Технология уровневой дифференциации на уроках математики

 

Областной институт усовершенствования учителей

ОО «Педагогическая ассоциация ЕАО РФ»

Мастер-класс победителя ПНПО – 2008
для учителей математики   

г. Биробиджан, 2008 год

Лидеры образования ЕАО-2008. Мастер-класс победителя ПНПО-2008 для учителей математики. – Биробиджан: ОблИУУ, 2008. - 28 с.

Сборник рекомендован к печати и практическому применению в ОУ Еврейской автономной области решением редакционно-издательского совета областного ИУУ от 21.11. 2008 года.

Составитель

Черкашина Н.П., методист ОблИУУ

Ответственный редактор

Файн Т.А., директор ОблИУУ, к.п.н., доцент, член-корреспондент МАНПО, почетный работник общего образования РФ

Корректура

Фоменко В.П., методист ОблИУУ

Компьютерная верстка

Серга Т.Н., методист ОблИУУ

В данном сборнике содержатся материалы Ольги Сергеевны Кузнецовой - учителя МОУ СОШ №3 г. Облучья, победителя конкурса «За высокое педагогическое мастерство и значительный вклад в образование» в рамках реализации приоритетного национального проекта «Образование» в ЕАО, показывающие значение уровневой дифференциации как в среднем звене, так и в старшей школе. Учитель делится опытом  организации дифференцируемого обучения на уроках математики.

Данный опыт предназначен для учителей ОУ и преподавателей профтехучилищ.

Ó 2008

Содержание

Слово об учителе. 4

Технология уровневой дифференциации на уроках математики. 5

Приложение 1. Карточки. 9

Приложение 2. Групповая дифференциация при изучении разных тем.. 13

Приложение 3. Индивидуальная дифференциация на этапе проверки знаний и умений по теме «Квадратичная функция». 9 класс. 15

Приложение 4. Инструктивные карты для проведения самостоятельных работ.. 16

Приложение 5. Урок математики в 6 классе. Тема урока «Действия с обыкновенными дробями». 19

Слово об учителе

Ольга Сергеевна Кузнецова окончила физико-математический факультет Хабаровского государственного педагогического института в 1980 году по специальности "математика". Общий стаж педагогической работы – 28 лет. С 1988 года работает в средней школе №3 г. Облучье в должности учителя математики.

Ольга Сергеевна непрерывно изучает теоретические основы результативных педагогических технологий. Широко использует в своей работе элементы модульного обучения, метод проектов, дифференцированное обучение, информационные и здоровьесберегающие технологии. Учитель вполне оправданно полагает, что организовать самостоятельную, активную познавательную деятельность учащихся можно через личностно ориентированные технологии, которые  предусматривают дифференцированный подход к обучению школьника с учётом уровня его интеллектуального развития и подготовки по данному предмету. Продуктивность дифференцированного обучения может быть повышена посредством включения в образовательный процесс элементов модульной технологии. Модульное обучение позволяет каждому ученику включаться в активную и эффективную учебно-познавательную деятельность, способствует чёткой индивидуализации контроля, самоконтроля, даёт учителю широкие возможности коррекции и консультирования, способствует становлению и развитию самостоятельности учащихся. Данная технология побуждает учеников рассуждать, искать, догадываться, поощрять их стремления к достижению успеха.

В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого предмета. Предлагая ученикам одинаковый объём материала, Ольга Сергеевна устанавливает различные уровни требования к его усвоению. Каждый её ученик проходит через полноценный учебный процесс: в полном объёме получает предполагаемый программой материал со всеми доказательствами, выводами, обоснованиями, знакомится с образцами рассуждений и на последующем этапе участвует в решении более сложных задач.

Умелый дифференцированный подход к обучению, аналитическая деятельность и способность прогнозировать конечный результат позволяет учителю добиваться стабильных результатов в обучении.

Учитель обладает глубокими теоретическими знаниями и методическими умениями, широко использует достижения педагогической науки и передовой педагогический опыт в собственной деятельности, постоянно занимается самообразованием.

Творчество, высокий профессионализм, стремление к самосовершенствованию, любовь к детям, чувство личной ответственности -  качества, которые отличают этого педагога. В коллективе пользуется уважением: коллеги отмечают способность Ольги Сергеевны перенимать идею передового опыта работы и реализовать её, способность и умение поддерживать прогрессивные тенденции в работе, готовность к постоянному самообразованию.

Черкашина Н.П., методист ОблИУУ

Технология уровневой дифференциации на уроках математики

Проработав в школе много лет, я пришла к выводу, что в обучении математике дифференциация имеет особое значение. Этот предмет является одним из самых сложных и вызывает субъективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Зачастую разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

Дифференциация же дает возможность каждому ученику, овладевшему некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации к постоянно меняющимся жизненным условиям, получить право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

Как известно, дифференциация затрагивает все компоненты методической системы обучения. Она может проявляться в двух основных видах –  уровневая и профильная. Оба вида дифференциации сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного математического образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением является уровневая дифференциация, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Уровневая дифференциация выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усвоить материал на различных уровнях. Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки. Его достижение свидетельствует о выполнении учеником минимально необходимых требований и усвоению содержания. На его основе формируются более высокие уровни овладения материалом. Уровневая дифференциация основывается на планировании результатов обучения. Зная уровень обязательной подготовки и повышенный уровень овладения материалом и сообразуясь с ним, учитывая свои способности, интересы, потребности, ученик получает право и возможность выбирать объем и глубину усвоения учебного материала, варьировать свою учебную нагрузку. Достижение обязательных результатов обучения становится при таком подходе тем объективным критерием, при учете которого может видоизменяться ближайшая цель в обучении каждого ученика и перестраиваться в соответствии с этим содержание его работы: либо его усилия направляются на овладение материалом на более высоких уровнях, либо продолжается работа по формированию важнейших опорных знаний и умений.

Учитель получает больше возможностей для работы с сильными учениками, т.к. он уже не связан необходимостью спросить все, что он давал на уроке, со всех школьников.

Существует ряд условий, выполнение которых необходимо для успешного и эффективного осуществления уровневой дифференциации.

Во – первых, выделенные уровни усвоения материала и, в первую очередь, обязательные результаты обучения, должны быть открыты для учащихся. Ясное знание конкретных целей при условии их посильности, возможность выполнения требований учителя активизируют познавательную деятельность школьников, причем на разных условиях. Если цели известны и достижимы, а их достижение поощряется, то для подростка естественно стремление их достигнуть.  Открытость уровневой подготовки является механизмом формирования положительных мотивов учения, сознательного отношения к учебной работе, позволяет привлечь самооценку ученика для организации работы.

Во-вторых, наличие определенных ножниц между уровнем требований и уровнем обучения. Первый должен быть существенно выше, иначе и уровень обязательной подготовки не будет достигнут, а учащиеся, потенциально способные усвоить больше, не будут двигаться дальше. Каждый ученик должен пройти через полноценный учебный процесс. Иными словами, уровневая дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикам дают меньше, а другим больше, а в силу того, что, предлагая ученикам одинаковый объем материала, мы устанавливаем различные уровни требований к его усвоению.

В – третьих, в обучении должна быть последовательность в продвижении ученика по уровням. Это означает, что в ходе обучения не следует предъявлять более высоких требований тем учащимся, которые не достигли уровня обязательной подготовки. Трудности в учебной работе должны быть посильными, соответствующими индивидуальному темпу овладения материалом. В то же время сильных учеников не следует необоснованно задерживать на этапе овладения основными опорными знаниями и умениями.

В-четвертых, добровольность в выборе уровня усвоения и отчетности. Каждый ученик имеет право добровольно и сознательно решать для себя, на каком уровне ему усваивать материал

Уровневую дифференциацию можно организовать в разных формах, которые существенно зависят от индивидуальных подходов учителя, от особенностей класса, от возраста учащихся и т.д.

Основной путь осуществления дифференциации обучения – формирование мобильных групп. Деление на группы осуществляется, прежде всего, на основе критерия достижения уровня обязательной подготовки. Работа этих групп может проходить в рамках обычных уроков. Их можно также временно выделить для отдельных занятий.

Дифференцированный подход можно осуществлять в процессе самостоятельной деятельности учащихся, фронтальной работы под руководством учителя.

Итак, уровневый подход к дифференциации позволяет учитывать такие индивидуальные качества учеников: самостоятельность, уровень мышления, внимательность и др., а так же даст возможность развивать и формировать эти качества у всех школьников.

В последние годы я изучила различные технологии уровневой дифференциации, более близкими по идее мне показались технологии Н.П. Гузник и В.В. Фирсова.

При формировании группы я учитываю особенности нервной деятельности учащихся. Всем хорошо известно, что учащиеся с разными темпераментами различным образом воспринимают одно и то же задание, по-разному приступают к его выполнению. Учащиеся, отличающиеся быстротой реакции, молниеносно реагируют на все, в том числе и на отвлекающие факторы (речь идет о сангвиниках и, в особенности, о холериках), могут отвлечься уже при первичном прочтении задания, если они сразу чего-то в нем не уяснили. Поэтому при организации самостоятельных работ я обращаю внимание прежде всего на таких учащихся. Для холериков в особенности характерно то, что их мысли и действия находятся в соответствии. Если им что непонятно, они сами спросят - таков их характер. Поэтому я знаю, что если в начале выполнения самостоятельной работы откорректировать их действия, то можно не беспокоиться за ход выполнения задания.

Учащиеся же, отличающиеся медлительностью умственных действий (флегматики и в особенности меланхолики), не сразу переключаются на другой вид деятельности. Их мысли и чувства как бы отстают от происходящего. Приведу пример. Класс уже приступил к выполнению контрольной работы, учащиеся определили для себя, задания какого уровня они будут выполнять. Розданы тетради, учитель комментирует задание. Учащиеся вроде бы внимательно слушают. На самом же деле внимание некоторых из них обращено на ту отметку, которую они получили за предыдущую контрольную работу. Они думают о последствиях, которые эта отметка вызовет в дальнейшем. Поэтому внешняя дисциплинированность таких учащихся обманчива. Нужно своевременно переключить внимание этих ребят на предстоящую деятельность. Следует отметить, что людей, обладающих явными характеристиками темперамента, очень мало. Поэтому в классах преобладают учащиеся, чей тип нервной деятельности имеет смешанные характеристики.

Ребятам, у которых тип темперамента приближается к ярко выраженному меланхолико-флегматическому или к холерико-сангвиническому, полезнее всего предлагать самостоятельные работы по индивидуальным карточкам-заданиям. Таким учащимся нужно облегчить само начало работы, а может, и напомнить алгоритм для выполнения задания (для учащихся, чей темперамент приближается к меланхолико-флегматическому типу). При разделении класса на группы я учитываю психологическую совместимость учеников.

При работе с этими учащимися я веду учет их пробелов для дальнейшей ликвидации, как и с другими группами, веду тематический контроль, предусматриваю открытость образцов обязательного уровня подготовки. Именно в этих группах предпочитаю проводить небольшой итоговый зачет по окончании темы, а он складывается из суммы частных зачетов (дробных). Оценка за зачет – не догма, я даю учащимся доработать тему и досдать (пересдать) материал. В кабинете имеется целая система дидактических материалов на обязательном уровне и карточки-тренажеры, в которых даются «ключи» к проверочным заданиям. Я привлекаю более способных ребят из старших классов в помощь этим учащимся. Работает совет кабинета, провожу дополнительные консультации.

Учащиеся второй группы имеют достаточные знания программного материала, могут применить их при решении задач, но иногда затрудняются при переходе к решению задач нового типа. Однако, овладев методами их решения, справляются с аналогичными заданиями. У этих ребят не сформированы эвристические приемы мышления, они с трудом могут сформулировать гипотезу относительно конечной цели и промежуточных подцелей в процессе поиска способов решения задачи.

Третью группу составляют учащиеся, которые могут сводить сложную задачу к цепочке простых подзадач, в процессе поиска решения задач выдвигать и обосновывать гипотезы, переносить прежние знания в новые условия. Эти учащиеся быстро и легко обобщают методы решения классов однотипных задач, умеют совершенно отчетливо выделить ключевые подзадачи, находят несколько способов решения.

При подготовке к урокам я заранее продумываю все виды дифференцированных воздействий, подбираю соответствующие задания, продумываю формы помощи для каждой группы учащихся. Зачастую учащимися всех трех групп может быть решена одна и та же сложная задача, но помощь моя каждой из групп будет разной. Эта мера определяется спецификой каждого из пяти этапов решения задач:

1.   подготовка к решению;

2.   поиск плана решения;

3.   составление плана решения;

4.   осуществление найденного решения;

5.   осуществление найденного решения.

Учащимся третьей группы я оказываю помощь на втором и пятом этапах.

Для учащихся второй группы может быть организована помощь на I, II и V этапах.

Учащиеся же первой группы нуждаются в помощи на всех этапах решения задачи, лишь постепенно моя помощь и контроль могут быть ослаблены на четвертом, а затем на третьем этапе решения.

Обычно с учащимися первой группы мы вспоминаем необходимый теоретический материал, в устной работе прореживаются подзадачи, к которым сводится исходная задача, либо мы решаем аналогичную, более простую, задачу с целью выявления метода решения.

На старшей ступени обучения дифференциация приобретает систематический характер. В соответствии с Государственным базисным учебным планом она должна осуществляться через курсы по выбору и профильное обучение. В зависимости от той роли, которую математика может играть в образовании человека, выделяются два типа школьных курсов для завершающей ступени школы: курс А (общекультурной ориентации), рассчитанный на учащихся, склонных рассматривать математику только как элемент общего образования и не предполагающих  использовать её непосредственно в своей будущей профессиональной деятельности, и курсы повышенного типа, обеспечивающие дальнейшее изучение математики и её применение учащимися в качестве элемента профессиональной подготовки.

Выделяются два основных курса повышенного типа. Первый (курс В) предназначен для учащихся, выбравших для себя область деятельности, в которой математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира.

Второй – курс С – ориентирован на учащихся, для которых собственно математика является одной из основных целей познания. Это наиболее полный и строгий курс математики, изучать его должны те, кто выбрал математический, физический, компьютерный профили.

Организация дифференцируемого обучения на уроках. В начале года я разбиваю класс на три группы по результатам успеваемости и отношению к делу в предшествовавшем учебном году. По ходу изучения темы я эти группы разбиваю на подгруппы, обращая внимание на психологическую совместимость учеников. Состав группы непостоянный, он может меняться. В начале изучения любой темы объявляю учащимся, каким образом они будут отчитываться и на сменном стенде «Готовься к зачету» вывешиваю теоретические вопросы и практические задания различной степени сложности, учитывая уровень усвоения материала. Выбор программы изучения предоставляется самому ученику. В процессе изучения данной темы на уроках, организуя различные самостоятельные, практические задания, подбираю задания так, чтобы они соответствовали нужному уровню.

Учащиеся группы базового уровня имеют пробелы в знаниях программного материала, искажают содержание теорем при применении их к решению задач, самостоятельно могут решить задачи в 1-2 шага, а более сложные задачи начинают решать со «слепых» проб. Они зачастую не умеют вести целенаправленный поиск решения, не могут найти связь между искомыми и данными величинами, часто пропускают обоснование гипотез, сформулированных в ходе попыток решения, не понимают необходимости их проведения, не видят существенных зависимостей и ключевых моментов в решении задач.

С учащимися второй группы зачастую предварительно решается ключевая подзадача в процессе подготовки к решению основной задачи. В старших классах я провожу факультативные занятия для учащихся с повышенным интересом к предмету.

Итак, при проведении дифференцированной работы с учащимися мною реализуются следующие цели:

С учащимися I группы:

1.  Ликвидация пробелов в знаниях и умениях.

2.        Пробуждение интереса к предмету.

3.        Развитие навыков и умений осуществлять самостоятельную деятельность (по образцу и в сходных ситуациях), воспроизводить изученный материал, решенную задачу.

4.        Доведение учащихся до минимального уровня усвоения знаний и способов деятельности.

С учащимися II группы:

1.  Создание соответствующих условий, повторение, ликвидация пробелов, активизация знаний для успешного изучения новой темы.

2.          Развитие и закрепление интереса к математике и к учебной деятельности, выполняемой в процессе обучения математики

3.          Формирование навыков учебного труда, умение самостоятельно работать над задачей.

4. Доведение учащихся до хорошего уровня знаний и способов деятельности.

С учащимися III группы:

1.  Расширение и углубление знаний, формирование умений решать задачи повышенной сложности.

2.         Развитие устойчивого интереса к предмету, углубление представлений о роли математики в жизни, науке, технике.

3.          Развитие умения самостоятельно работать с учебной и научно-популярной литературой.

4.          Доведение учащихся до более высокого уровня усвоения знаний и способов деятельности.

Возникает вопрос: каково место дифференцированных форм учебной деятельности учащихся в структуре урока? Как показывает практика, дифференцированные формы деятельности могут быть успешно организованы на любом этапе урока математики - на этапе изучения, на этапе закрепления и формирования умений и навыков, в домашней работе, на этапе проверки знаний и умений. Данная технология дает хорошие результаты.

Приведу пример уровневой дифференциации при изучении темы «Формулы сокращенного умножения» по алгебре в 7 классе.

Для успешного усвоения формул мною были разработаны различные  карточки-тренажеры. С некоторыми из них можно познакомиться в приложении.

1.          Прочти выражение (карточка №28) (Данная карточка готовит учащихся к усвоению формул, формирует их математическую речь).

2.          Поскольку тренажер по отработке формул квадрата суммы, квадрата разности, разности квадрата (обязательный уровень), был представлен в журнале «Математика в школе», я разработала тренажеры II уровня, в
которых отрабатываются формулы куб суммы и разности, сумма и разность
кубов (карточки №25, №26).

Данные карточки-тренажеры способствуют более успешному усвоению темы.

Приложение 1.

КАРТОЧКА № 25

25.1	25.2	25.3	25.4
(х + у)2	(b + 3)2	(а+12)2	(у-9)2
4х2+ 12х + 9	25в2 + 10b+ 1	а2 + 12 а + 3b	1+у2-2у
(х-у)(х+у)	(2а-3b)(3b + 2а)	(8b + 5с) (5с-8b)	(10х-7у)(10х+7у)
x2 –y2	b2-	а2 -25	y2 - 0,09
x3-y3	1+b3	125 + а3	y3-1
(р-d)2	(10 -с)2	(15- х)2	(40 + b)2
25а2+10а+1	81а2-18аb + b2	9а2 -аb +b2	64-16b + b2
25 х2- у2	-49а2+16в2	144b2 - с2	p 2 - а2 b2
(-а-2)2	(-3 - b)2	(-х-у)2	(-12 -с)2
m3-п3	125 -а3	1+в3	х3+   у3
(9 - y)2	(0,3 - т)2	(т + п )2	(8 - а)2
b2 + 4а2 - 4 аb	8аb + b2+ 16 а2	b2 + 9а2 + 6 аb	9х2-24ху+ 16у2
(9а-b2)(b2 + 9а)	(4 + у2) (у2 - 4)	(7 + 3у) (3у - 7)	(8с + 9d) (9d - 8с)
1+а2-2а	(3а -b)2	(1-4 а)2	(3 - 2 а)2

ОТВЕТЫ НА КАРТОЧКУ № 25

25,1	25,2	25,3	25,4
х2 + 2 ху + у2	b2+ 6 b+ 9	а2 + 24а+ 144	y2-18 у+81
(2х + З)2	(5b+1)2	(а + 6)2	(у-10)2
x2-y2	4 а2 - 9 b2	25 с2 – 64 b2	100 х2 - 49 у2
(х-у)(х + у)	(b-)(в+ )	(а -5) (а +5)	(у -0,3) (у + 0,3)
(х-у) (х2 +ху +у2)	(1+b)(1- b+ b2)	(5 + а)(25 - 5а+а2)	(у -1)(у2 - у+1)
p2-2pd+d2	100 -20 с+с2	225-30 х + х2	1600 + 80 b+ b2
(5а+1)2	(9а-b)2	(3а-b)2	(8 -b)2
(5х -у)(5х +у)	(4b -7а)(4b +7а)	(12b-с)(12b+с)	(р-аb) (р+аb)
a2+4а +4	9 +6 b + b2	х2+ 2ху + у2	144 + 24с + с2
(т-п)(т2+тп+п2)	(5-а)(25 +5а+а2)	(1+b)(1- b+b2)	(х+у)(х2+ху+ у2)
81-18у + у2	0,09-0,6т + т2	m2 + 2 тп+ п2	64а-16а+а2
(2а- b)2	(4а +b)2	(b - 3а)2	(3х-4у)2
81а2-b4	у4 -16	9у2 - 49	8 1с2 - 64с2
(а-1)2	9а2 -6аb +b2	1-8а+16а2	9 - 12а +4а2

Карточка № 28.  Даны числа а и б

№	Выражение	Название выражения
1	2а
2	3b
3	2аb
4	3а2b
5	3аb2
6	(а + b)(а - b)
7	а2-b2
8	(а + b)2
9	(а - b)2
10	а3-b3
11	а3 + b3
12	(а + b)3
13	(а – b)3

Даны числа х и у

14	x2-y2
15	2х
16	2у
17	2ху
18	3х2у
19	3ху
20	(х - у)(х + у)
21	(х + у)2
22	(х - y)2
23	x3-y3
24	x3+y3
25	(х + у)3
26	(х - y)3
27	4х2-16
28	(2х + 3)(2х - 3)
29	(3х + 6у)2
30	(9х - 7у)2
31	(1 + 3х)3
32	(21х-8)3
33	8 - х3
34	a3+ 125

Ответы к карточке № 28. Даны числа а и б

1		Удвоенное число а
2		Утроенное число b
3		Удвоенное произведение I числа на II
4		Утроенное произведение квадрата I числа на II
5		Утроенное произведение первого числа на квадрат второго
6		Произведение суммы чисел на их разность
7		Разность квадратов двух чисел
8		Квадрат суммы двух чисел
9		Квадрат разности двух чисел
10		Разность кубов двух чисел
И		Сумма кубов двух чисел
12		Куб суммы двух чисел
13		Куб разности двух чисел

Даны числах и у

14		Разность квадратов двух чисел
15		Удвоенное число х
16		Удвоенное число у
17		Удвоенное произведение первого числа на второе
18		Утроенное произведение квадрата первого числа на второе
19		Утроенное произведение первого числа на квадрат второго
20		Произведение разности чисел на их сумму
21		Квадрат суммы двух чисел
22		Квадрат разности двух чисел
23		Разность кубов двух чисел
24		Сумма кубов двух чисел
25		Куб суммы двух чисел
26		Куб разности двух чисел
27		Разность квадратов двух чисел
28		Произведение суммы чисел на их разность
29		Квадрат суммы двух чисел
30		Квадрат разности двух чисел
31		Куб суммы двух чисел
32		Куб разности двух чисел
33		Разность кубов двух чисел
34		Сумма кубов двух чисел

Карточка № 26

26.1	26.2	26.3	26.4
8-a3	1+27y3	x3 -64	m3+1000
(b+ 3)2	(y+9)2	(m-0,3)2	(a-5b)2
1+х2-2х	9x2 - xy +  y2	64 -16 a +a2	m2 + 2mn + n2
(2х-1)(2х+1)	(8 c + 9 d)(9 d-8 c)	(3b + 5c)(3b - 5c)	(c + 2 d)(c -2 d)
125c3-64b3	c3-d3	27-y3	1 – c3
(а + 0,5)2	(0,4 + b)2	(0,2 - x)2
28ху + 49х2 + 4y2	100x2 + y2 + 20xy	a2 + 4b2 -2ab	1-2x + x2
(7х-2)(7х+2)	(c -7)(7 + c)	(4 + b)(b - 4)	(a – b)(b + a)
1-p3	a3 + b3	c3 + 27d3	x3 - y3
(-а-1)2	(-b-2)z	(-c-10)2	(-x-12)2
(a+1)3	(a + 2)3	(1+ a)3	(3 + b)3
(2-a)3	(b-l)3	(c-2)3	(1 - d)3

Приложение 2.  

Групповая дифференциация при изучении разных тем

Групповая дифференциация на этапе закрепления и формирования умений и навыков по теме «Степень с натуральным показателем». 7 класс

Самостоятельная работа на 20 мин.

В-1.

1.        Вычислите квадрат числа 5, куб числа 2.

2.        Являются ли числа 1 и 1 корнями уравнения х + 1=0? Можно ли среди чисел от 5 до 5 найти такие, которые будут являться корнями данного уравнения?

3.        Дайте определение понятия степени. Запишите его в виде формулы и приведите примеры с числовыми и буквенными данными.

4.        Представьте в виде степени с основанием 2: 2: 32.

В-2.

1.        Квадрат какого числа равен 16?

2.        Куб какого числа равен 27?

3.        Докажите, что уравнение х +1 = 0 не имеет корней.

4.        Сформулируйте основное свойство степени. Запишите его в виде формулы  и приведите примеры с числовыми и буквенными данными.

5.        Представить в виде степени с основанием 3:3; 9 ∙ 81.

В-3.

1.        Найдите куб суммы чисел 5 и 4. Запишите формулу для куба суммы чисел в общем виде.

2.        Докажите, что уравнение 2х⁶+3х⁴ +х²+1=0 не имеет корней.

3.        Сформулируйте и докажите теорему о степени произведения.

4.        Представить в виде произведения степеней простых чисел 1∙2∙3∙ ….∙15.

Практическая работа по теме «Координатная плоскость». 6 класс

Каждому ученику выдается карточка со следующим заданием:

Вариант - 1

1.   Построй прямую АВ, где А (    ;   ) и В (    ;    ).

2.   Построй прямую MN, где М (   ;    ) и N (    ;   ).

3.   Построй прямую СD, где С (    ;    )иD(    ; ).

4.   Запиши координаты точек пересечения прямых.

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ УСВОЕНИЯ МАТЕРИАЛА: Каждому ученику выдается карточка с координатами точек. Необходимо их построить, соединить, получить рисунок-фигуру.  Затем  поменяться тетрадью с соседом и проверить у него правильное построение этих точек.

1.   ЗОНТИК (-8;17),(-8; 16), (-4; 14), (-2; 10), (-8; 11), (-14; 10), (-12; 14), (-8; 16), (-8; 10); (-8; 4), (-9,5; 3), (-11, 4), (-11, 5)

2.   ПАРУСНИК (0; 0), (-10; 1), (0; 16), (-1; 2), (0; 0), (-9; 0), (-84 -1), (-6; -2), (-3; 3), (5; -3), (10; -2), (12; -1), (13; 0), (-9; 0), (0; 0), (0; 16), (12;2), (0; 0)

Уровневая дифференциация при изучении темы «Координатная плоскость»

При изучении данной темы необходимо сформировать у учащихся навык решения двух основных задач:

1.      Определение координат точки, изображенной в прямоугольной системе координат.

2.      Построение точки по известным координатам.

1. Задание исследовательского характера на координатной плоскости
 с использованием фигур.

Перемещение изображений на координатной плоскости.

ПРОЧТИ.

На рисунке изображена веточка дуба с тремя желудями. Причем два желудя совершенно одинаковы и расположены так, что если переместить верхний желудь строго по вертикали на 9 единиц вниз, то он точно совпадет с нижним желудем и, наоборот, верхнее изображение посредством перемещения нижнего на 9 единиц по вертикали вверх.

ПОДУМАЙ.

-       Как взаимосвязаны координаты точек изображений верхнего и нижнего желудя?

-       Вообще как изменяются координаты точек фигуры, если переместить эту фигуру на некоторое число единиц вверх (вниз) по вертикали?

ВЫПОЛНИ.

-       Пронумеруй узловые точки изображений обоих желудей одинаковыми числами от 1 до 9.

-       Определи координаты всех точек верхнего желудя и запиши их в первой строке таблицы.

-       Найди координаты точек нижнего желудя и запиши их во второй стороне таблицы.

-       Сравни координаты соответствующих точек и сделай вывод.

ЗАПОЛНИ ТАБЛИЦУ.

№ узловых точек	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Координаты узловых точек верхней фигуры
Координаты узловых точек нижней фигуры

ЗАПИШИ ВЫВОД.

Если  переместить изображение  фигуры  вертикально вниз  (вверх), то абсциссы его точек____, а ординаты______ на одно и то же число, равное ____, на которое выполнено перемещение.

Приложение 3.

Индивидуальная дифференциация на этапе проверки знаний и умений
по теме «Квадратичная функция». 9 класс

Самостоятельная работа на 20-30 мин.

В-1.

1.   Принадлежат ли графику функции у = 2х² точки (1; 2); (-2: 8); (0,5)?

2.   Постройте график функции у = - 2х² +3.

3.   Найдите координаты вершины параболы у = 5х² + 9х – 2.

4.   При каких значениях а график функции у = 3х² + ах – 1 проходит через точку (-2; 1)?

В-2.

1.   При каком значении а график функции у = ах² проходит через точку (100; 10); (-10; - 1000)?

2.   Постройте график функции у = - 2(х + 2 )²- 3.

3.   Найдите координаты вершины параболы у = - х² - 8х + 9.

4.   При каких значениях с график функции у = х² - 6х +с пересекает ось абсцисс в одной точке? Найти её и сделать чертеж.

В-3.

1.   При каких значениях аиbграфик функции у = ах² + bх + с проходит через точки (1; 2) и (2; 10)?

2.   Построить график функции у = (-2х² +3).

3.   Восстановите квадратную функцию у = х² + рх + q по вершине (-1; 2) параболы.

4.   При каких значениях а график функции у = (а + 5)х² +х + а - 3 пересекает ось OX  по разные стороны от оси ординат? Сделать чертёж.

Приложение 4.

Инструктивные карты для проведения самостоятельных работ

Решение логарифмических уравнений

Решите уравнение log₃(x - 6х + 17) = 2.    

Указание:

1.      Найдите область определения. Для этого надо решить неравенство
х²-6х+17>0.

2.      Замените 2 на log₃ 9.

3.      Решите уравнение log₃ (х² -6х + 17)= log₃ 9.

4.      Проверьте, все ли получившиеся значения переменной входят в область определения;

5.      Запишите ответ.

Решить это уравнение можно иначе: сначала уравнение х² - 6х + 17= 9 решить без нахождения области определения, а затем проверить полученные корни. Если при подстановке значения переменной х получается истинное равенство, то это значение х является корнем данного уравнения.

Решение логарифмических уравнений

Рассмотрим решение уравнения log₄(x-1) =log₄ (5-х).

Область определения находится из системы неравенств:

.

Из равенства log₄ (х-1) = log₄ (5-х) следует, что х-1 = 5- х.

2х = 6,

 х = 3.

Так как 3 входит в область определения, то ОТВЕТ: х = 3.

Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю

 - обыкновенная дробь, а - числитель, b - знаменатель.

1.     Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей;

2.     Вычислить дополнительные множители, разделив наименьшее общее кратное на каждый знаменатель;

3.     Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Решение линейных уравнений

hx+b= 0 – линейное уравнение.

1.      Если в уравнении есть скобки, то прежде чем его решить, нужно скобки раскрыть, используя правило, одно из них сформулировано так: «Если перед скобкой стоит знак "-" то скобки можно опустить, поменяв при этом знаки всех слагаемых на противоположные».

2.      Привести подобные слагаемые.

3.      Неизвестные переносятся в левую часть, а свободные члены - в правую часть уравнения. Знаки при этом переносе меняются на противоположные.

4.      Найти неизвестное.

Решение линейных неравенств

а>b (а больше b) а<b (а меньше b).

1.      Алгоритм решения линейных неравенств такой же, как у линейных уравнений  (неизвестные переносятся в левую часть уравнения, а свободные члены - в правую часть, с противоположным знаком): 3х + 6>0,     3х>-6.

2.      При умножении и делении обеих частей неравенства на положительное число  знак неравенства не меняется.    3х > -6, разделим на 3 х > -2.

3.      Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

2х < - 10 х,

x>-5.

Линейная функция

1. Принадлежат ли графику функции у = - 2х +1 точки  А (0; 1), В (1; 0),

С(-3;5),D(-1;3)?

2.   В одной и той же системе координат постройте графики функций: а) у=2х; б)у = 2х+1; в) у = 2х-1.

3.   График функции у = - Зх + в проходят через точку А (-1; 6). Найдите значение в и постройте график к этой функции.

4.   График функции у = кх + 4 проходит через точку В (1; 3). Найдите значение к и постройте график этой функции.

5.   Постройте график функции у = х-4. С помощью графика найдите множество значений переменной х, при которых значения функции:

а) положительны; б) отрицательны.

Решение систем уравнений способом подстановки

Рассмотрим решение системы:

1)     Из первого уравнения выразим у через х: у= 13+5х.

2)     Подставим во второе уравнение вместо у выражение у=13+5х.

4х -3 (13 + 5х) = -17.

3)     Решим линейное уравнение с одной переменной

4х-39- 15х=-17,                                            -11х = 22,

4х-15х = -17+39,                                          х = -2.

4) Найдите значение х,  подставьте в равенство (1) получим у:

у= 13 + 5 (-2),

у = 13 – 10,

у = 3.

Равносильные уравнения

Определение.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим решение уравнения:

х- 5   2-х   ^ 9       6

1)   Умножим все члены уравнения на общий знаменатель дробей - число 18:
2(х -5)-3(2-х)=36.

2)   Раскроем скобки: 2х- 10-6+Зх = 36.

3) Перенесем члены, содержащие переменную, в левую часть уравнения, а
члены, не содержащие переменную, в правую:

2х + 3х = 36+ 10 + 6.

4) Приведем подобные члены: 5х = 52.

ОТВЕТ:   .

Обратите внимание на то, что при переносе членов из одной части уравнения в другую с изменением их знака, при умножении обеих частей уравнения на отличное от нуля число и при приведении подобных членов мы получаем равносильные.

График линейной функции

1.        При каком значении b график функции у = -2х + b проходят через точку
(-1;4)?

2.        При каком значении k график функции; y = кх + 10 пройдет через точку

(1;-5)?

3. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = 3х - 4;

y = 2х + 5.

4.      Установите, является ли каждая из точек А (1; 2), D (2; 1), В (4; 11), С (1; 5) пересечением графиков функций у = 3х - 1 и у = 2х +3.

График линейной функции

1. Переменные х и у прямо пропорциональны. Заполните таблицу:

X	1	3	-5	-7	-10
У			20

2. Постройте график функции у = - 2х. При помощи графика найдите:

а) значение функции, соответствующее аргументу х=3;

б) множество значений переменной, для которых у > -6.

Приложение 5.

Урок математики в 6 классе

Тема урока «Действия с обыкновенными дробями»

Цель урока – обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Действия с обыкновенными дробями».

Задачи:

-       закрепить умения и навыки выполнения сравнения, сокращения, сложения, вычитания, умножения, деления обыкновенных дробей;

-       развивать творчество, сообразительность, смекалку учащихся, культуру их речи, познавательную активность;

-       воспитывать чувство ответственности, коллективизма, самоконтроля, формировать интерес к изучению математики.

Тип урока – повторительно-обобщающий.

Оборудование урока: Индивидуальные карточки с заданиями, презентация «Обыкновенные дроби».

Ход урока

I.       Мотивационная беседа.

Учитель: Давно я, ребята, хотела стать сказочницей. Наверное, потому, что слушают сказки обычно со вниманием, заинтересованно. А еще потому, что сказки всегда заканчиваются хорошо.

Так не откажите же в удовольствие, послушайте мою сказку, да и включайтесь в это волшебное действо сами.

Ну, что, готовы? Тогда начнем.

Было это давным-давно. В одном государстве жил-был царь, и был у него сын Иван-царевич.

Вот взгрустнул как-то батюшка, позвал он Ивана-царевича и молвит ему: «Ох, грустно мне, грустно. Ничего нового в моей жизни не происходит. Хоть бы ты, Иван, развеял мою тоску. Вот прослышал я, что есть какое-то «некоторое царство», в котором водятся какие-то дроби обыкновенные. Может это такие, которыми  можно мой дробовик заряжать?

Съездил бы ты, сынок, узнал, что это за невидаль такая, а то помру, не узнавши».

Делать нечего, отправился Иван-царевич в «некоторое» государство.

На пути своем много хороших друзей приобрел, а самой лучшей подружкой для него стала, как ни странно, Баба Яга – веселая старушка, к математике дюже не равнодушная.

А еще повстречал он Елену Прекрасную. Полюбил ее Иван-царевич с первого взгляда, а она решила сразу свою любовь не показывать, испытать парня, умен ли?

Вот и сказала она ему: «Как преодолеешь все испытания, буду я твоей женой».

Вот я  вам и предлагаю помочь парню, чтобы сбылась его мечта.

Испытание 1.

Первым делом давайте проверим ваши теоретические знания (Елена Прекрасная все по науке делает, по правилам. Задания проецируется через проектор, учащиеся отвечают на вопросы, ставят «+», если согласны с утверждением и «-», если не согласны.)

Ответы записывают в таблицу под копирку, затем ученики сдают один лист  учителю, а один оставляют для самопроверки.

Задания теоретического опроса:

  а 

1.    в  - это выражение называется обыкновенной дробью;                     +

2. а – знаменатель,                                                                                            -

в – числитель.

3. Знаменатель в показывает, на сколько частей разделено целое.           +

4. Числитель а показывает, сколько таких частей нужно взять.                +

5. Дробь, у которой числитель больше знаменателя, называют правильной.     -

6. Дробь, у которой числитель больше знаменателя, называют неправильной.   -

7. Основное свойство дроби: если числитель или знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то  получится дробь, равная данной.   -

8. Сокращение дробей основывается на основном свойстве дроби.         + 

9. Если НОД чисел равен единице, то они называются простыми.           -

10. Наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на числа а и в,  называется НОК (а; в).                                                                                   +

11. Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.                                                             +

12. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним.                                                             -

13. Два числа, сумма которых равна единице, называют взаимно-обратными.                                                                                                       -

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
+	-	+	+	-	-	-	+	+	+	+	-	-

Учащиеся выставляют себе оценку за теоретический опрос.

0-1 ошибка – «5»

2-3 ошибки – «4»

4-6 ошибок – «3»

Более 6 ошибок – «2»

Испытание 2. Решила проверить Елена Прекрасная, как Иван-царевич и вы умеете применять теоретические знания на практике.

Решите серию задач. (За каждый правильный ответ ученик получает жетон.)

Устная работа на логическое мышление и поисковую деятельность.

1. В этих рядах есть «лишняя» дробь. Назовите ее.

      5 ;   8 ;   2 ;   11

а)   7     6     3     15

б) 1 ; 1,5; ; 1,75

в) ; 0,125; ;

2. Назовите число, обратное данному

; ; 1 ; 9; .

3. Решите задачу: Ехал как-то Иван-царевич по лесу и встретил на поляне трех человек, которые друг с другом о чем-то спорили. Спешился Иван-царевич, подошел к ним ближе и спрашивает: «О чем спорите, люди добрые?». Те ему отвечают: «Вот уже почитай три года делим отцово наследство. Оставил батюшка старшему 43/129 всего состояния, среднему – 27/81, а самому младшему – 11/33, да и забыл сказать, как его наказ выполнить.

Вот и делим мы наследство, да поделить не можем» Ну что, поможем                                людскому горю?

4. Однажды, на вечеринке у Бабы Яги леший решил блеснуть знаниями в сокращении дробей и сократил дробь так:

16       =       1

     64                4

Верный ли ответ он получил? Как нужно было сокращать? Придумайте подобный пример.

5.

 

Найдите  натуральных соседей.

Какое универсальное средство дробей вы знаете? А еще по каким правилам можно сравнивать дроби?

6. Сравните:

 4      5

а)   9  и  7

      9       19

б)  5   и  20

     100       100

в)  105  и   106

     4        5

г)  17 и 17

Ох, и понравились же вы Елене Прекрасной! И прислала она вам в подарок такой цветочек, а в нем подсказка, как сравнить две дроби различными способами.

7. Определите, кто сильней?

1

Этот способ сравнения называется дополнением дроби до единицы.

8. Найдите в таблице № 2 числа, равные числам из таблицы № 1.

16 24

35 42

18 54

25 40

8 32

12 30

1 4

2 3

2 5

5 6

5 8

1 3

9. Найдите ошибки и охарактеризуйте их.

а) 1  . 5 = . =

б) 6 . ( 2 +  ) = 6 . 2+

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л) на 0 делить нельзя

                                                                                                             *

10.  Вместо * поставьте такое натуральное число, чтобы дробь  192 оказалась:

а) равной натуральному числу;

б) нулю;

в) числу, большему нуля, но меньше единицы;

                                                                             1

г) числу, меньшему единицы, но большему   2;

               1

д) числу 3;

е) числу      

Итак, и это испытание вы выдержали с честью. А теперь приступаем к следующему. Итак…

Испытание 3 пройдет в форме тестирования. У вас у каждого на парте лежит тестовое задание. Ответы вы должны вписать в заранее подготовленные таблицы с копиркой. Только уговор:

Задания с 1-5 – на «3»

1-6 – на «4»

1-7 – на «5»

(Учащиеся выполняют трехуровневые задания в двух вариантах, по завершении работы первую таблицу сдают, копию оставляют для самопроверки.)

1. Укажите вариант, в котором дроби  5  4     2  9; 7 и 3 расположены в порядке убывания.      5  4  2                                    2  5  7 а)  9; 7; 3                               б) 3; 9; 7     4  5  2                                    2   4  5 в) 7; 9; 3                               г)  3;  7; 9	1. Укажите вариант, в котором дроби  5  2     7  8; 3 и 12 расположены в порядке возрастания.      5  2   7                                     2  5  7 а)  8; 3; 12                               б) 3; 8; 12     7    5  2                                     5   2   7 в) 12; 8; 3                               г)  8;  3; 12
2. Укажите верно выполненное сокращение дроби  . а)          б)        в)        г) сократить                                                        нельзя.	2. Укажите верно выполненное сокращение дроби  . а)          б)        в)        г)
3. сумма дробей  и  равна: а)       б)            в)          г)	3. сумма дробей  и  равна: а)       б)            в)          г)
4.Значение выражения - +  равно:  а)       б)            в)           г) правильного ответа нет.	4.Значение выражения - +  равно:  а)       б)            в)           г) правильного ответа нет.
3.      Что больше:  часа или часа и на сколько минут? а)  ч. >ч. на 3 мин; б)  ч. <ч. на 3 мин; в)  ч. >ч. на 1 мин; г)  ч. <ч. на 20 мин;	Что больше:  часа или  часа и на сколько минут? а)  ч. >ч. на 2 мин; б)  ч. ч. < на 20 мин; в)  ч. >ч. на 1 мин; г)  ч. <ч. на 2 мин;
6. Вычислить. а) ;  б)  ;   в)11,6;  г)	6. Вычислить. а) ;   б) ;  в) ;   г)
7. Найти неизвестное число 2х +  = а) ;   б) ;  в) ;  г)1	7. Найти неизвестное число.   а) ;   б);   в) ;  г)

Таблицы ответов

                      Вариант 1                                                           Вариант 2

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

а

Х

Х

а

Х

Х

б

Х

Х

б

Х

Х

Х

в

Х

Х

в

Х

Х

г

Х

г

Учащиеся сверяют свои ответы с образцами, выставляют себе оценки.

Учитель: Вот уж скажет нам Иван-царевич: «Спасибо, ребята за службу! Сразу столько примеров решили, помогли мне! Не откажет мне теперь Елена Прекрасная! Выйдет за меня замуж».

Подводится итог работы на уроке.

Учитель: Вот и сказке конец, а значит конец и нашему путешествию по «некоторому» царству. Спасибо вам за то, что помогли Ивану-царевичу, да и меня послушали.

Домашняя зачетная работа по теме «Действия с обыкновенными дробями» (по трем уровням сложности)

1 Вариант (задания первого уровня сложности).

1. Вычислить.

1) 1+ 2) 2+ 1 3) 5 - 2 4) 27-19 5) 6  - 3 6)  . 7) 1  . 8) 3 . 12

9) 15 . 10) 1   .   2 11) 10: 12) 1 : 13) 4 : 6 14) 21: 15)  2 : 1 16) 1  :

2 вариант (задания второго уровня сложности).

1. Вычислить.                                                 2. Найдите неизвестное число.

1) + + 1 2) 1 -+ 2 3)  . ( + 1 ) 4) ( 1 - ) . 18 5) 2 : - 6) ( 4 - )  .  ( 1 - ) 7) 1  .  ( - ) 8) ( + ) : 1

1)      3 х + 1 = 3 2)      5 – 3х = 1 3)      4 - 2 х = 2 4)      6 - 2 х = 5

3 вариант (задания третьего уровня сложности).

1. Вычислить.

1) 4  .  ( 2 - ) + ( + 1)  .  6

2) 4 .  ( 2 +1 ) - ( 6+ 4) : 2

3) ((1 )³- ) : + 1  .  2

2. Найти неизвестное число.

1) 7  - х = 5 - 1

2) 4 -  х =  + 1

Краткое описание документа:

В данном сборнике содержатся материалы Ольги Сергеевны Кузнецовой - учителя МОУ СОШ №3 г. Облучья, победителя конкурса «За высокое педагогическое мастерство и значительный вклад в образование» в рамках реализации приоритетного национального проекта «Образование» в ЕАО, показывающие значение уровневой дифференциации как в среднем звене, так и в старшей школе. Учитель делится опытом организации дифференцируемого обучения на уроках математики.

Данный опыт предназначен для учителей ОУ и преподавателей профтехучилищ.