Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Теоретические факты для подготовки к решению планиметрических задач повышенного и высокого уровня сложности

Теоретические факты для подготовки к решению планиметрических задач повышенного и высокого уровня сложности


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Теоретические факты для подготовки к С4.

Треугольник

hello_html_md866064.png

Неравенство треугольника:

hello_html_m7633f9c0.gif

Теорема синусов:

hello_html_m4c9a222c.gif

Теорема косинусов:

hello_html_1c53f008.gif

Площадь треугольника:

hello_html_m31086ebd.gif

hello_html_m4bd0eced.gif

hello_html_m4b0db4a4.gif (формула Герона)

hello_html_m669f9d61.gif,
r- радиус вписанной окружности

hello_html_m66e8a5cf.gif,
R - радиус описанной окружности

Равносторонний треугольник

hello_html_8555bfe.png

hello_html_m3d490fae.gif

hello_html_m6df364c8.gif

hello_html_4e82a74e.gif

hello_html_m321ee866.gif


Прямоугольный треугольник

hello_html_m255d5398.png

hello_html_m31a47f5b.gif

hello_html_m60c7d78.gif

hello_html_c65dff6.gif

Теорема Пифагора:hello_html_m6147a06c.gif

hello_html_3f4d6434.gif

hello_html_44525b56.gif

hello_html_m5cae82ab.gif

hello_html_1821a7e5.gif

hello_html_130933c3.gif

hello_html_m2e89918c.gif

hello_html_mea48e3c.gif



Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство биссетрисы треугольника

hello_html_3731159c.png

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, прилежащие пропорциональным сторонам.

hello_html_m424bfac1.gif

Подобные фигуры и площади

hello_html_m43381235.gif

(отношение всех линейных размеров)

hello_html_54f0cbc4.gif

Высоты и подобиеhello_html_m31e691d3.png

Если в треугольнике hello_html_md69cbf5.gif проведены высоты hello_html_4b15f53c.gif и hello_html_m332c84d8.gif, то hello_html_m4b136587.gif, причем
=hello_html_e9b758f.gif.

Отношение площадей 1

hello_html_f2447c8.png

Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся, как длины их оснований.

hello_html_m223dc776.gif

Отношение площадей 2

hello_html_m5ad87ca9.png

hello_html_m34d66960.gif

Отношение площадей 3

hello_html_195d41c5.png

Если у двух треугольников есть равные углы, то их площади относятся как произведения длин сторон, содержащих равные углы.

hello_html_m43f30951.gif

Медиана и равновеликие фигуры

hello_html_m1068a3a4.png

Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих.

Свойство биссектрисы параллелограмма

hello_html_m24ba0887.png

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Диагональ и равновеликие фигуры

hello_html_m384acdff.png

Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.

Диагонали и равновеликие фигуры

hello_html_m5ec135fb.png

Диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.

Равнобедренная трапеция

hello_html_m30cda914.png

hello_html_m19c6348a.gif,

где hello_html_m61d40f11.gifсредняя линия трапеции

hello_html_1292118a.gif

Трапеция и площади

hello_html_30b70ad4.png

hello_html_m730c6a3f.gif

Диагонали трапеции разбивают её на два равновеликих треугольника, прилегающих к боковым сторонам, и два подобных треугольник, прилегающих к основаниям.

Центральные и вписанные углы

hello_html_m787a64e2.png

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Если центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла.

Отрезки касательных

hello_html_m1351cf35.png

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.

hello_html_1686b09c.gif

Равноудаленные хорды

hello_html_m356a0411.png

Хорды, равноудалённые от центра окружности, равны.

Свойство радиуса, перпендикулярного хорде

hello_html_7bb6ff10.png

Радиус (диаметр) окружности, перпендикулярный некоторой хорде, делит её пополам.

Описанная около треугольникаокружность

hello_html_m46955803.pnghello_html_679f4be8.png

O-точка пересечения серединных перпендикуляров.

Для остроугольного треугольника   центр внутри.

Для прямоугольного треугольника   центр на гипотенузе.

Для тупоугольного треугольника   центр снаружи.

hello_html_m260a915e.gif

Серединный перпендикуляр – это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.

Вписанная в треугольник окружность

hello_html_f96eb69.pnghello_html_68d40ed7.png

O-точка пересечения биссектрис

hello_html_m10aa4a2.gif, P- периметр

hello_html_m4f0675dc.gif

Биссектриса угла – это множество точек, равноудаленных от его сторон.

Формула Эйлера для треугольника

hello_html_735644b0.png

hello_html_6db02003.gif

hello_html_m5c72a4de.gifрасстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Формула Эйлера для четырёхугольника

hello_html_3363b5ca.gif

Вневписанная окружность и треугольник

hello_html_m520491d6.png

O-точка пересечения биссектрис внешних углов A и C

hello_html_4c72041a.gif,

p- полупериметр

hello_html_18ae0dbe.gif

Касательная, секущая и хорда

hello_html_m313d92e0.png

Квадрат касательной равен произведению длины секущей на её внещнюю часть

hello_html_3f0a94c5.gif

Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных внутри

hello_html_m61f7540d.gif

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри

hello_html_6a113740.gif

Две секущие

hello_html_25a827b3.png

Произведение длины секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная, не зависящая от выбора секущей.

hello_html_m6ab248af.gif

Угол между секущими равен полуразности дуг, заключенных внутри

hello_html_88e1dec.gif

Две хорды

hello_html_m6e78341b.png

Если две хорды пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды

hello_html_6b5dd540.gif

Угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных внутри

hello_html_344f556d.gif

Вписанный четырёхугольник

hello_html_m6a8a3e0d.png

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 1800.


Вписанная трапеция

hello_html_m386e47a2.png

Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

Описанный четырёхугольник

hello_html_m114f70cc.png

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

hello_html_m2cd67e7a.gif

Квадрат

hello_html_m72c5065d.png

hello_html_m7d30aaac.gif

hello_html_5a417153.gif

hello_html_aefb580.gif

hello_html_m78287b9f.gif

Правильный шестиугольник

hello_html_m312a5ccf.png

hello_html_mcd8f86.gif

hello_html_m688d4055.gif

hello_html_363e3e55.gif

hello_html_m59362b6a.gif

Пересекающиеся окружности

hello_html_m6218d1fa.png

Общая хорда двух окружностей перпендикулярна линии их центров и делится ею пополам.

Касающиеся окружности

hello_html_m7a3d33eb.pnghello_html_2a8e7ae8.pnghello_html_m5ffc0110.png

При любом способе касания двух окружностей точка их касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой.


Квадрат расстояния между точками касания касающихся окружностей равен учетверённому произведению длин их радиусов.

hello_html_1d4bbba9.gif

Непересекающиеся окружности и их общая касательная

hello_html_m421a4d24.pnghello_html_m4c92ce74.png




hello_html_m5e98fde0.gif






hello_html_25803587.gif



Автор
Дата добавления 31.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров147
Номер материала ДВ-573299
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх