажную роль в
развитии пространственного воображения, мышления, исследовательских
способностей, находчивости и сообразительности. Все это обуславливает актуальность
рассматриваемой темы.
Таким образом, необходима
целенаправленная и последовательная работа по обучению учащихся графическому
методу решения уравнений. Данная статья затрагивает только уравнения с одной
переменной.
Суть графического метода
решения уравнений в следующем: при решении уравнения вида f1 (x) = f2 (x), где y = f1 (x) и y = f2 (x) – графики известных функций, строят графики этих функций. Затем
находят точки их пересечения. Абсциссы таких точек являются корнями данного
уравнения. Этот метод позволяет определить число корней, их приближенные, а
иногда и точные значения.
Для овладения графическим
методом решения уравнений необходимо сформировать у учащихся следующие умения:
1)
построение графиков функций;
2)
определение точек пересечения графика
функции с осями координат;
3)
определение точек пересечения
графиков функций, построенных в одной системе координат.
Обучение непосредственно
графическому методу решения уравнений целесообразно изучать по схеме:
·
решение уравнений вида f (x) = 0;
·
решение уравнений вида f (x) = а;
·
решение уравнений вида f1 (x) = f2 (x), где y = f1 (x) и y = f2 (x) – графики известных учащимся функций;
·
решение уравнений, сводящихся
к виду f1 (x) = f2 (x), где y = f1 (x) и y = f2 (x) – графики
известных учащимся функций.
Ниже предложены задачи,
направленные на обучение графическому методу решения уравнений, в 7 классе в
процессе изучения темы «Функции y = x2 и y = x3 и их графики» (учебник
Ю.Н. Макарычева «Алгебра, 7
класс»).
1.
Используя график функции,
изображенный на рисунке, найдите значения х, при которых у = 1; у
= – 3; у = 0.
2.
Пользуясь рисунком, выясните,
сколько решений имеют уравнения: x2 = 3; x2 = 0; x2 = –1.
3.
Пользуясь графиком функции y= x2, решите уравнение: x2 = 4;
x2 = –2.
4.
Постройте графики функций y = x2, y = 9 и найдите точки их пересечения.
5.
Решите графически уравнения: x2 = 9; x2 = –3.
6.
Постройте в одной системе
координат графики функций y= x2 и
y =7x – 6 и найдите точки их пересечения.
7.
Решите уравнение x2
= x + 6, используя графики
функций y = x2 ,
y = x + 6.
8.
Решите графически уравнение: a) x2 = 6 – 5x; б) x2 – x = 6;
в) x2 +2x – 3 = 0; г) x3 + 5x = 6; г) x3 + x = 4.
Далее следуют задания без указания метода их решения.
9. Сколько корней имеет уравнение x3 – 2x +8 = 0.
Затем появляются более сложные задания, например, с параметрами.
10.
При каком значении а
уравнение x2 = a, имеет более одного
решения.
11.
При каком значении a уравнение x2 – a + 8 = 0 имеет одно решение.
После
изучения «новых» функций необходимо расширять и углублять систему задач,
направленную на формирование умений учащихся решать уравнения графическим
методом.
Графический метод имеет
ряд недостатков. Во-первых, построение графиков функций − трудоемкий процесс,
требующий много времени. Во-вторых, решение уравнений графическим методом позволяет
найти лишь приближенные значения корней. Однако, его преимущества бесспорны: графический
метод является эффективным при решении нестандартных уравнений, решение которых
аналитически приводит к громоздким и трудным вычислениям. При применении графического
метода график функции строится не ради графика, а для решения другой задачи,
становясь, таким образом, не целью, а средством, помогающим решить уравнение. Можно отметить, что он создает большие возможности для
активизации учебной работы по наблюдению, сравнению, обобщению. Вместе с тем,
графическое решение уравнений играет немаловажную роль в развитии
пространственного воображения, мышления, исследовательских способностей,
находчивости и сообразительности.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.