Урок по алгебре на тему "Квадратичная функция" (9 класс)

Урок алгебры в 9 классе «Квадратичная функция и ее график»

Автор: Задубенко Снежана Михайловна, учитель математики

Тип урока: интегрированный урок

Учебно-методическое обеспечение:

Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 240 с.: ил.

Энциклопедия. Я познаю мир. Великие ученые. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2003.

Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2003.

Клименченко, Д. В. Задачи по математике для любознательных / Д. В. Клименченко. – М.: Просвещение, 2007.

Оборудование:

- раздаточный материал,

- мультимедийный проектор,

- высказывания математиков,

- таблицы графиков,

- цветной мел.

Ввиду важности данной темы ее изучение требует нестандартного подхода и методов. Оптимальным вариантом является сочетание эвристического и исследовательского методов обучения, позволяющее учащимся самостоятельного прогнозировать и получать ожидаемые результаты, добывать необходимые теоретические знания и применять их на практике.

Цели:

Образовательные:

- сформировать систему фундаментальных научных понятий;

- выработать соответствующие навыки графических построений и аналитических рассуждений при определении положения графика на координатной плоскости;

- выявить и провести коррекцию тех знаний, которые усвоены не всеми учащимися, либо усвоены не полностью, ликвидацию пробелов в области систематической функциональной подготовки, расширение и углубление знаний по данной теме;

- обеспечить четкое понимание влияния коэффициентов на расположение графиков квадратичной функции, сознательного применения аналитических рассуждений при чтении графиков;

- отработать навыки построения графиков путем параллельного переноса вдоль осей координат;

- рассмотреть применение графиков квадратичной функции при решении практических задач.

Развивающие:

- развивать умения критического анализа информации, способности ее систематизации, оценки, использования;

- развивать умения анализировать и синтезировать;

- развивать умения абстрагировать и конкретизировать;

- развивать умения сравнивать и обобщать;

- развивать умение нешаблонно, нестандартно мыслить, творчески подходить к решению задач;

- развивать умения вырабатывать умение выделять существенное; устанавливать общие признаки, выдвигать гипотезы;

- развивать качества, лежащие в основе развития познавательных способностей: быстроту реакции, все виды памяти, внимание, воображение;

- развивать мышление средствами математики;

- формировать самостоятельность в мышлении;

- формировать умение публично выступать.

Воспитательные:

- воспитывать мотивы учения, позитивное отношение к знаниям;

- воспитывать эстетичность взглядов;

- вырабатывать умение слушать, воспринимать, оценивать, сопоставлять;

- воспитывать навыки самоконтроля, критического отношения к своим знаниям, желание самосовершенствования;

- воспитывать культуру умственного труда;

- воспитывать уважение, аккуратность, ответственность.

План урока:

1. Вступительное слово учителя. Историческая справка (2 мин).

2. Фронтальный опрос (4 мин).

3. Устная работа (6 мин).

4. По графику найти уравнение параболы (5 мин).

5. Практическое применение, задача с желобом (7 мин).

6. Применение параболы (выступление учащихся) (10 мин).

7. Подведение итогов (2 мин).

8. Дополнительное задание (4 мин).

Эпиграф: «Математика есть прообраз красоты мира»

И. Кеплер

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель: Сегодня у нас итоговый урок по теме квадратичная функция ее свойства и график. Вы уже научились строить график квадратичной функции, исследовать ее свойства. Сегодня мы повторим основные моменты, а также рассмотрим несколько иную задачу. Если мы раньше строили график известной квадратичной функции, то сегодня -по графику найдем квадратичную функцию. И научимся применять знания об исследовании квадратичной функции при решении производственных задач.

Эпиграфом к нашему уроку мне хочется взять слова двух великих людей:

«Математика есть прообраз красоты мира» (Иоганн Кеплер)

«Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем уменьем, с которым эти понятия используются».

(Е. Вигнер)

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Слово «функция» в переводе с латинского означает совершение, выполнение. Впервые оно было введено Лейбницем в 1673 году и развито его учениками.

2.Фронтальный опрос.

Учитель: Итак, давайте вспомним:

1) Что же такое функция?

-Функцией называется такая зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

2) Сегодня мы говорим о квадратичной функции. Дайте определение квадратичной функции (записать на доске).

-Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где - независимая переменная, a - некоторые числа, причем

.

3) Что является графиком этой функции?

-Графиком квадратичной функции является парабола.

4) От чего зависит расположение графика квадратичной функции?

- Расположение графика квадратичной функции зависит от координат вершины параболы, направления ее ветвей (знак коэффициента при ).

5) Как найти координаты вершины параболы?

6) Что является осью симметрии параболы?

-Осью симметрии параболы служит прямая , параллельная оси .

7) Как получить график функции из графика функции

- График функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси Хнаm единиц вправо, если , или на единиц влево, если ,

и сдвига вдоль оси на единиц вверх, если , или на единиц вниз , если .

3. Устная работа.

1) Давайте вспомним разложение на множители. Разложите на множители многочлен:

А)

Б)

В)

Г)

2) Следующее задание: Укажите координаты вершины параболы, направление ее ветвей, уравнение оси симметрии, координаты точки пересечения с осью .

а)

– координаты вершины, ветви направлены вниз, – ось симметрии, –координаты точки пересечения с осью

б)

, ;

координаты вершины параболы, ветви направлены вверх, - ось симметрии параболы. – координаты точки пересечения с осью .

в) На доске изображены графики следующих функций.

Укажите график соответствующей функции.

1)

2)

3)

4)

г) Перечислите свойства функции

нули функции:

функция возрастает на , убывает на .

Учитель:

До сих пор мы с вами рассматривали такую задачу: по известной функции строили графики исследовали ее свойства. Теперь давайте решим следующую задачу:

Надо найти параболу , которая пересекает ось в точках

, а ось – в точке .

Решение.

(на доске схематически изображен график функции по данным задачи)

Квадратичная функция, задающая эту параболу, будет иметь вид .

(Мы недаром вспоминали разложение на множители квадратного трехчлена).

Точка пересечения с осью получается при .Значит, при наша функция должна равняться . Получаем:

Итак,

Ответ:

Дома выполните такое же задание:

Найдите квадратный трехчлен вида , если его график пересекает ось абсцисс в точках

Решение:

Точка пересечения с осью получается при

Ответ:

Учитель: Ребята, вы часто спрашиваете, зачем мы изучаем те или иные математические понятия, как они могут нам пригодиться в жизни. Вот один такой пример.

Как вы считаете, существует ли связь между строительством и квадратичной функцией? Оказывается, существует.

При строительстве очистных сооружений используется отводной желоб прямоугольного сечения, открытого сверху, для стока воды. Он строится из железобетона и внутри облицован плиткой.

При проектировании строительства этого сооружения необходимо учитывать принцип экономичности и выбрать минимальные размеры при максимальной пропускной способности.

Итак, необходимо построить открытый желоб прямоугольного сечения для стока воды. Длина периметра поперечного сечения желоба должна равняться 6м. Какой высоты должны быть стенки желоба, чтобы получился максимальный слив?

Надо учитывать, что при одном и том же периметре желоба высота боковых стенки ширина желоба могут быть разными, а это в свою очередь, влияет на пропускную способность желоба. Надо найти оптимальный вариант.

Решение. Площадь поперечного сечения желоба

где – высота боковых стенок желоба. Чтобы найти ответ на вопрос задачи, необходимо установить, при каких значениях полученная функция принимает наибольшее значение. Это квадратичная функция. А наибольшее значение –

это вершина параболы.

Найдем корни уравнения

или

Так как коэффициент , то функция принимает максимальное значение при

Следовательно, высота стенок должна быть равна м.

А дома вы решите следующую задачу:

Заготовленной плиткой нужно облицевать боковых стенок и дна желоба прямоугольного поперечного сечения длиной . Каковы должны быть размеры сечения , чтобы пропускная способность желоба была наибольшей? (каждому ученику раздать условие задачи).

Решение. – высота боковых стенок , – ширина.

, то функция принимает максимальное значение

Ответ:

А сейчас рассмотрим некоторые интересные свойства параболы.

-Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

Расстояние от любой точки параболы до точки равно расстоянию от той же точки параболы до прямой параллельной оси .

-1-й ученик. Если вращать параболу вокруг оси ее симметрии(например, параболу

вокруг оси ), то получается очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения. Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

-2-й ученик. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе.

-3-й ученик. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола.

-4-й ученик. В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держатся на стенках. Это чудо основано на свойстве параболоида: если вращать параболоид с подходящей скоростью вокруг его оси, расположенной вертикально, то равнодействующая центробежной силы и силы тяготения в любой точке параболоида направлена перпендикулярно к его поверхности.

-5-й ученик. В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.

- 6-й ученик. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

4. Итоги. Подведем итоги урока (выставить оценки учащимся). А домашнее задание вы уже получили.

5.Дополнительное задание:

Построить график функции:

1) ‌‌‌‌‌‌‌

2)

3

6.Задачи для домашнего задания:

А) Заготовленной плиткой нужно облицевать боковых стенок и дна желоба прямоугольного поперечного сечения длиной . Каковы должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность желоба была наибольшей?

Б) Найдите квадратный трехчлен вида , если его график пересекает ось абсцисс в точках .