Технологическая карта проекта по теме " Определение взаимного расположения точек"

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПРОЕКТА

ФИО (полностью):             Кочергина Анна Ивановна

Должность:                          учитель математики

Место работы:                     МБОУ Школа №24 г. о. Самара

Название проекта	Вокруг одной точки	Учитель знакомит со смыслом проектного подхода в исследовательской деятельности; мотивирует обучающихся; помогает в постановке целей и определении задач исследования.
Тип проекта	Исследовательский (парный или групповой; краткосрочный – например, подготовка материала к занятию по курсу внеурочной деятельности по использованию координатного метода или перехода к проблеме ГМТ)
Участники проекта	Обучающиеся 9 класса
Постановка задачи (проблемы)	На данной окружности с центром O найдите точку, сумма расстояний от которой до фиксированных точек A и B будет наименьшей. Прямая AB и окружность не имеют общих точек, а треугольник OAB является остроугольным.
Цель исследования	Определение взаимного расположения точек, отвечающего заданным условиям экстремального значения суммы расстояний.
Задачи исследования	1.      Выполнить построение конфигурации геометрических объектов, отвечающее заданным условиям. 2.      Провести компьютерный эксперимент, моделирующий предложенную в задаче проблему. 3.       Обосновать результаты, полученные в ходе эксперимента, опираясь на теоретические знания. 4.      Рассмотреть перспективы данной конфигурации: составить задачи на основе полученных результатов.
Этапы исследования	Деятельность обучающихся	Деятельность учителя
Сбор, систематизация и анализ фактического материала.	Сбор необходимых теоретических сведений: формулы вычисления расстояния между точками, уравнение прямой, уравнение окружности, координаты точек и векторов; вычисление длины медианы треугольника.	Предлагает идеи, высказывает предложения, оппонирует, сам является источником информации.
Выбор методов решения проблемы.	Обсуждение возможных подходов к решению проблемы (решению задачи): использование формулы длины медианы треугольника; введение системы координат и использование формул для нахождения расстояния между точками
Выдвижение гипотез	Искомая точка располагается как можно ближе к середине отрезка
Подтверждение или опровержение гипотез	Проведение компьютерного эксперимента (проверка гипотез): выполнение построений с помощью «1 С: Математического конструктора.6.0», использование возможности перемещать точку M по окружности проводить измерение длин отрезков MA и MB, вычисляя суммарное значение расстояний MA+MB; подтверждение гипотезы о расположении точки M на окружности опытным путем и вывод об эффективности использования метода координат. Обсуждение вопроса, как построить точку K (искомое положение точки М), лежащую на окружности и ближайшую к середине отрезка AB, точке C.	Наблюдает, координирует работу группы, консультирует при выполнении компьютерного эксперимента и поиска доказательства (обоснования) его результатов.
Теоретическое обоснование, доказательство	Введение системы координат с началом в точке C - середине отрезка AB так, что концы будут иметь координаты A(-a;0) и B(a;0). Если сумма квадратов расстояний MA2+MB2 наименьшая, то и сумма MA+MB будет наименьшей. Используем формулу для вычисления квадрата расстояния между точками, если M (x;y): MA2+MB2=(x-a)2+y2+ (x+a)2+y2=2(x2+y2+a2). Выражение принимает наименьшее значение, если сумма (x2+y2) наименьшая, т.е. точка M располагается как можно ближе к началу координат, т. е. середине отрезка AB. В соответствии с компьютерным экспериментом такое положение занимает точка К. Чтобы построить эту точку, необходимо провести прямую через центр окружности и середину отрезка AB. Из двух точек пересечения окружности и прямой выбираем ту, что ближе к середине отрезка.
Итоговый вывод	Искомая точка М является точкой пересечения окружности с центром О и отрезка прямой, проходящей через центр окружности и середину отрезка АВ. В этом случае точка М является ближайшей к середине отрезка, значит сумма расстояний от нее до фиксированных точек А и В – наименьшая.	Наблюдает, советует.
Возможное продолжение исследования	Вариации на тему… Изменение условий задачи: треугольник АВС – тупоугольный сумма расстояний (сумма квадратов расстояний, разность квадратов расстояний) – фиксированная величина. Точка М лежит не на окружности, а на прямой (можно использовать треугольник с наименьшей медианой); лежит на отрезке (сторона многоугольника)… Составление (генерирование) задач на основе полученного результата. Можно использовать компьютерные модели.	Предлагает идеи, высказывает предложения, оппонирует
Презентация (защита) проекта	Представление решения задачи с демонстрацией компьютерного эксперимента, теоретического обоснования поученного результата, выбора метода решения. Представление серии задач, составленных на основании полученных результатов.	Слушает, задает целесообразные вопросы в роли рядового участника
Рефлексия	Коллективное обсуждение результатов, самооценка.	Высказывает наряду с другими участниками мнение об усилиях учащихся, приложенных к проведению исследования, креативности подходов, качества и продуктивности проведенной работы, потенциала продолжения, качества отчета (защиты проекта)