Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».

Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».

Цели урока:

Образовательные:

1)выяснить зависимость корней квадратного уравнения ах² + вх + с=0 от коэффициентов а, в, с.

2) Нахождение рациональных способов решения квадратных у уравнений

3) Использование рациональных способов при решении квадратных уравнений.

Развивающие:

1) Развитие навыка познавательного интереса

2) Развитие навыков исследовательской работы

 2)  Развитие навыков самостоятельной работы.

3) создать базу для продуктивного генерирования идей школьников.

4)развитие творческих способностей и осознанного усвоения и глубокого усвоения программы.

        5)  Развитие самоконтроля.

        6)  Развитие внимания.

        Воспитательные:

        1)  Воспитание коммуникативности, умения слушать.

        2)  Воспитание умения осуществлять совместную деятельность.

        Задачи урока:

1. Генерирование идей на основе разнообразных манипуляций с коэффициентами квадратных уравнений.

2. Поиск, конструирование объектов, соотнесение их друг с другом, с целью получения идей и фактов

3. Построение объектов с заданными свойствами, а свойство - это различная связь между коэффициентами.

4. Составление задач на основе этой идеи.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мультимедийный проектор, презентации к уроку.

План урока:

1. Нахождение математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

2. Исследование математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

3. Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.

4. Перенос математических особенностей квадратных уравнений.

1. Актуализация знаний.

Практическое исследование:

Предлагается учащимся решить ряд квадратных уравнений, используя теорему обратную теореме Виета. После решения квадратных уравнений обратить внимание на коэффициенты уравнений и корни этих уравнений:

II. Организация учебно-познавательной деятельности.

Учащиеся объединяются в группы, дается задание для каждой группы.

1 группа.

1. х² + х – 2 = 0, коэффициенты: 1 + 1 – 2 = 0, корни: х₁ = 1, х₂ = -2

2. х² + 2х – 3 = 0, коэффициенты: 1 + 2 – 3 = 0, корни: х₁ = 1, х₂ = -3

3. х² - 3 х + 2 = 0, коэффициенты: 1 - 3 +2 = 0, корни: х₁ = 1, х₂ = 2

4. 14 х² - 17 х + 3 = 0, коэффициенты: 14 - 17 + 3 = 0, корни: х₁ = 1, х₂ = 3/14

5. 13х² - 18 х + 5 = 0, коэффициенты: 13 – 18 + 5 = 0, корни: х₁ = 1, х ₂= 5/13

2 группа.

1. х² - 2 х – 3 = 0, коэффициенты: 1 + (- 2) = 3 , корни: х₁ = - 1, х₂ = 3

2. 2х² + 3х + 1 = 0, коэффициенты: 2 + 1 = 3, корни: х₁ = - 1, х₂ = -1/2

3. 5х² - 4х – 9 = 0, коэффициенты: 5 + (– 9) = -4, корни: х₁ = -1, х₂ = 9/5

4. х² - х – 2 = 0, коэффициенты: 1+ ( – 2) = -1, корни: х₁ = -1, х₂ = 2

5. 14х² + 3х - 11 = 0, коэффициенты: 14 +( – 11) = 3, корни: х₁ = - 1,х₂=11/14

После решений, учащиеся методом рассуждений приходят к следующим выводам:

III. Совместная деятельность учащихся.

Вывод №1.

Во всех предложенных уравнениях

первой группы коэффициенты а + в + с = 0 и один из корней равен 1, а другой c/a

Вывод №2.

Во всех предложенных уравнениях второй группы коэффициенты

а + с = в и один из корней равен - 1, а другой - c/a.

Учащиеся в ходе беседы выдвигают, свои гипотезы.

Формулирование гипотезы:

а) если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0, а + в + с = 0,

то х₁ = 1, х₂ = c/a

б) если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0, а + с = в,

то х₁ = -1, х₂ = - c/a

Предлагается доказать гипотезы, используя теорему обратную теореме Виета:

Доказательство гипотезы.

а) По условию а + в + с = 0, значит в = - (а + с).

Подставим значение «в» в уравнение ах² + вх + с = 0,

получим: ах² - (а + с)х + с = 0.

Почленно разделим на а≠0, получим:

х² - (a+c)x/a + c/a =0,

х² – (1+ c/a )х + c/a = 0.

По теореме обратной теореме Виета:

х₁ + х₂ = - b/a х₁ х₂ = c/a

значит х₁=1, х₂ = c/a

б) По условию в = а + с.

Подставим значение «в» в уравнение ах² + вх + с = 0,

получим: ах² + (а + с)х + с = 0.

Раскроем скобки: ах² + ах + сх + с = 0.

Разложим левую часть на множители:

ах (х+1) + с (х + 1)=0,

(х + 1)(ах + с) =0,

х + 1 = 0 или ах + с = 0,

х₁ = -1, х₂ = - c/a.

Гипотезы доказаны, сделаются выводы:

Вывод:№1

Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0, а + в + с = 0, то,

1. записать х₁ = 1,

2. найти и записать х₂ = c/a

Вывод:№2

Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0, а - в + с = 0, то

1. записать х₁ = -1,

2. найти и записать х₂ = - c/a.

IV. Этап закрепления новых знаний.

Перенос математических особенностей простейших квадратных уравнений.

Установка учителя: Покажем, применение данных выводов при решении более сложных квадратных уравнений, не прибегая к способу замены переменной..

При решении квадратного уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать его проще.

№1

(5х + 3)² = 3(5х + 3) – 2,

(5х + 3)² - 3(5х + 3) + 2=0.

Так как, а + в + с = о, то 5х + 3 = 1, 5х = -2, х = - 2/5 и 5х + 3 = 2, 5х = -1, х = - 1/5.

Ответ: - 2/5; - 1/5.

№2

(x² – 2x)² – 2(x² – 2x) – 3 =0

Так как, а + с = в, то х₁ = -1, х₂ = 3

В первом случае, будет x² – 2x = -1, x² – 2x +1=0, х₁ = 1, х₂ = 1- два совпадающих корня

Во втором случае, будет x² – 2x =3, x² – 2x -3=0, х₁ = -1, х₂ = 3 .Ответ: -1; 1; 3.

Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.

Установка учителя:

1) Составьте простейшие квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения могут быть числа -5; 1; 4.

( х² + 4х – 5 = 0, 4 х² + х – 5 = 0, -5х² + 4х + 1 = 0, -5 х² + х +4 = 0)

2)Решите, составленные вами квадратные уравнения и установите связь между корнями .

а) х² + 4х – 5 = 0, х₁ = 1, х ₂= -5

б)4 х² + х – 5 = 0, х₁ = 1, х ₂= -5/4

в)-5х² + 4х + 1 = 0, х₁ = -1, х ₂= -1/5

г) -5 х² + х +4 = 0, х₁ = -1, х ₂= -4/5

(Учащиеся составляют уравнение по заданному условию и находят связь между корнями.) Делают вывод:

Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то значения корней в полученном уравнении будут взаимно обратными корням в исходном уравнении

V. Рефлексия.

Учитель:

На листе бумаги обведите свою ладошку. каждый палец – это какая то позиция, по которой необходимо высказать свое мнение.  большой – для меня это важно и интересно …  указательный - я получил конкретные рекомендации…  средний - мне было трудно ( не понравилось)…  безымянный – моя оценка психологической атмосферы…  мизинец - для меня было недостаточно…

VI . Домашнее задание

№1 Решить уравнение

(1 – 3х)² = 4 (1 – 3х) – 3,

№2 Составьте и решите простейшие квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения могут быть числа -14; 3; 11.

Краткое описание документа:

На уроке рассматриваются частные случаи решения квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой. Такие частные случаи позволяют решать квадратные уравнения гораздо проще.

Целью урока:

1.Нахождение математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

2.Исследование математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

3.Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.