Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».

Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:





Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».

Цели урока:

Образовательные:

1)выяснить зависимость корней квадратного уравнения ах2 + вх + с=0 от коэффициентов а, в, с.

2) Нахождение рациональных способов решения квадратных у уравнений

3) Использование рациональных способов при решении квадратных уравнений.

Развивающие:

1) Развитие навыка познавательного интереса

2) Развитие навыков исследовательской работы

 2)  Развитие навыков самостоятельной работы.

3) создать базу для продуктивного генерирования идей школьников.

4)развитие творческих способностей и осознанного усвоения и глубокого усвоения программы.

        5)  Развитие самоконтроля.

        6)  Развитие внимания.

        Воспитательные:

        1)  Воспитание коммуникативности, умения слушать.

        2)  Воспитание умения осуществлять совместную деятельность.

        Задачи урока:

  1. Генерирование идей на основе разнообразных манипуляций с коэффициентами квадратных уравнений.

  2. Поиск, конструирование объектов, соотнесение их друг с другом, с целью получения идей и фактов

  3. Построение объектов с заданными свойствами, а свойство - это различная связь между коэффициентами.

  4. Составление задач на основе этой идеи.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мультимедийный проектор, презентации к уроку.

План урока:

  1. Нахождение математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

  2. Исследование математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

  3. Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.

  4. Перенос математических особенностей квадратных уравнений.

  1. Актуализация знаний.

Практическое исследование:

Предлагается учащимся решить ряд квадратных уравнений, используя теорему обратную теореме Виета. После решения квадратных уравнений обратить внимание на коэффициенты уравнений и корни этих уравнений:

II. Организация учебно-познавательной деятельности.

Учащиеся объединяются в группы, дается задание для каждой группы.

1 группа.

  1. х2 + х – 2 = 0, коэффициенты: 1 + 1 – 2 = 0, корни: х1 = 1, х2 = -2

  2. х2 + 2х – 3 = 0, коэффициенты: 1 + 2 – 3 = 0, корни: х1 = 1, х2 = -3

  3. х2 - 3 х + 2 = 0, коэффициенты: 1 - 3 +2 = 0, корни: х1 = 1, х2 = 2

  4. 14 х2 - 17 х + 3 = 0, коэффициенты: 14 - 17 + 3 = 0, корни: х1 = 1, х2 = 3/14hello_html_3643482f.gif

  5. 13х2 - 18 х + 5 = 0, коэффициенты: 13 – 18 + 5 = 0, корни: х1 = 1, х 2= 5/13

2 группа.

  1. х2 - 2 х – 3 = 0, коэффициенты: 1 + (- 2) = 3 , корни: х1 = - 1, х2 = 3

  2. 2 + 3х + 1 = 0, коэффициенты: 2 + 1 = 3, корни: х1 = - 1, х2 = -1/2hello_html_6eec8aff.gif

  3. 2 - 4х – 9 = 0, коэффициенты: 5 + (– 9) = -4, корни: х1 = -1, х2 = hello_html_m931adc5.gif9/5

  4. х2 - х – 2 = 0, коэффициенты: 1+ ( – 2) = -1, корни: х1 = -1, х2 = 2

  5. 14х2 + 3х - 11 = 0, коэффициенты: 14 +( – 11) = 3, корни: х1 = - 1,х2=hello_html_65f15986.gif11/14

После решений, учащиеся методом рассуждений приходят к следующим выводам:

III. Совместная деятельность учащихся.

Вывод1.

Во всех предложенных уравнениях

первой группы коэффициенты а + в + с = 0 и один из корней равен 1, а другой hello_html_m253d5c7.gifc/a

Вывод2.

Во всех предложенных уравнениях второй группы коэффициенты

а + с = в и один из корней равен - 1, а другой hello_html_m3b74a5aa.gif- c/a.

Учащиеся в ходе беседы выдвигают, свои гипотезы.

Формулирование гипотезы:

а) если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0,

то х1 = 1, х2 = c/a

б) если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + с = в,

то х1 = -1, х2 = - c/a

Предлагается доказать гипотезы, используя теорему обратную теореме Виета:

Доказательство гипотезы.

а) По условию а + в + с = 0, значит в = - (а + с).

Подставим значение «в» в уравнение ах2 + вх + с = 0,

получим: ах2 - (а + с)х + с = 0.

Почленно разделим на а≠0, получим:

х2 - (a+c)x/a + c/a =0,

х2 – (1+ hello_html_37f9032d.gif c/a )х + hello_html_37f9032d.gif c/a = 0.

По теореме обратной теореме Виета:

х1 + х2 = - hello_html_m3268d851.gifb/a х1 х2 = c/a

значит х1=1, х2 = hello_html_37f9032d.gif c/a

б) По условию в = а + с.

Подставим значение «в» в уравнение ах2 + вх + с = 0,

получим: ах2 + (а + с)х + с = 0.

Раскроем скобки: ах2 + ах + сх + с = 0.

Разложим левую часть на множители:

ах (х+1) + с (х + 1)=0,

(х + 1)(ах + с) =0,

х + 1 = 0 или ах + с = 0,

х1 = -1, х2 = - hello_html_37f9032d.gif c/a.

Гипотезы доказаны, сделаются выводы:

Вывод:№1

Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то,

  1. записать х1 = 1,

  2. найти и записать х2 = c/a

Вывод:№2

Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а - в + с = 0, то

  1. записать х1 = -1,

  2. найти и записать х2 = - c/a.

IV. Этап закрепления новых знаний.

Перенос математических особенностей простейших квадратных уравнений.

Установка учителя: Покажем, применение данных выводов при решении более сложных квадратных уравнений, не прибегая к способу замены переменной..

При решении квадратного уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать его проще.

1

(5х + 3)2 = 3(5х + 3) – 2,

(5х + 3)2 - 3(5х + 3) + 2=0.

Так как, а + в + с = о, то 5х + 3 = 1, 5х = -2, х = - 2/5 и 5х + 3 = 2, 5х = -1, х = - 1/5.

Ответ: - 2/5; - 1/5.

2

(x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 =0

Так как, а + с = в, то х1 = -1, х2 = 3

В первом случае, будет x2 – 2x = -1, x2 – 2x +1=0, х1 = 1, х2 = 1- два совпадающих корня

Во втором случае, будет x2 – 2x =3, x2 – 2x -3=0, х1 = -1, х2 = 3 .Ответ: -1; 1; 3.



Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.

Установка учителя:

1) Составьте простейшие квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения могут быть числа -5; 1; 4.

( х2 + 4х – 5 = 0, 4 х2 + х – 5 = 0, -5х2 + 4х + 1 = 0, -5 х2 + х +4 = 0)

2)Решите, составленные вами квадратные уравнения и установите связь между корнями .

а) х2 + 4х – 5 = 0, х1 = 1, х 2= -5

б)4 х2 + х – 5 = 0, х1 = 1, х 2= -5/4

в)-5х2 + 4х + 1 = 0, х1 = -1, х 2= -1/5

г) -5 х2 + х +4 = 0, х1 = -1, х 2= -4/5

(Учащиеся составляют уравнение по заданному условию и находят связь между корнями.) Делают вывод:

Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то значения корней в полученном уравнении будут взаимно обратными корням в исходном уравнении

V. Рефлексия.

Учитель:

На листе бумаги обведите свою ладошку. каждый палец – это какая то позиция, по которой необходимо высказать свое мнение.  большой – для меня это важно и интересно …  указательный - я получил конкретные рекомендации…  средний - мне было трудно ( не понравилось)…  безымянный – моя оценка психологической атмосферы…  мизинец - для меня было недостаточно…

VI . Домашнее задание

1 Решить уравнение

(1 – 3х)2 = 4 (1 – 3х) – 3,

2 Составьте и решите простейшие квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения могут быть числа -14; 3; 11.





Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Краткое описание документа:

На уроке рассматриваются частные случаи решения квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой. Такие частные случаи позволяют решать квадратные уравнения гораздо проще.

Целью урока:

1.Нахождение математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

2.Исследование математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

3.Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.

Автор
Дата добавления 22.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров334
Номер материала 309924
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх