Статья " Проблемное обучение на уроках математики"

Проблемное обучение на уроках математики

Шарифьянова В.Т. учитель математики МОБУ СОШ №6

                                                                                                             Замечено, чем больше учитель учит

                                                                                           своих учеников и чем меньше –

                                                                                               предоставляет им возможностей

                                                                                                       самостоятельно приобретать знания,

                                                                                               мыслить, действовать, тем менее

       энергичным  и плодотворным становится

процесс обучения.

И. Лернер

Главная задача каждого учителя сегодня - не только обеспечить прочное и осознанное усвоение знаний, умений и навыков, но и развитие способностей учащихся, приобщение их к творческой деятельности.

К сожалению, очень часто учитель не предоставляет свободы ученику, когда он пытается ответить на вопрос. Учитель не ждёт, сразу же задаёт другой наводящий вопрос. Можно ли учить так, чтобы каждый ребёнок рассуждал над проблемой своим путём, своим темпом, но при необходимости мог сопоставить свою точку зрения с одноклассниками, может даже изменить её? Да, можно.
Помочь ученику раскрыться, лучше использовать свой творческий потенциал помогает создание проблемных ситуаций на уроке.
Проблемное обучение – это «начальная школа» творческой деятельности.
Сегодня под проблемным обучением понимается такая организация учебных занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями и развитие мыслительных способностей. 
Для меня в процессе обучения главным является постановка перед учащимися на уроках небольших проблем и стремление решить их вместе с детьми. 
Как же создавать проблемные ситуации?

Математика начинается вовсе не со счета, что кажется очевидным, а с загадки, проблемы. Чтобы у  школьника развивалось творческое мышление, необходимо, чтобы он почувствовал удивление и любопытство, повторил путь человечества в познании, удовлетворил с аппетитом возникшие потребности в записях. Только через преодоление трудностей, решение проблем, ребенок может войти в мир творчества.

Увлечение создает то напряжение духовных сил, которое ведет к развитию способностей. Все знают: у кого большие способности, у того обычно есть интерес к занятиям. Но не все знают обратное правило: у кого больше интереса, у того быстрее развиваются способности. Увлечение и способности тесно связаны между собой.       

Именно на проблемное обучение возложена роль в достижении цели: развитие творческого мышления.

Проблемное обучение не сводится к тренировке учащихся в умственных действиях. Цель активизации путем проблемного обучения состои в том, чтобы поднять уровень усвоения ими понятий и обучить не отдельным мыслительным операциям в случайном, стихийно складывающемся порядке, а системе умственных действий для решения нестереотипных задач. Эта активность заключается в том, что ученик, анализируя, сравнивая, синтезируя, обобщая, конкретизируя фактический материал, сам получает из него новую информацию. Другими словами, это расширение, углубление знаний при помощи ранее усвоенного и новое применение прежних знаний. Новому применению прежних знаний не могут научить ни книга ни учитель – это ищется и находится учеником, поставленным в соответствующую ситуацию. Постепенное овладение учащимися системой творческих умственных действий приводит к накоплению умений, навыков, опыта таких действий изменению качества самой умственное деятельности, к выработке особого типа мышления, который называют научным, критическим, диалектическим.

Проблемное учение – это учебно-познавательная деятельность учащихся по усвоению знаний и способов деятельности путем восприятия объяснений учителя в условиях проблемной ситуации, самостоятельного анализа проблемных ситуаций, формулировки проблем и их решение посредством выдвижения предложений, гипотез, их обоснование и доказательства, а также путем проверки правильности решения. Все это умственная работа школьников проходит под руководством учителя и обеспечивает формирование сознательности и интеллектуальной активности личности.

Организация проблемного обучения предполагает применение таких приемов и методов преподавания, которые приводили бы к возникновению взаимосвязанных проблемных ситуаций и предопределяли применение школьниками соответствующих дидактической цели урока методов учения.

Проблемная ситуация может создавать на всех этапах процесса обучения: при объяснении, закреплении, контроле.

Когда я создаю проблемную ситуацию, то направляю учащихся на ее решение, организую поиск решения. Таким образом, ребенок становится в позицию своего обучения и как результат у него образуются новые знания, он овладевает новыми способами действия, учится самостоятельно мыслить. «То,  чего  человек  не приобрел путем своей самостоятельности – не его».

Трудность управления проблемным обучением состоит в том, что возникновение проблемной ситуации – акт индивидуальный, поэтому я всегда использую дифференцированный и индивидуальный подход.

Создавая на уроке проблемную ситуацию, я применяю некоторые методические приемы:

·        подвожу учащихся к противоречию и предлагаю им самим найти способ его разрешения;

·        излагаю различные точки зрения на один и тот же вопрос;

·        побуждаю  учащихся делать сравнения, обобщения, выводы из ситуации, сопоставлять факты;

·        ставлю конкретные вопросы (на обобщение, обоснования, конкретизацию, логику рассуждения);

·        определяю проблемные теоретические и практические задания;

·        ставлю проблемные задачи (с недостаточными или избыточными исходными данными; с неопределенностью в постановке вопроса; с противоречивыми данными; с заведомо допущенными ошибками; с ограниченным временем решения; на преодоление психической инерции и другим).

Проблемность при обучении математике возникает совершенно естественно, не требуя никаких специальных упражнений, искусственно подбираемых ситуаций. В сущности, каждая текстовая задача и есть своего рода проблема.

Но не всякий материал может служить основой для создания проблемной ситуации. К непроблемным элементам учебного материала относится вся конкретная информация, содержащая цифровые и качественные данные; факты, которые нельзя “открыть”. Не проблемны  все задачи, решаемые по образцу, по алгоритму, по известному способу.

Решение составной текстовой задачи нового вида требует выполнения всех тех элементов продуктивного мышления, которые свойственны исследовательскому подходу:

·        наблюдение;

·        изучение фактов (анализ условия, выделение числовых данных, осознание вопроса);

·        выявление промежуточных неизвестных (на основе анализа связей, существующих между искомыми и данными);

·        составление плана решения (при составлении которого могут возникнуть различные направления поиска ответа, могут быть найдены различные способы решения);

·        осуществление этого плана с использованием имеющихся данных, приобретенных ранее знаний, умений и навыков, формулировка ответа, проверка выполненного решения.

В соответствии с видами творчества можно выделить три вида проблемного обучения.

Первый вид – теоретическое творчество – это теоретическое использование, то есть поиск и открытие учеником нового для него правила, закона, теоремы и так далее. В основе этого вида лежит постановка и решение теоретических учебных проблем.

Второй вид – практическое творчество – это поиск практического решения, то есть поиск способа применения известного знания в новой ситуации, конструирование, изобретение. В основе этого вида проблемного обучения лежит постановка и решение практических учебных проблем.

Третий вид – художественное творчество – это художественное отображение действительности на основе творческого воображения, включающее  создание презентации, математической сказки, игры и так далее.

Все виды проблемного обучения характеризуются наличием продуктивной, творческой деятельности ученика, наличием поиска и решения проблемы. Первый вид чаще всего бывает на уроке, где наблюдается индивидуальное, групповое или фронтальное решение проблемы; второй вид – на  практических занятиях, факультативе; третий вид – на уроке или внеурочных занятиях.

Представляется необычайно полезным прививать школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно – исследовательской деятельности. По объёму осваиваемой методики исследования выделяются уроки с элементами исследования и уроки-исследования.

На уроке с элементами исследования учащиеся отрабатывают отдельные учебные приёмы, составляющие исследовательскую деятельность. По содержанию элементов исследовательской деятельности такие уроки могут быть различными, например: уроки по выбору темы или метода исследования, по выработке умения формулировать цели исследования, уроки с проведением эксперимента, работа с источниками информации, заслушивание сообщений, защита рефератов и т.д.

На уроке – исследовании учащиеся овладевают методикой научного исследования, усваивают этапы научного познания. По уровню самостоятельности учащихся, проявляемой в результате исследовательской деятельности на уроке, уроки-исследования могут соответствовать:

начальному уровню (урок “Образец исследования”),

продвинутому уровню (урок “Исследование”),

высшему уровню (урок “Собственно исследование”)

Уровень урока-  исследования.	Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.
Урок “Образец исследования”. Урок “Исследование” Урок  “Собственно исследование”	На доске обязательно пишет название основных ступеней исследовательской деятельности. Формулирует проблему, сообщает тему и цель исследования. Дает готовый алгоритм исследовательской работы. Ведет учебный процесс, используя термины: проблема, гипотеза, подтверждение гипотезы, вывод. Использует вопросы: В чем проблема? Каковы этапы деятельности исследователя? Что такое гипотеза? Как можно выдвинуть пред- положение? Данное высказывание предполагаемое или доказанное? На доске может написать названия ступеней исследования (при необходимости). Формулирует проблему. Подводит учащихся к пониманию цели исследования. Направляет деятельность учащихся в русло исследовательской работы без использования терминов: гипотеза, проверка гипотезы, интерпретация данных. Обращает внимание учеников на схему исследовательской деятельности. Использует вопросы: С чего необходимо начинать исследование? Как это сделать? Как поступил бы исследователь? Верный ли вы сделали выбор? Формулирует проблему Подводит учащихся к самостоятельному формулированию темы и цели исследования. Создает условия для исследовательской деятельности учащихся: обеспечивает учебный процесс дидактическим материалом, организовывает индивидуальную работу и деловое общение учащихся в группе и парах. Использует вопросы: Ясна ли цель? Все ли понятно в выданном материале? На каком этапе работы находитесь? Уложитесь ли по времени? Каков итог урока? Оцените результат!	Отвечают на вопросы учителя. Следуют алгоритму работы, который предложил учитель. Сверяют свои действия с образцом исследования, ис- пользуя информа- цию, записанную на доске. Самостоятельно планируют и вы- полняют исследо- вательскую работу. При необходимости консультируются с учителем. Получают оценку учителя (правильно и неправильно) за каждый этап ис- следовательской ра- боты. Планируют и про водят исследова тельскую деятель- ность самостоятель но, без непосредственной помощи учителя.

Постановка  проблемы также может осуществляться различными способами. В идеале её должен сформулировать сам ученик в результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих школьников самостоятельное определение проблемы затруднительно; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными или неточными. А потому на первых порах необходим контроль со стороны учителя.

    Необходимо отметить, что создание проблемной ситуации – это начало проблемного обучения, т.е. проблемное обучение, в первую очередь, включает в себя создание проблемной ситуации. Каким бы способом ни ставилась проблема, всегда преследовалась определенная практическая цель. Остановимся на  четырех видах постановки проблемы.

  1.  Введение в новую тему.

      Изучение нового материала следует начинать с интересной практической или исторической задачи, позволяющей создать исходную проблемную ситуацию. В результате анализа проблемной ситуации формулируется проблема Здесь можно использовать и домашние задания, которые позволяют выдвинуть на следующем уроке учебные проблемы, поставившие школьника дома в тупик.

      Проблемная ситуация возникает, если предложить ученикам выполнить какое – то действие, на первый взгляд не вызывающее затруднения. Так, перед изучением теоремы о сумме  внутренних углов треугольника можно предложить учащимся построить треугольник по трём заданным углам. По окончании выдвигается предположение о сумме внутренних углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: « В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше: в тупоугольном или остроугольном?» Практика показывает, что в каждом классе найдутся учащиеся, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника больше, чем остроугольного. На практике им предлагается проверить своё утверждение.

 2.  Решение поставленной задачи эффективным способом.

     Например, учащимся 8 класса можно предложить упростить выражение  ,  при этом преднамеренно не называя тот способ, который в данном случае предпочтительнее.

     Учащиеся выполнили задание так:

    После этого им предлагается найти более рациональный способ решения. В результате раздумий они приходят к выводу, что данное выражение можно рассматривать как дробь вида   ;  но чтобы упрощать дроби, нужно знать их свойства.

      Некоторые учащиеся сразу могут вспомнить основное свойство дроби и, применив его в конкретной ситуации и убедившись, что выполнение данного упражнения при этом упрощается, разъясняют его остальным ученикам класса:

      Затем упражнения такого типа выполняются устно.

З.  Установление связи известного учебного материала с новым.  

     При введении понятия первообразной и изучении её основного свойства учащимся предлагается найти производные таких функций:

а)       y =                     б)       y =                         в)   y =

    В результате выполнения этого задания оказалось, что для всех случаев        y^/ = x⁴. Далее ставится проблема:

     1)   Указать функцию у, для которой у^/ = х⁴. (Ответ окажется многозначным, таких функций бесконечное множество.)

      2)   Как удобнее записать ответ? (Функции, производная которых равна х⁴, имеют вид  У =, где С = const.)

После выяснения этих вопросов разрешается проблема: если F(x) -  первообразная для f(x) на некотором промежутке, то всегда ли F(x)+C – тоже первообразная для f(x) на том же промежутке? Такая постановка проблемы помогает увязать дифференцирование с новой операцией – интегрированием.

4.  Выделение отдельных сторон изучаемого вопроса для более глубокого их осмысления и запоминания сделанных выводов.

      Эта цель достигается созданием проблемной ситуации при закреплении материала. Так, говоря о размерностях, о необходимости следить за тем, чтобы все наименования при решении задач с физическим   содержанием брались в одной системе (например, в системе СИ), учащимся предлагаю найти объём фигуры, полученной от вращения криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x², осью абсцисс и прямой x = a. Решение задачи приводит к выражению

                        V =

     Получилось, что объём выражен в единицах пятой степени, а не в кубических единицах! Как устранить явное противоречие? Рассмотрев рисунок, учащиеся догадываются, что имеется а  линейных единиц, как и а  линейных единиц, но а⁵ = а² * а² * а, поэтому получается а  кубических единиц. После этого учащимся сообщается, что при интегрировании и дифференцировании за наименованиями, размерностью не следят, и вместе с ними выясняется, почему это возможно.

     Постановка проблемной ситуации не только преследует различные цели в каждом из конкретных случаев, но и в каждом из них осуществляется различными приемами, разработанными в трудах многих методистов. Наиболее простой из них – чёткая постановка проблемы учителем. Более интересным является способ создания ситуации с чётко обозначенной проблемой, но при поиске решения которой ученик должен прийти к новой, дополнительной проблеме, им самим выявленной и предусмотренной при конструировании ситуации.

     Так, на уроке геометрии в 11 классе, разрешая проблему «Как по данной прямой треугольной призме построить прямоугольный параллелепипед с объёмом в 2 раза большим, чем у данной призмы», учащиеся сами сформулировали и разрешили проблему нахождения объёма прямой треугольной призмы. Поиск вёлся всем классом, обобщение формулы для любой прямой призмы проводилось индивидуально. Тем самым теорема об объёме прямой призмы была как бы самостоятельно открыта учащимися в ходе разрешения совсем другой проблемы.

   5.  Выдвижение  гипотез  может происходить как в процессе проведения ис-пытаний или при систематизации фактического материала, так и в ходе выявления особенностей уже систематизированного фактического материала. Полезно прививать учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придаст высказываниям точность и лаконичность. Нецелесообразно изначально ограничивать число возможных гипотез.

   6.  Проверка гипотез позволяет укрепить  веру или усомниться в  истинности предположений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения ещё одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность её истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий её справедливости.

   7.   На  последнем  этапе  происходит  доказательство  истинности  гипотез,

получивших ранее подтверждение или уточнение; ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров.  На первых порах самостоятельный поиск необходимых доказательств для многих учеников представляет большую трудность. Поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки: это может быть схематическое изображение проблемной ситуации, чертёж с особыми пометками, подсказывающими идею доказательства, и т.п. Идея доказательства может зародиться в процессе выполнения испытаний, может возникнуть и при анализе систематизированного фактического материала, и на ней следует акцентировать внимание учащихся. В ряде случаев бывает проще установить равносильность двух или более гипотез и доказать одну из них, нежели искать доказательства для каждой гипотезы в отдельности.

    Полноценное выполнение исследовательского задания требует  тщательной подготовки соответствующего методического обеспечения. Исходя из основной цели опыта – формирование творческой личности учащегося, способности к саморазвитию, самосовершенствованию – в качестве приоритетного подхода в обучении и воспитании выступает поисково-исследовательский подход, неразрывно связанный с проблемным обучением. Очевидно, что проблемное обучение не ограничивается лишь  созданием проблемных ситуаций. Но поиск решения проблем,  практического применения полученных результатов превращает обучение в проблемное.

    Учитель не передаёт учащимся готовые знания, его вопросы являются лишь катализатором для их умственной деятельности. К концу урока они убеждены, что сами вывели формулу, доказали теорему и т.п., зная при этом, каким путём они шли к выводу, так как проблемное обучение требует от учителя необходимости ознакомления учащихся с аналогией, индукцией, дедукцией и т.д.

     Школьники получают знания как результат творческой работы, ими осмысливается процесс получения этих результатов, развиваются их творческие способности, убеждённость в умении самостоятельно решить проблему. В этом важная воспитательная роль проблемного обучения.

    Уже в 5 – 6 классах можно использовать элементы проблемного обучения с разными целями. Например, с целью введения учащихся в новую тему, с целью обнаружения нового свойства изучаемого математического объекта. Приведём пример, являющийся иллюстрацией постановки проблемной ситуации с целью установления новой важной связи между сложением и умножением чисел в 5 классе при изучении темы «Распределительный закон умножения относительно сложения». На данном уроке учащимся предлагается решить двумя способами следующие задачи:

Задача 1.  В школьном саду посажены фруктовые деревья в 10 рядов. В каждом ряду посажено по 5 груш и по 7 яблонь. Сколько всего деревьев посажено в саду?

Решение.

1 способ.                                                        2 способ.

(7 + 5) · 10 = 120                                           7 · 10 + 5 · 10 = 120

                              Ответ: 120 деревьев.

Задача 2.  Две автомашины одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов. Скорость первой автомашины 80 км в час, скорость второй 60 км в час. Через 3 часа автомашины встретились. Какое расстояние между пунктами, из которых выехали автомашины?

Решение.

1 способ.                                                        2 способ.

(80 + 60) · 3 = 420                                         80 · 3 + 60 · 3 = 420

                               Ответ: 420 км

Задача 3.  Найти площадь прямоугольного участка, состоящего из двух прямоугольных участков.

3 м

  1 способ.                        2 способ.

                                         (4 + 2) · 3 = 18               4 ·3 + 2 · 3 = 18

                                                              Ответ: 18 м 

После решения всех трёх задач учащимся предлагается самостоятельно сравнить:

а)  первые способы решения задач;

б)  вторые способы решения задач;

в)  выражения, полученные при решении задач 1-м (2-м) способом;

г)  выражения, полученные при решении задачи № 1 (№ 2,  № 3) и 1 и 2-мя способами;

д)  числовые значения выражений, полученные при решении задачи № 1 (№ 2,  № 3)  1-м и 2-м способами.

    В  результате такого сравнения учащиеся пришли к следующим выводам:

1-й способ решения всех задач одинаков, 2-й – тоже; выражения, полученные при решении задач 1-м (2-м) способом, отличаются друг от друга только числовыми данными; выражения, полученные при решении задачи №1 (№ 2, № 3) 1-м и 2-м способами, отличаются друг от друга числом арифметических действий и порядком действий; числовые значения выражений, полученные при решении задачи №1 (№ 2, № 3) 2-мя способами, одинаковы, а, значит, можно сделать такую запись:

(7 + 5) · 8 = 7 ·8 + 5 · 8.

(80 + 60) · 3 = 80 · 3 + 60 · 3.

(5 + 3) · 4 = 5·4 + 3 ·4.

Далее предлагается ученикам заменить одинаковые цифры в полученных выражениях одинаковыми буквами. В результате получены три одинаковых выражения, а именно: (а + в) · с = ас + вс.

Потом учитель говорит:

- Из трёх различных числовых выражений получились три одинаковых буквенных выражений. Встречались ли вы с таким явлением?

- Встречались, - отвечают ученики, - например, при записи переместительного закона умножения.

- И в этом случае, - продолжает учитель, - мы получили новый закон умножения: распределительный закон умножения относительно сложения.

Ученики с помощью учителя формулируют этот закон словесно и на примерах убеждаются в целесообразности усвоения и запоминания этого закона: он облегчает вычисления.

     В 5 – 6 классах идёт лишь подготовка применения исследовательского метода в более  старших классах. В 9 классе, например, при изучении темы «Площадь круга» объяснение нового материала целесообразно начать с того, что постепенно ввести учащихся в проблемную ситуацию.  Учащимся предлагается описать около окружности радиусаr  квадрат, отметить точки касания этого квадрата с окружностью, через эти точки провести перпендикулярные диаметры,  в результате  получается фигура – тоже квадрат. Требуется найти, у какой из этих 3-х фигур (2-х квадратов и круга) площадь наибольшая, у какой – наименьшая.  Учащиеся быстро отвечают, что площадь круга меньше площади описанного квадрата, но больше площади вписанного квадрата, то есть 2 r² < s _{кр.   <} 4 r² _.      Обозначив площадь круга через k · r², легко получить, что 2 r² <k· r ² < 4 r², в результате    чего устанавливается, что проблема вычисления площади круга сводится к вычислению коэффициента k.

Из равенства    S_кр.  = k · r²     находим   k = S_кр. : r² , то есть для любого круга значение коэффициента      равно отношению площади круга к квадрату его ра- диуса. Как же найти это важное число  k?

     Решение поставленной проблемы проходит в виде практической работы, к выполнению которой учащиеся должны принести на урок любые модели кругов и листы миллиметровой бумаги. Учащиеся получают задание: «Сделать на бумаге круг, используя собственную модель, вычислить площадь круга (S) по клеткам миллиметровой бумаги, измерить длину радиуса (r), вычислить  r²  и найти отношение   S:r² ». Задание ученики выполняют по парам, помогая и контролируя  друг друга. Полученные данные заносятся в соответствующую таблицу. На доске составляется общая таблица, куда заносятся полученные результаты от каждой пары. После этого учащимся предлагается вычислить среднее арифметическое значений коэффициента  k, полученных отдельно в первом ряду, отдельно во втором, отдельно в третьем ряду парт. Эти значения также заносятся в таблицу. Затем учащиеся вычисляют среднее арифметическое значений коэффициента k, полученных всеми тремя рядами. В результате учащиеся получают значение k 3,14, то есть  . Данный фрагмент урока показывает, что новый материал излагается через решение практической задачи, что способствует осознанному усвоению сложной темы. 

Способы создания проблемных ситуаций на уроках математики:

Первый способ: Использование учебных и жизненных ситуаций, возникающих при выполнении учащимися практических заданий. Проблемные ситуации в этом случае возникают при попытке учащихся самостоятельно достигнуть поставленной цели. Обычно ученики в итоге анализа ситуации сами формулируют проблему.

Пример 1. На уроке геометрии по теме «Длина ломаной» ученикам предложена практическая работа в двух вариантах: начертить ломаную (В-I из двух звеньев, В-II из трех звеньев) путем измерения сравнить длину ломаной с расстоянием между ее концами. Результаты у всех, естественно разные. Учитель выписывает их в две колонки на доске.

Длина ломаной                                        Расстояние между концами

15 см.                                                                       13 см.

08 см.                                                                       6,5 см.

11,3 см.                                                                    10 см.

Ученикам предлагается внимательно рассмотреть числа и сделать предположение и зависимости между длиной ломаной и расстоянием между ее концами. После высказывания предположений ищут пути решения проблемы и переходят к доказательству в общем виде.

Пример 2. 11 класс алгебра тема «Логарифмирование». До сообщения темы дается самостоятельная работа практического характера. С помощью графика функции y=lg x найти значения lg 1,5; lg 4 и lg 6. Сравнить значение выражений lg 1,5 + lg 4 и lg (1,5*4). После проверки результатов (на доске заранее выписаны выражения из различных вариантов) учащиеся выдвигают гипотезу lg a+lg b= lg (ab), a>0, b>0.

         Второй способ: побуждение учащихся к теоретическому объяснению явлений, фактов, внешнего несоответствия между ними. Это вызывает поисковую деятельность учеников и приводит к активному усвоению новых знаний.

Пример 1. 7 класс геометрия тема: «Сумма внутренних углов треугольника». Перед изучением теоремы ученикам предлагается построить треугольник по трем заданным углам. Учащиеся знают, что это возможно и умеют выполнять такие задания. В предлагаемом задании: 1) ∟А=90°, ∟B=60°, ∟С=45°. 2) ∟А=70°, ∟B=30°,∟С=50°. Как бы точно ученик не откладывал требуемые величины заданных углов, он не может построить треугольник. Перед ним возникает проблема: «Почему в предлагаемых заданных нельзя построить треугольник, несмотря на то, что известны величины трех углов?» У ученика возникает потребность в познании изучаемого закона. В результате поставленного задания усваивание учеником знания предстает перед ним, как требуемое неизвестное знание. Теперь изучение указанной теоремы индуктивным или дедуктивным путем будет составлять для ученика открытие нового.

         Пример 2. 11 класс алгебра и начала анализа тема «Иррациональные уравнения». Дается задание: проверьте может ли число 5 быть корнем иррационального уравнения √х-6=√4-х ? (нет, при х=5 уравнение не имеет смысла). А если бы нам нужно было решить это уравнение, то какой способ решения вы смогли бы предложить? (возведение обеих частей в квадрат).

х-6 = 4-х <=> 2х = 10 <=> х = 5.

         Итак, единственный способ решения приводит к корню, который является посторонним. Возникает внешнее несоответствие между фактами приводит к проблемной ситуации.

         Пример 3. Тема «Перпендикулярность плоскостей».

         Учитель начинает урок не с объявления его темы, а с беседы о реальной ситуации, в которой невозможно верно решить вопрос и привлечения математики. Учитель напоминает о кладке стен, которую школьники наблюдали не раз. Вертикальность стен является правилом строителей. Правда, имеется несколько зданий, построенных с нарушением этого условия (наклонные башни в Ницце, шаровой дом в Дрездене), но известно что, с какими трудностями было связано их возведение и какие меры приходится принимать, чтобы эти сооружения не рухнули. Как же осуществляют строители контроль за вертикальностью стен? Выясняется, что для этого используют отвес. Естественно возникает вопрос: правильно ли поступают строители, является ли такая проверка достаточной? Проблема сформулирована, но пока класс ответить на поставленный вопрос не может. Несколько позже, рассмотрев одно из свойств перпендикулярных плоскостей, учащиеся смогут это сделать и только теперь объявляется тема урока. После доказательства теорем о перпендикулярных плоскостях учащиеся возвращаются к выдвинутой проблеме.

         Третий способ: побуждение учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов, явлений, правил, действий, в результате которых возникает проблемная ситуация.

Пример 1. 10 класс тема «Возрастание и убывание функций». До объявления темы урока предложить учащимся решение двух уравнений:

х³ = 27                                                                     х² = 9

х³ =3³                                                                       х² = 3²

х = 3                                                                        х = 3

         Уравнения решены одним и тем же способом и относятся к одному классу. Верно ли решены уравнении? (Второе уравнение решено неверно, кроме корня 3 имеет еще корень х = -3). У учащихся возникает вопрос почему? Решая эти уравнения мы выяснили при каких значениях аргумента х функция х³ принимает значение 27, а функция х² – значение 9? Результаты получились различные. В чем же дело? Очевидно дело в функциях х³ и х². Вероятно, что между функциями и х², которые относятся к одному классу функций существует весьма существенное различие? Для его отыскания ученикам предлагается начертить схематически графики функций и выяснить сколько раз функция х³ может принимать значение равное 27, а х² – значение 9? После этого ученики легко видят, что каждое свое значение х³ принимает только один раз, что нельзя сказать о функции х². Вспоминают как называются такие функции. Затем сообщается тема урока и идет работа над определениями возрастающей и убывающей функций.                                                                                                                                                                          

Пример 2. тема «Два перпендикуляра к плоскости». До сообщения темы урока учащиеся повторяют признаки параллельности прямых на плоскости, делают схематические рисунки. Затем с помощью моделей убеждаются, что второй признак параллельности прямых на плоскости в пространстве оказывается ложным высказыванием, то есть зависимости между параллельностью и перпендикулярностью прямых, которая существует на плоскости, в пространстве не существует.

         Тогда возникает вопрос: «Какова же зависимость между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве?»

         С помощью моделей учащиеся выдвигают соответствующие гипотезы.

Пример 3. 10 класс тема: «Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей».

         После рассмотрения взаимного расположения двух плоскостей и введение учащимся определения параллельных плоскостей по аналогии с определением параллельных прямых им предлагается выполнить упражнение: «Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если а) прямая лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости? Б) две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельно двум прямым другой плоскости?» Возникает вопрос при каком же условии две плоскости параллельны? Учащиеся сами формулируют проблему и после сопоставления фактов выдвигают гипотезу об условии параллельности плоскостей.

Четвертый способ: решение нешаблонных задач. Прежде всего следует отметить, что нередко смешивают нешаблонные задачи с трудными. Эти понятия не адекватны. Задача оказывается трудной, если учащиеся недостаточно подготовлены к ее решению (не знают некоторых формул, теорем, не знакомы с некоторыми приемами работы, для решения нужно использовать весьма удаленные факты). Проблемную ситуацию создают не трудные, а нешаблонные задачи. В уже рассмотренных, хотя в нем на первый взгляд ничего необычного нет. Примерами их могут быть, в частности, задачи логического содержания. Весьма эффективно использование связок задач. В каждой связке по 3-5 задач, первые достаточно просты, но работа над ними готовит к решению последней, которая содержит проблему.

Пример 1. Доказать, что треугольник можно разрезать на три трапеции

                                             B

 

                                              K

               A                                                         C

Можно ли разрезать прямоугольный треугольник на трапеции, среди которых нет прямоугольных? (сначала разрезать прямоугольный треугольник на два косоугольных)

Можно ли разрезать квадрат на трапеции, среди которых нет ни одной прямоугольной? (свести к предыдущей).

Какое наименьшее число трапеций может получиться при решении предыдущей задачи? (R = 8)

 

    Проблемы, которые учитель может ставить перед учениками, обычно разрешаются на протяжении одного или нескольких уроков.

         Проблемная ситуация может быть создана не только при рассмотрении теоретического вопроса, но и при решении задач или какого-то практического упражнения.

         Пример 2.

         «В равностороннем треугольнике проведена высота. Какие свойства имеют образовавшиеся треугольники?»

         Ученики устанавливают, что эти треугольники прямоугольные, равные, острые углы в них составляют 60° и 30°, и, наконец катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Учитель ставит вопрос: «Имеется ли какая-нибудь зависимость между значениями углов и длинами двух сторон треугольника?» Чертеж покажет, что если одна сторона треугольника в 2 раза больше другой, то необязательно, чтобы его углы составляли 30°, 60°, 90°. Зато если дан треугольник с углами в  30°, 60° и 90°, то катет, лежащий против угла в 30°, скорее всего, равен половине гипотенузы. Так приходим к свойству прямоугольного треугольника с углом в 30°.

         Проблемные ситуации возникают также в случае необходимости проверить заключение, сделанное на основе интуиции, на основе аналогии или попытки обобщения.

         Примеры учебных проблем:

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Равна ли 180° сумма внутренних углов четырехугольника? Пятиугольника? Средняя линия треугольника параллельна основанию. Имеет ли такое же свойство средняя линия ромба? Параллелограмма? Четырехугольника?

         В треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Можно ли то же самое сказать  о биссектрисах углов четырехугольника? Можно ли применить формулу площади трапеции к вычислению площади параллелограмма? Прямоугольника? Ромба? Квадрата?

         Пример 3.

         Можно использовать домашние задания, которые позволяют выдвинуть на следующем уроке учебные проблемы, поставившие школьника дома в тупик. К примеру, перед изучением темы об одном замечательном свойстве окружности, ученики получают такое практическое задание на дом: «Дана прямая l и две точки А и В вне ее. С помощью угольника найти на прямой l такую точку С, чтобы угол АСВ был прямым». Предупреждаю о возможности нескольких решений и требую рассмотреть различные положения точек А,В и прямой l. Дома учащиеся, взяв в помощь угольник, сопоставят его стороны с точками А и В, а затем начнут вертеть угольник, пытаясь найти нужную точку на прямой. В зависимости от расположения точек А,В и прямой l, они ее либо найдут (возможны два решения) либо – нет.

         При проверке домашнего задания (перед изучением новой темы), задаю вопрос классу: «Нельзя ли решить эту задачу с помощью циркуля и линейки?» Этот вопрос побуждает ребят проанализировать действия, совершенные при попытке решения задачи. И некоторым из них придет в голову мысль, что, сами того не зная, они пользовались свойством циркуля. А будут и такие, кто уже дома догадается использовать циркуль в работе. Далее учащиеся приступают к изучению новой темы, при этом новый материал может рассказать учитель, а лучше провести урок в форме беседы (с помощью системы вопросов и ответов). В конце урока дается возможность уже четко ответить на поставленный ранее вопрос.

         Пример 5.

         Проблемная ситуация возникнет, если предложить ученикам выполнить какое-то действие, на первый взгляд не вызывающее затруднения. Так, перед изучением темы о сумме внутренних углов треугольника можно предложить такую задачу: Построить треугольник по трем заданным углам:

∟А=90°, ∟B=60°, ∟С=45°;

∟А=70°, ∟B=30°, ∟С=50°;

∟А=50°, ∟B=60°, ∟С=70°.

Учащиеся, вооружившись линейкой и транспортиром, начинают

строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отложив угол в 45° от луча АС (или ВС, кому как нравится), ребята увидят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во втором случае независимо от того, какие два первые угла школьники выбирают для построения, всегда получается треугольник по трем заданным углам. По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме внутренних углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: «В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?» Практика показывает, что в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по анальгии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника, больше, чем остроугольного.

         Я предлагаю им на практике проверить свое утверждение.

Пример 4.

Когда учитель побуждает учащихся к сравнению, к сопоставлению и противопоставлению фактов, возникает познавательное затруднение. Так, перед изучением темы о формуле корней квадратного уравнения учитель может обратить внимание на примеры, решенные на предыдущем уроке и дома способом выделения квадрата двучлена, и предложить для сравнения решить следующие уравнения: х² + 8х – 10 = 0

Ребята приступают к работе и выполняют задание так:

х² + 2 · 4х + 16 – 16 – 10 = 0

(х + 4)² – 26 = 0

         Примеры типа ( х+а )² ± b = 0, где b не является квадратом целого числа, учащиеся еще не решали. И на этом этапе они обязательно споткнутся. После чего учитель объявляет, что известный ребятам способ решения квадратных уравнений выделения квадрата двучлена универсален, но требует каждый раз громоздких преобразований. Поэтому удобнее, решив квадратное уравнение в общем виде, вывести формулу его корней и в дальнейшем решать квадратные уравнения по этой формуле. Затем учитель объявляет новую тему урока, а ученики психологически готовы ее воспринять

         Пример 5. «Нахождение дроби от числа».

Решим задачу: «Огород занимает 6 га земляного участка. На 2/3 огорода посажен картофель. Какую часть всего земляного участка занимает картофель?» Можем ли мы решить задачу? Как?

6/3*2 = 4 (га)

Охарактеризуйте задачу. Отойдем от огорода и картофеля, перейдем к величинам. Что нам известно? [целое]. Что нужно найти? [часть]

Возьмем ту же задачу, но изменим значения одной величины: «Огород занимает 4/5 земельного участка. На 2/3 огорода посажен картофель. Какую часть всего земельного участка занимает картофель?» Изменился ли математический смысл задачи? [нет]. Значит, опять известно целое, а ищем часть. Влияет ли замена 6 на 4/5 на решение? Можно ли решить?  [нет].

Что за ситуацию мы получили?

[Обе задачи на нахождение части от числа. Но одну мы можем решить зная определенные дроби, понятие числителя и знаменателя, а вторую не можем]. Проблема: не знаем общего правила нахождения дроби от числа. Нужно вывести это правило.

Пример 9. Свойства уравнений.

Уравнения на доске записаны вперемешку и без номеров.

х+20=8                                    5х=2х+6

5-х=11                                     3х+8=5х-2

-1/4х=-3

4х/10=-2

-8/х=5

1) Вопрос учащимся: на какие две группы можно разбить эти семь уравнений? Что это за группы? Чем они отличаются? Ученики разбивают на 1-5, 6-7. (В I группе неизвестное х только в левой части, их мы можем решить, а во II – в обеих частях стоит х, не можем решить).

2)  Какие правила нужно знать, чтобы решить уравнения I  группы?

- найти неизвестное слагаемой;

- неизвестный множитель;

- неизвестный делитель;

- неизвестное вычитаемое;

- неизвестное делимое.

5 уравнений – 5 правил.

         А почему не можем решить уравнения II группы?

3) Работая в 4-ках методом «мозгового штурма» обсудить проблемы, которые можно поставить для каждой группы уравнений.

4) Выводы учащихся: Для I группы – для каждого вида уравнений свое правило – их много. Попытаться уменьшить количество правил. Для II группы – сделать уравнения похожими на уравнения I группы, то есть чтобы неизвестное было только в левой части.

         Итог: уменьшить количество правил и научиться переносить слагаемые из одной части в другую. Для этого нужно изучить части уравнений.

Пример6. При изучении систем счисления можно предложить такое задание.

Известно, что если два натуральных числа имеют разное количество разрядов, 

то    больше то число, у которого разрядов больше. Однако неравенство 101< 15 

может быть верным. Как такое может быть?  

Пример 7.  Тема «Деление и дроби».

Чтобы найти корень уравнения вида a·х = b, нужно b разделить на а.  Если b не делится на а нацело, то уравнение не имеет натуральных корней.

Как объяснить тот факт, что уравнение 5х=1 имеет корень?  

Пример 8.  Тема «Проценты». 

В конкурсе участвовали два класса. Из 5 «а» класса – 50% учащихся, а из 5 «б» - 40%. При подсчете оказалось, что количество участников из каждого класса одинаково. Почему?

Пример9. Тема «Свойства деления»

Коле дали задание найти значение выражения

(37 + 34·5) : (45·3 – 135) .

Он  сказал, что найти значение этого выражения нельзя. Прав ли он?

Пример 10. Тема «Объем прямоугольного параллелепипеда».

1.Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 000 л воды. Можно ли плыть в этом бассейне?  

Проблема: несоответствие  единиц измерения.

Учащиеся ищут пути решения задачи, используя повествование учителя о единицах измерения объемов.

2. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

Проблема: не знают понятие объема и формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Учащиеся выбирают необходимую им информацию, используя текст учебника. Обсуждают решение задачи, делают вывод, записывают формулу в тетради.

3.Все грани куба покрасили красной краской и распилили его на n³  маленьких одинаковых кубиков. Выведите формулу для нахождения количества кубиков, не имеющих ни одной окрашенной грани.

Для решения учащиеся используют окрашенную модель куба и по ней устанавливают связь между объемом и количеством маленьких кубиков

Пример 11. В легенде рассказывается, что, когда один из помощников Магомета – мудрец  Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:

- Какое число делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Мудрец ответил:

- Умножь число дней в неделе на число дней в месяце (считая, что в месяце 30 дней) и на число месяцев в году.

Прав ли Хозрат Али? Почему?

Познавательные задачи

Огромное значение для активизации познавательной деятельности имеют познавательные задачи. Если ученик воспринимает задачу как проблему и самостоятельно ее решает, то это есть главнейшее условие развития его мыслительных способностей.

Типология задач.

1. Задачи с несформулированным вопросом.

Пример. Шоколад стоит 15 руб., коробка конфет 30 руб. Задайте все возможные вопросы по условию данной задачи.

2. Задачи с недостающими данными.

Пример.  Из двух пунктов вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Скорость одного пешехода равна 7 км/ч, а скорость другого – на 1 км/ч больше. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?

Учащимся задаются вопросы:

Почему нельзя дать ответ на вопрос задачи?

Чего не хватает?

Что нужно добавить?

Докажи, что теперь задачу точно можно будет решить?

А можно ли что-нибудь извлечь даже из имеющихся данных?

Какое заключение можно сделать из анализа того, что дано?

3.  Задачи с излишними данными.

Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. В магазин привезли 22 ящика яблок и 6 ящиков груш. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш.

4. Задачи с несколькими решениями.

Пример. За три дня в магазине продано 1280 кг яблок. В первый день продали 25% всех яблок, а во второй день – 45% всех яблок. Сколько килограммов яблок продали в третий день? Решите задачу несколькими способами. Какой из них наиболее простой.

5.  Задачи с меняющимся содержанием.

Пример.  Исходная задача. Туристы прошли за день 20 км, что составило 40% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

Второй вариант. Туристы прошли за день 20 км, и им осталось пройти 60% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

6.  Задачи на доказательство.

Пример.  Докажите, что число + 1 делится на 2.

7. Задачи на соображение, логическое рассуждение.

Создание проблемных ситуаций

Задание.  Как вы полагаете, верно ли выполнено сравнение?  24, 325 < 24, 4

(Дети как правило отвечают, что неверно).

Сравнение выполнено верно. Как же могло получиться, что число, состоящее из большего числа разрядов, меньше числа, состоящего из меньшего числа разрядов?

Заключение. Использование технологии проблемного обучения требует от меня значительных затрат времени при подготовке уроков, т. к. сформулировать проблемный вопрос достаточно сложно, важно продумывать каждое задание и каждое слово, чтобы они вызвали затруднение у учащихся и в то же время не отбили желания это затруднение преодолеть. Достаточно много времени тратится и на уроке на разрешение той или иной проблемы, но это время более ценно по сравнению с тем, которое тратилось бы на подачу готовых знаний.

         Ознакомившись с большинством современных публикаций по теории обучения, что на данном этапе развития человечества проблемное обучение просто необходимо, так как проблемное обучение формирует гармонически развитую творческую личность, способную логически мыслить, находить решения в различных проблемных ситуациях, способную систематизировать и накапливать знания, способную к высокому самоанализу, саморазвитию и самокоррекции.

         Но для того, чтобы приучить учащегося мыслить самостоятельно на уроках математики, чтобы привить ему твердую привычку надеяться на собственные силы и возбудить уверенность в их неограниченных возможностях, необходимо привести его через преодоление определенных трудностей, а не подавать все в готовом виде. В классах, где учащиеся самостоятельно добывают знания, где учитель постоянно заботится об этом, поставляя «пищу для ума», качество знаний выше, чем в других классах. Это может осуществиться только в том случае, если применять на каждом уроке элементы проблемного обучения.

Если учащийся не приучается к самостоятельному преодолению трудностей, к постоянному поиску выхода из затруднений, он будет всю жизнь нести груз этой привычки.

         Постоянная постановка перед ребенком проблемных ситуаций приводит к тому, что он не «пасует» перед проблемами, а стремится их разрешить, тем самым мы имеем дело с творческой деятельностью личности всегда способной к поиску.

Литература и ссылка на электронные ресурсы:

1.     Селевко Г. К. Современные образовательные технологии: Учеб. пособие – М.: Народное образование, 1998 г.

2.     Махмутов М. И. Организация проблемного обучения в школе. Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1977.

3.     Бакланский О.Е. Проблемное обучение: обоснование и реализация // Наука и школа. – 2000. - № 1

4.     Карелина Т.М. О проблемных ситуациях на уроках геометрии // Математика в школе. – 2000. - № 5

5.     Карелина Т.М. Методы проблемного обучения // Математика в школе. – 2000. - № 5

6.     Максимова В.Н. Проблемный подход к обучению в школе. Методическое пособие по спецкурсу. – Л., 1973.

7.     Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М., 1972.

8.      Махмутов М.И. Проблемное обучение (основные вопросы теории).- М.,1975                                                                                  

9.      Оконь В. Основы проблемного обучения. – М., 1968.

10.  Потаншик М.М., Левит М.В. Как подготовить и провести открытый урок. – М., 2004.