Урок обобщения и систематизации знаний в 11 классе по теме: «Производная и ее применение».

Цели  урока:

Образования:

• проверить умение дифференцировать функцию и  исследовать ее с помощью производной;
• установить, могут ли учащиеся раскрыть структуру и содержание понятия геометрического смысла производной;
• установить, могут ли учащиеся данный аппарат применять в различных ситуациях

Развития:

• формировать и развивать умение планировать свою работу в парах;
• формировать мыслительные навыки: сравнение, анализ, аналогия, прогнозирование.
• развивать графическую культуру учащихся.

Воспитания:

• прививать культуру общения и сотрудничества.
• формировать умения излагать свои мысли устно и письменно;

Оборудование: презентация, карточки, оценочные листы, листы для самопроверки.

 

Оценочный лист учащегося           Фамилия______________________________________________ Имя_________________________________________________   Этап урока Задания Количество баллов 1 Проверка домашнего задания   2 «Мозговой штурм»   3 Тест 1: «Заполни пропуски»   4 Тест 2: «Задачи – картинки»   5 Конкурс: «Верно – неверно»   6 Конкурс: «Выбери сам»   Итоговое        количество  баллов   Оценка     Критерии оценок: «5»  -  21-25 баллов «4»   - 18- 20 баллов «3»   - 12- 17 баллов «2»  -  менее 12  баллов

Ход урока:

1этап. Проверка домашнего задания (5 минут). Ученики отвечают по готовым записям. На интерактивной доске заранее   заготовлено домашнее задание. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются  тетрадями и проводят взаимопроверку  (слайд  с домашней работой маркером на интерактивной доске).Слайд №1 –тема урока; № 2 – задачи урока.

2 этап. Мозговой штурм (слайд, №3, №4, № 5).

№ 1. Найдите производные функций:

1.                 У (х)=3+7-2+

2.                 У (х)=

3.                 У (х)=+2х

4.                 У (х)=+1

5.                 У (х)=

№ 2. Из скольких непрерывных  «кусков» состоят графики функций:

1.  У (х) =                         2.  У (х) =  

№ 3. На рисунке изображен график функции у = f(х), заданный на отрезке   

Найдите:   а) точки максимума и минимума

                   б)   точки, в которых функция принимает  наибольшее и наименьшее значения на отрезке   .              

 

 

 

 

 

 

 

Ученикам, активно отвечающим, на вопросы устного счета учитель называет количество баллов, которые они могут поставить в оценочный лист.

 

 

 

3  этап. Тест №1 « Заполни пропуски».

(Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения или правила).  Ученики работают самостоятельно, по вариантам,  затем пары обмениваются  вариантами  и проводят взаимопроверку, сравнивая ответы  с ответами на экране. За каждый правильный ответ ставится один балл.

 

 

Вариант 1.  Фамилия, Имя____________________________

1.                 График четной функции симметричен относительно…

2.                 Функция возрастает на некотором промежутке, если f…      во всех внутренних точках промежутка.

3.                 Точка х₀ называется точкой максимума функции f(х), если для всех х х₀  из некоторой окрестности точки х₀  выполняется неравенство f…

4.                 Условие =0 является …         условием экстремума дифференцируемой  функции f(х).

5.  Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно…                                 к графику функции в данной точке.

 

Вариант 2. Фамилия, Имя____________________________

1.                 График  нечетной функции симметричен относительно…

2.                 Функция убывает на некотором промежутке, если f…      во всех внутренних точках промежутка.

3.                 Точка х₀ называется точкой минимума функции f(х), если для всех х х₀  из некоторой окрестности точки х₀  выполняется неравенство f…

4.                 Для того чтобы точка х₀ была точкой экстремума функции f(х), необходимо, чтобы эта точка была… для данной функции.

5.                 Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности х₀  и дифференцируема в этой точке. Если х₀ – точка экстремума функции f(х), то …

Тест №1 « Заполни пропуски» (слайд №6, №7)

Вариант 1

1.                 График четной функции симметричен относительно оси ординат.

2.                 Функция возрастает на некотором промежутке, если fво всех внутренних точках промежутка.

3.                 Точка х₀ называется точкой максимума функции f(х), если для всех х х₀  из некоторой окрестности точки х₀  выполняется неравенство f f(х₀)

4.                 Условие =0 является необходимым условием экстремума дифференцируемой  функции f(х).

5.                 Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.

 

 

Вариант 2

1.График  нечетной функции симметричен относительно начала координат.

  2. Функция убывает на некотором промежутке, если fво всех внутренних точках промежутка.

                 3.  Точка х₀ называется точкой минимума функции f(х), если для всех       х х₀  из некоторой окрестности точки х₀  выполняется неравенство f f(х₀)

                4. Для того чтобы точка х₀ была точкой экстремума функции f(х), необходимо, чтобы эта точка была критической для данной функции.

   5.  Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности х₀  и дифференцируема в этой точке. Если х₀ – точка экстремума функции f(х), то      f

 

 

4 этап. Тест № 2. «Задачи – картинки». (Слайд №8-№11)

Задачи и ответы к двум из них заготовлены на карточках и на  интерактивной доске. За каждый верный ответ учащиеся получают по одному баллу. Ответы пишутся на карточке, и сдаются учителю.  После проведения теста сами учащиеся  обсуждают ответы. Учитель ведет комментарий на интерактивной доске маркером.

 

 

 

 

 

 

 

Тест № 2. «Задачи – картинки». Фамилия, Имя _________________

 

	Вариант I		Вариант II

 

 

 

№ 1.  Какое значение принимает производная функции   у = f(х) в точке А?
№ 1.  Какое значение принимает производная функции   у = f(х) в точке А?

 

 

               

 

 

 

                                                            

			Ответ: 1. f’(x)=0;            2. f’(x)<0;            3. f’(x)>0.
	Ответ: 1. f’(x)=0;            2. f’(x)<0;            3. f’(x)>0.

 

 

 

 

 

 

 

№2. Назовите промежутки возрастания функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№2. Назовите промежутки убывания функции

	Ответ: 1. 0<x<2;            2. 0<x<4;            3. x<0; x>2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№3 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен ее график и касательная к этому графику в точке с абсциссой х₀=-2.

Вычислите значение производной в точке х₀=-2.

 

 

 

 

Ответ:___________________

№3 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен ее график и касательная к этому графику в точке с абсциссой х₀=1.

Вычислите значение производной в точке х₀=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:_________________

 

 

№4 Функция y=f(x) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х₀, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение.

Ответ:____________________
    

№4 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х₀, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение.

Ответ:____________________

 

 

 

 

 

5 этап. Конкурс «Верно – неверно»

Каждому учащемуся выдается карточка, в которой рядом с номером ставится слово «да» или «нет». Каждый правильный ответ оценивается в один балл. После проведения конкурса фронтально обсуждаются ответы. При этом пары обмениваются  вариантами  и проводят взаимопроверку, сравнивая ответы  с ответами на экране.  Учитель комментирует ответы на экране. Слайды №12-№ 17

 

Вариант № 1. Фамилия, Имя _________________

№ 1. Верно ли, что производная  суммы равна сумме производных?

№ 2. Верно ли, что если функция  возрастает на интервалах (а;b) и (b;с), то  она возрастает и на интервале (а; с)?

№ 3.Верно ли, что график убывающей функции пересекает прямую у = х в нескольких точках?

   № 4. Может ли функция, определенная на интервале (а;b) иметь и                                                          наибольшее, и наименьшее значение?

   № 5. Верно ли, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат?

Вариант № 2 . Фамилия, Имя _________________

№ 1. Верно ли, что производная  разности равна разности производных?

№ 2. Верно ли, что если непрерывная функция  возрастает на интервалах (а;b) и (b;с), то  она возрастает и на интервале (а; с)?

№ 3.Верно ли, что график возрастающей функции  всегда пересекает прямую у = х только в одной точке?

   № 4. Может ли функция, определенная на интервале (а;b) иметь наименьшее значение, но не иметь наибольшего значения?

  № 5. Верно ли, что наибольшую площадь прямоугольник заданного периметра имеет, когда этот прямоугольник квадрат?

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 1

№1. Да                                                                              

(f( х)+g(х))^/= f^/( х) + g^/(х)

 

№2. Нет

 

 

               

а                                      с

            

                             У=-

 

№3. Нет

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 2

№1. Да

(f( х)-g(х))^/= f^/( х) - g^/(х)

 

№2. Да    

 

		y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

№3. Нет

 

 

 

 

 

№4. Да                                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

№4. Да                                 

№ 5. Да

                                                        

                                                                0 <Х<

 

 

Пусть АD = х, тогда АВ =  ,

АС =f(х)=

f(х) > 0 на (0; ), g(х)=

g(х) = -рх+2х²

g^/ (х)=-р+4х

-р+4х=0

х=  

 

х= ­- точка минимума,

Ответ: ABCD - квадрат
№ 5. Да

                                                    

                                                                0 <Х<

 

 

Пусть АD = х, тогда АВ =  ,

f(х)=AD*AB

f(х)= x-x²

f^/ (х) = -2х

 -2x=0

 х=  

 

 

х= ­- точка максимума

Ответ: ABCD - квадрат

6 этап Конкурс «Выбери сам»

Учащиеся сами выбирают карточки по своему уровню и желанию: уровень «А»(1 балл за задание), «В» (2 балла за задание), «С» (3 балла за задание).

 

Вариант 1

«А»

№1. Найти производную функции:y=sin(2x+);

№2. Написать уравнение касательной к графику функции

y=3x²-x в точке x₀=1.

 

«В»

№1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=4x-x⁴ на промежутке [-1;2];

№2. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x)=4x-3x в его точке с  абсциссой х₀=3.

 

«С»

№1. Найти наибольшее значение функции

№ 2.Найдите абсциссы всех точек графика функции f(х)=, касательные в которых параллельны прямой  у = -35х или совпадают с ней.

 

Вариант 2

«А»

№1. Найти производную функции:y=cos(3x-);

№2. Написать уравнение касательной к графику функции

y=2x²+3 в точке x₀=-1.

 

«В»

№1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x²+2x на промежутке [-3;2];

№2. К графику функции y= в точке с абсциссой х=1 проведена касательная. Найти ординату точки касательной, абсцисса которой равна 31.

 

«С»

№1. Найти наименьшее значение функции

№ 2.Найдите абсциссы всех точек графика функции

f(х)=, касательные в которых параллельны прямой  у=26х или совпадают с ней.

Итог урока: что мы должны знать   (слайд №  18 )

·       Определение производной

·       Основные  правила дифференцирования

·       Формулы производных элементарных функций

·       Геометрический смысл производной

·       Уравнение касательной

·       Применение производной к исследованию функций.

 

Домашнее задание. Тест  по теме:  «Производная и ее применение».(слайд №19)

 

Ф. И., класс, школа_____________________________________________________

Вариант №____

Часть А.

Инструкция для учащихся. При выполнении заданий уровня А выберите номер правильного ответа.

А 1. Найдите-5

1)3             2)2               3)-1               4)1

А 2. Укажите производную функции g(x)=+
1)2x+    2)2х-       3)+    4) -

А 3. Уравнение касательной к графику функции y= в точке с абсциссой х_{0 =} -3 имеет вид:
1)y=7x+13    2)y=7x+15      3)y= -7x+15    4)y = -7x+13

А 4. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у=6х - в его точке с абсциссой (-1).
1)-4       2)-6       3)6         4)8

А 5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику y= в его точке с абсциссой 0.

1)2         2)1         3)0         4)-1 

Часть Б.

Инструкция для учащихся. Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом  может быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

В6. Найдите значение производной функции f(x)=2+ в точке х_{0 =}4.

 В7. Укажите  число целых решений неравенства f '(x)0,  если f(x)= f(x)= -

В8. Найдите минимум функции g(x)=3- 5

 

В9.Укажите число точек экстремума функции  g(x)=х³(х+1)⁴

 

Часть С.

Инструкция для учащихся. Запишите  обоснованное решение.

С10. При  каких значениях а прямая у=ах является касательной к параболе      F(х)=-2х+4?

C11. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 32 см³, а одна из боковых граней является квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. В ответе укажите этот периметр.

 

 

Ф.И., класс, школа____________________________________________________________

Вариант №__________'

Часть А.

Инструкция для учащихся. При выполнении заданий уровня А выберите номер правильного ответа

А1..Найдите  y'(16), если y(x )= 8 -3

1)3          2)2         3)-1        4)1

А2.Укажите производную функции  f(x)= -

1)2x+      2)2x -       3) +         4) -

А3. Уравнение касательной к графику функции y =  в точке с абсциссой         х₀ = -3 имеет вид

1)у=-5х+23    2)у=-5х+21       3)у=5х+23           4)у=5х+21

А 4. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции   у= -его точке с абсциссой (-2).

1)1      2) 2      3) 0        4) -1

А 5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику y=3х-2 в его точке с абсциссой 0.

1)2         2)1         3)0         4)3 

Часть Б.

Инструкция для учащихся. Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом  может быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

В6. Найдите значение производной функции f(x)=в точке х_{0 =}0.

 В7. Укажите  число целых решений неравенства f '(x)0,  если  f(x)=-

В8. Найдите максимум функции g(x)=-7х+3

 

В9.Укажите число точек экстремума функции  g(x)= (х-1)⁴

 

 

Часть С.

Инструкция для учащихся. Запишите  обоснованное решение.

С10. При  каких значениях а прямая у=-10х+а  является касательной к параболе      F(х)=-4х-2?

C11. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 4 см³, а одна из боковых граней является квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. В ответе укажите этот периметр.