Урок по теме "Логарифм и его свойства"

Тема урока: «Понятие логарифма и его свойства»

Цель урока: Формирование  активно-познавательной деятельности учащихся путем проведения индивидуально-самостоятельной работы и применения опережающих заданий.

Задачи: Образовательная: ввести понятие логарифма и его свойств. Выработать навыки самостоятельному применению знаний в нестандартных ситуациях.

Развивающая: развивать интеллектуальные способности, речь, память, любовь и интерес к математике, обеспечить развитие у учащихся самостоятельности мышления  в учебной деятельности.

Воспитательная: воспитывать  аккуратность, формировать  умения слушать друг друга; добросовестно относиться  к учебному труду, сопереживать успехам и неудачам товарищей.

Тип урока: Комбинированный

Форма проведения урока: Индивидуальная и фронтальная.

Метод: Объяснительно-иллюстративный.

Оборудование: Плакат на тему:  “Логарифмы и его свойства”, компьютер, карточки-задания для индивидуальной самостоятельной работы, учебник.

Эпиграф урока: (слайд на титульном листе)

“Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”

(М.В. Ломоносов)

Основная часть урока:

I.                 Организационный момент (психологический настрой)

1.     Вступительное слово учителя:

Здравствуйте уважаемые гости, здравствуйте ребята, улыбнитесь друг другу, мысленно пожелайте удачи, присаживайтесь.

Тема нашего урока: “Понятие логарифма и его свойства”. Сегодня мы дадим понятие логарифма числа, узнаем свойства логарифма, закрепим умения применять эти понятия при выполнении различных заданий.

Эпиграфом урока являются слова М.В. Ломоносова: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”. На доске: дата, тема, эпиграф урока.

2.     Формирование новых знаний и понятий.

Учитель: Вы знакомы с шестью действиями над числами А+В,   А-В,  А*В, А/В,         А², . (слайд № 4,5)

Эти действия образуют три пары взаимно обратных действий. А для того чтобы решить уравнение =в , где а>0 и а > 1(слайд№6)  придумали седьмое  действие, которое называется логарифмом.

=х, где b>0 , а>0, а > 1 , =в (слайд№7)

1). Дать  определение логарифма. (Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b).

Есть в математике тема одна,

Логарифмом называется она,

Логарифм появился, чтобы легче считать,

Логарифм – ПОКАЗАТЕЛЬ,

Это надо знать!

 (слайд №8)

Из определения логарифма числа следует, что   =в (где в>0, а>0 и  а > 1) это равенство принято называть основным логарифмическим тождеством. (слайд № 9)

(слайд №10) Число, тема урока

Например: (слайд № 11)

основание будет 4, то логарифм 16 есть   2, так как 4² = 16;    Вместо того, чтобы писать: „логарифм числа 16 по основанию 4" пишут сокращенно так:

помещая внизу знака log то число, которое служит основанием.

-"-     64     -"-      3       -"-     4³ = 64;

-"-     4       -"-      1,      -"-     4¹= 4;

-"-     1/4    -"-      -1,     -"-     4־¹ = ¼ 

Сделать запись: логарифм числа 16 по основанию 4 но это записать необычным способом: я вам предлагаю закрыть глаза и представить, что нос вырос, как у Буратино, обмакнуть его, как в сказке, в чернила и написать как можно красивее носом в воздухе этот новый термин, это можно сделать только мысленно или с движением головы; зафиксировать перед глазами записанное слово, запомнить его.(слайд №12)

Учитель: Также существуют десятичные и натуральные логарифмы. (слайд № 13,14)

lg x –это десятичный логарифм. Логарифм по основанию числа е называется натуральным логарифмом и обозначается ln x.

(слайд № 15) Если возьмем за основание 10, то логарифм 10  есть1 так как  10¹ = 10

-"-     100   -"-      2       -"-     10²=100

-"-     1000 -"-      3       -"-     10³ = 1000

-"-     0,1    -"-      -1      -"-     10־¹= 1/10

-"-     0,01  -"-      -2      -"-     10־²= 1/100

Ln13, ln29, ln0,05 это примеры натуральных логарифмов.

Теперь перейдем к рассмотрению  свойств логарифма, которые позволяют преобразовывать логарифмические выражения, решать логарифмические уравнения и неравенства.

3.     Подготовка к ЕНТ (повторение свойств степени) (слайд №16)

Для этого следует вспомнить свойства степеней. Учащиеся по очереди называют  свойства степеней. Учитель записывает их в столбик, во второй столбик записать свойства логарифма, рядом показать примеры (слайд№17, 18)

Свойства степеней	Свойства логарифма	Примеры
=1	=0	=0
=а	=1	=1
*= :=	= + = -	= +=5+6=11 = = -3 - 3 = -6
)ⁿ=	=p
=	=	=
	= Степени логарифма и показатель степени числа можно сократить	==2 =2*1=2
	формула  перехода к новому основанию логарифма

Показать свойства логарифма по таблице: (слайд № 19,20)

логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел;

логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя;

логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени;

логарифм числа в по основанию а равен 1 деленное на логарифм числа а по основанию в;

показатель степени логарифма и показатель степени основания логарифма можно сократить;

 Есть еще одна формула  перехода к новому основанию логарифма. (Если а, в, с – положительные числа, причем а и с отличны от 1, то имеет место равенство ).

4. Сообщения учащихся о применении логарифмов.  (слайд № 21, 22)

Учитель: Только ли в математике применяются свойства логарифма? Совершим  небольшой экскурс в историю математики. Ученики делают сообщение на тему “Изобретение логарифма”.

Учитель: Зачем возиться с логарифмами?

Учитель: Посмотрим, как физики и астрономы связаны с логарифмами.

5.Закрепление темы урока:

“ Видит око, да ум ещё дальше”. Выполним задания на применение свойств логарифмов: (слайд № 23)

Вычислить: у доски  №230(3,4)

+  -                                    = (2)

  -   +                     = (1)

у доски №239(1,3,5)

Х=; у =;  =2.

Ответ: 3;  4;  9\4

Самостоятельно выполнить задания (устно) (слайд № 24)

Эмоциональная пауза. (слайд №25-26)

Учитель: Закройте глаза и представьте перед собой картину. Тишина. Темное небо. Маленькая точка. Точка приближается и превращается в шар. Мы уже можем различить на точке синий цвет – это океаны. Желтый и коричневый – пески. Зеленый цвет – леса. И вот на небе появляется еще одна маленькая точка – это Вы. Вы летите над планетой Земля. Вам легко, спокойно. Перед Вами открываются бескрайние картины звездного неба. Через несколько секунд по моей просьбе Вы откроете глаза и окажетесь на Земле отдохнувшими и полными свежих сил и энергии.

“Потяни за ниточку”,  а вот такое задание встречается в заданиях ЕНТ вычислить: ; (слайд№27)  

6. Самостоятельная работа на закрепление темы: (слайды 28-30)

Я предлагаю вам выполнить самостоятельную работу. Перед вами тесты из сборников по ЕНТ, в которых встречается  тема нашего урока:

ТЕСТЫ

1. Найдите логарифм числа 8 по основанию 2.

1) 4; 2) 3; 3) 6; 4) 2.

2. Найдите логарифм числа     по основанию 3.

1) –3; 2) 3; 3) 9; 4) 6.

3. Найдите логарифм числа 81 по основанию 3.

1) 5; 2) 4; 3) 8; 4) 27.

4. Найдите число x: = – 1   

1) 4; 2) –3; 3) 1/3; 4) 3.

5. Найдите число x:  =0

1) 5; 2) 1; 3) 25; 4) 1/5.

6. Найдите число x : = 3

1) 3; 2) 9; 3) 81; 4) 1/3.

7. Вычислить:

1) 4;2) 12; 3) 2; 4) 8.

8. Вычислить.

1) 5; 2) – 5; 3) – 2; 4) 1.

9. Вычислить:

1) – 2; 2) 2; 3) – 7; 4) 7.

10. Вычислить:

1) 0; 2) 1; 3) –1; 4) 3.

11. Вычислить:

1) 0; 2) 1; 3) – 2; 4) 6.

12. Вычислить:

1) 2; 2) 1/2; 3) – 2;4) 0.

13. Вычислить: 2

1) 2; 2) 4;3) 8; 4) 6.

14. Вычислить: 10 

1) 100; 2) 10; 3) 1/10; 4) 1.

15. Вычислить: ++

1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) 4.

16. Вычислить: -2

1) – 4,91; 2) – 4,7; 3) – 3; 4) 2.

Проверь себя: (слайд № 31)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
2	1	2	3	2	1	3	3	1	2	1	2	2	2	4	4

7. Домашняя работа: §15 выучить определение логарифма, его свойства,     № 230(1,2), №239 (четные), из сборников тестов ЕНТ выбрать задания связанные с темой урока. (слайд № 32)

8. Итог урока. Рефлексия: Продолжите фразу: (слайд №33)

“Сегодня на уроке я узнал…”___________________________________________________________

“Сегодня на уроке я научился…”________________________________________________________

“Сегодня на уроке я повторил…”_______________________________________________________ “ Сегодня на уроке я закрепил…”________________________________________________________

 Сообщить учащимся оценки.  (слайд № 34)

Урок закончен. ( слайд №35)

Приложение

1). История возникновения логарифма.

Слово логарифм переводится с греческого как отношение чисел. Выбор изобретателем логарифмов Джоном Непером в 1954 году такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое- геометрической: log₂1=0, log₂2=1,

log₂4=2, log₂8=3,

1,2,4,8…-геометрическая прогрессия,

0,1,2,3…-арифметическая прогрессия.

Поистине безграничны приложения логарифмов в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали их для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с тех пор, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняя жизнь вычислителям».

Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане. Изобретенная английским математиком Гунтером, она дала толчок построению калькуляторов и компьютеров.

2) Логарифмическая шкала наиболее естественна для наших органов чувств, в частности, для слуха. Закон логарифмической зависимости ощущений от силы воздействия сформулирован Вебером и Фехнером (обычно называется законом Вебера).

 «Одинаковые относительные изменения раздражающей силы вызывают одинаковые приращения слухового ощущения, т.е. слуховое ощущение пропорционально логарифму раздражающей силы».

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть

Набор передовых логарифмов?

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина «алгеброй гармонию»,- встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы. Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Как неприятно был он поражен, когда я доказал ему, что, играя на клавишах современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»

И действительно, так называемые ступени темперированные хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы с основанием 2.

Оказывается, что номера клавишей рояля представляет собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков. Более того номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве- мантиссу этого логарифма.

3). Закон радиоактивного распада имеет вид m=mе. Формула Циолковского, связывающая скорость ракеты с ее массой v=v ln .

 На всем протяжении XVI века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений, звезд требовало колоссальных расчетов. Влияние шума на слух человека интересовал медиков. Шум и звезды объединяются потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины-звезды первой величины, второй, третьей и так далее. Последовательность видимых величин представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5.Легко понять, что величина звезды представляет собой логарифм ее физической яркости, короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном пользуется таблицей логарифмов с основанием 2,5. Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило вы­работать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», практиче­ски — его десятая доля, «децибел». Последователь­ные степени громкости — 1 бел, 2 бела составля­ют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее — энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменате­лем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, вы­раженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бы­вают шумы в 10 и более бел; удары молотка в сталь­ную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10—100 раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел). Не случайно, что и при оценке видимой яр­кости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. Итак,  как видим, логарифмы вторгаются даже в область психологии. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Даже в криминалистике используется логарифм, а именно десятичный, для вычисления бактерицидной активности сыворотки крови.