Урок алгебры в 9 классе "«Сумма n-первых членов арифметической прогрессии»

Урок алгебры в 9 классе

«Сумма n-первых членов арифметической прогрессии»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель: формирование знаний о нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи урока:

образовательные: познакомить обучающихся с формулами нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии; информировать обучающихся об истории возникновения и бывшего названия суммы
n-первых членов арифметической прогрессии.

развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность обучающихся на уроке посредством вывода формул суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

воспитательные: способствовать формированию навыков коллективной работы в группах и самостоятельной работы при выводе формул.

Оборудование: медиапроектор.

Раздаточный материал: памятки с теорией, листы ватмана, маркеры, магниты.

Ход урока:

1.      Организация начала урока (слайд 1)

Задание на дом: §15, №439 – 442 (в,г)

Учитель: «О, сколько нам открытий чудных …

Готовит просвещенья дух,

И опыт – сын ошибок трудных,

И гений – парадоксов друг»

Я хочу, чтобы наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта, хорошего настроения.

2. Актуализация знаний

Вы перешли к изучению самой замечательной темы алгебры 9 класса – «Числовые последовательности». Узнали, что такое арифметическая прогрессия, формулу ее n-го члена. А теперь давайте проверим, на сколько вы готовы двигаться дальше. Я предлагаю провести это таким образом. Назовем это теоретической перестрелкой. Разделимся на две группы. (слайд 2)

Ваша задача состоит в том, чтобы через 20 секунд вы были готовы задать два вопроса ребятам из другой группы по теме «Арифметическая прогрессия». На ваших партах лежат памятки с теоретическим материалом, постарайтесь задать те вопросы, которые наиболее полно раскроют пройденный вами материал, т.е. самое важное по данной теме.

Ребята задают вопросы и отвечают на них. Учитель фиксирует ответы и объявляет предварительные итоги устной работы.

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Теперь мы с вами можем продолжать. (слайд 3)

Перенесемся в мир Древнего Египта, страны великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. На этом слайде мы видим, как создавалась пирамида. Египетские пирамиды были построены благодаря не только упорному труду, но и математической мысли. Достижения Египетских математиков непостижимы не только по своему совершенству, но и по точности математических расчетов.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали их на стенах храмов или на папирусах.

(слайд 4) Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца 18–17 веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи. Когда его расшифровали, то узнали что:

(слайд 5) Задача 1. Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом».

(слайд 6) Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность:

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, …а сумма этих камушков образует треугольное число

Обозначим его Sn = 1+2+3+4+…+ n. Где n – это n-й член этой последовательности. И в зависимости от количества членов можно находить любое треугольное число. А какая у нас получилась последовательность?

Арифметическая прогрессия – где каждый член начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, в данном случае – это 1.

Что же такое треугольное число? Это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии. В современной математике нет такого понятия, как треугольное число, в современной науке его называют сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

В течение рассказа учитель ведет беседу с ребятами, активно привлекая их к работе.

(слайд 7) Так мы и назовем тему нашего урока. Запишите ее в тетради.

Учитель объявляет цель урока. На этом уроке мы с вами будем выводить формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим некоторое их применение к практическим задачам.

4. Этап формирования новых знаний. 

(слайд 8) Дано: а_n – арифметическая прогрессия,

а₁ =1, а₂ =2, а₃ =3, а₄ =4, …..

Найти: S₁₀₀ .

Учащиеся  записывают условие задачи в тетрадь.

Давайте определимся. Пусть членов этой последовательности будет 100.

Тогда как можно найти сотое треугольное число или, другими словами, сумму 100 первых членов арифметической прогрессии. Предложите способ ее вычисления.

S ₁₀₀ = 1+2+3+4+…+100.

Может быть, вам эта задача кажется не такой уж и легкой, но эта задача уже однажды была решена, причем 9-ти летним мальчиком.

Историческая справка

Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.

Давайте попробуем повторить этот опыт. Мы разделимся на группы. Каждой группе я даю бумагу, маркер и 1 минуту.

После того, как минута закончилась, учитель собирает ватман и озвучивает результаты.

Подведем итог вашей работы. Какие у вас возникли идеи?

Ответы ребят.

Рассмотрим, как с этим справился маленький Карл: (слайд 8 дальше).

Теперь выведем общую формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

(слайд 9)

(слайд 10) – записать в тетради.

5. Первичное закрепление

1.      Используя формулу устно решить задачи (слайд 11),  (а_n) – арифметическая прогрессия:

а) а₁ = 2, а₁₀ = 20. S₁₀ = ?

б) а₁ = -5, а₇ = 1.S₇ = ?

в) а₁ = -2, а₆ = -17. S₆ = ?

г) а₁ = -5, а₁₁ = 5. S₁₁ = ?

2.      Выполнить задание оформить в тетради и проверить результат.

д) Дано: (а_n) – арифметическая прогрессия;

а₁ =3,    а₆₀ = 57

Найти:  S₆₀

_{3.      Выполнить № 438 (в,г) – взаимопроверка с помощью учителя.}

_{(слад 12)  Валеологическая пауза.   Выполняют упражнения по команде учителя.}

 _{Исходное положение – сидя на стуле, руки на пояс.}

_{Упражнение №1.Голову наклонить вправо. И. п. Голову наклонить влево. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).}

 _{Упражнение №2.  Голову повернуть направо. И.п. Голову повернуть налево. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).}

_{Упражнение №3. Правая рука – вперёд, левая – вверх. И. п. Левая рука – вперёд, правая – вверх. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).}

4.        (слайд 13) Вычислите формулу девяти первых членов арифметической прогрессии (в_n), если  в₁ = -17,  d = 6

-Можно ли вычислить сразу, используя формулу?

- Нет, так как неизвестен девятый член.

- Как его найти?

- По формуле n-го члена арифметической прогрессии.

Вопрос. А нельзя ли найти сумму, не вычисляя девятого члена прогрессии?

Постановка проблемы

Проблема: получить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, зная ее первой член и разность d.

(Вывод формулы у доски учеником.) (слайд 14)

Решим № 441(а, б) по новой формуле.

Устно закрепим формулы,  вернемся к нашей задаче  (слайд 15)

1.      Дано: (а_n) – арифметическая прогрессия;

а₁ =3,    а₆₀ = 57

Найти:  S₆₀

2.      а_{1 =} 3,  d = 4.  S₄ = ?

3. а_{1 =} 2,  d = -5.  S₃ = ?

Выяснить у учащихся, какие вопросы непонятны.

6.Самостоятельная работа (слайд16)

Вариант 1

Дано: (а_n) – арифметическая прогрессия.

1.      а₁ = -3,  а₆ = 21.        S₆ = ?

2.      а₁ = 6,   d = -3.          S₄ = ?

                        Вариант 2

Дано: (а_n) – арифметическая прогрессия.

1.      а₁ = 2, а₈ = -23.           S₈ = ?

2.      а₁ = -7,   d = 4.            S₅ = ?           

Ученики меняются тетрадями и проверяют решения друг у друга (слайд 17).

Подвести итог усвоения материала по результатам самостоятельной работы.

7. Подведение итогов урока

Возвращаясь к эпиграфу нашего урока, я хочу узнать, с какими открытиями вы познакомились и какой опыт вы получили? (слайд 18), (слайд 19).

• 1 слайд

  «О, сколько нам открытий
  чудных …
  Готовит просвещенья дух,
  И опыт – сын ошибок трудных,
  И гений – парадоксов друг»
  А.С. Пушкин
  

• 2 слайд

  Математическая
  перестрелка
  

• 3 слайд

• 4 слайд

  Папирус Ахмеса
  Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков.
  Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца XVIII–XVII веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи
  

• 5 слайд

  Задача из папируса Ахмеса
  Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом».
  

• 6 слайд

  Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность:
  а1 =1, а2 =2, а3 =3, а4 =4, …..,
  а сумма этих камушков образует треугольное число.
  Треугольное число - это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии.
  Обозначим его
  
  
  Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + n
  

• 7 слайд

  Сумма n-первых членов
  арифметической
  прогрессии
  

• 8 слайд

  Дано: аn – арифметическая прогрессия,
  а1 =1, а2 =2, а3 =3, а4 =4, …..
  Найти: S100 .
  
  Решение:
  S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + …….. +100
  S100 = 100 + 99 + 98 +97+………. + 1
  +
  2 S100 =101 +101+ 101 +101 +…..+ 101
  100 раз
  2 S100 = 101 * 100
  S100 = 5050
  

• 9 слайд

  Sn = а1 + а2 + а3 +…+аn
  Sn = а1 + а2 + а3 +…+аn
  +
  ____________________
  2Sn = ( а1 + аn) + ( а2 + аn-1) +…+ ( аn + а1)
  
  а2+ аn-1 =
  а1 + d
  + an – d
  = а1 + an,
  а3 + аn-2 =
  a2 + d + an-1–d
  = a2 + an-1
  = a1+ an
  ………. 
  2Sn = ( a1 + аn) · n
   
  

• 10 слайд

  Если аn – арифметическая прогрессия,
  а1 =1, а2 =2, а3 =3, а4 =4, …..
  
  то
   
  Если подставить аn = а1 + d(n-1)
   
  

• 11 слайд

  а) а1 = 2, а10 = 20. S10 =
  110
  б) а1 = -5, а7 = 1. S7 =
  -14
  в) а1 = -2, а6 = -17. S6 =
  -57
  г) а1 = -5, а11 = 5. S11 =
  0
  д) Дано: (аn) –арифметическая прогрессия;
  а1 =3, а60 = 57
  Найти: S60
  Ответ: 1800 .
  

• 12 слайд

• 13 слайд

  Вычислите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии (вn), если в1 = -17, d = 6
   
  Можно ли вычислить сумму сразу, используя формулу?
  Вопрос. А нельзя ли найти сумму, не вычисляя девятого члена прогрессии?
  

• 14 слайд

   
   
   
  Запишите и запомните!
  

• 15 слайд

  Вычислите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии (вn), если в1 = -17, d = 6
  2. а1 = 3, d = 4. S4 = ?
  3. а1 = 2, d = -5. S3 = ?
  

• 16 слайд

  Вариант 2
  Дано: (аn) – арифметическая прогрессия.
  а1 = 2, а8 = -23. S8 = ?
  а1 = -7, d = 4. S5 = ?
  Вариант 1
  Дано: (аn) – арифметическая прогрессия.
  а1 = -3, а6 = 21. S6 = ?
  а1 = 6, d = -3. S4 = ?
  

• 17 слайд

   
  Проверка
  Вариант 1
  Вариант 2
   
  

• 18 слайд

• 19 слайд

  Спасибо за внимание!