Значения тригонометрических функций.
Решение простейших тригонометрических уравнений
10 класс
Тип урока: изучение нового материала
Цель урока: вычисление значений
тригонометрических функций, изучение метода решения простейших
тригонометрических уравнений, повторение изученного ранее
Структура урока
1.
Организационный
момент
Проверка домашнего задания (№19(3,6);
20(2,4))
Постановка цели
2.
Актуализация
опорных знаний
Свойства тригонометрических функций
Формулы приведения
3.
Новый
материал
Значения тригонометрических функций
Решение простейших тригонометрических
уравнений
4.
Закрепление
Решение задач
1. Цель
урока: сегодня
мы будем вычислять значения тригонометрических функций и решать простейшие
тригонометрические уравнения
2.
АОЗ
Два ученика у доски. Задание:
1 ученик:
|
2 ученик:
|
sin (t + 0) = - sin t
|
sin (π – t) = sin t
|
cos (π + t) = - cos t
|
cos (π – t) = - cos t
|
sin (π/2 – t) = cos t
|
sin (3π/2 – t) = cos t
|
sin (π/2 + t) = cos t
|
sin (3π/2 + t) = - cos t
|
cos (π/2 – t) = sin t
|
cos (π/2 + t) = - sin t
|
cos (3π/2 + t) = sin t
|
cos
(3π/2-t) = sin
t
|
sin
(-t)
= sin t
|
cos (-t) = cos t
|
|
Устный опрос:
В: Какие из тригонометрических функции являются
четными, какие - нечетными?
О:
Косинус - четная, синус, тангенс, котангенс - нечетные
В: Когда в формулах приведения функция меняется
на кофункцию?
О: когда π/2 или 3π/2 добавляются к
аргументу
В: Когда функция не меняется на кофункцию в
формулах приведения?
О: Когда добавляется ± π
В: В каких четвертях тангенс принимает
положительные значения?
О: В I и III
В: В каких четвертях котангенс
принимает положительные значения?
О: В I и III
В: Какое число является
наименьшим положительным периодом синуса и косинуса?
О: 2π
В: Прочитайте основное
тригонометрическое тождество.
О: sin2 х + cos2 х = 1
В: Чему равно произведение тангенса на
котангенс?
О: Единице
3.
Новый
материал:
Пусть sin t = -3/5 и t лежит в III четверти sin2t + cos2t = 1, cos2t = 1 - sin2t
t.k. косинус в III четверти имеет знак ( - ), то
cos t = -√1 – sin t
cos t = -√l -9/25 =
-√16/25 = -4/5
tg t = sin t / cos
t =3/4
ctg t = 1/tg t = 4/3
Катет, противолежащий
углу в 30° или π/6 равен половине гипотенузы, а т. к. у
нас единичная окружность и катет равен синусу угла, то sin 30° = 1/2.
cos 30° = √l - sin 30°
cos 30° = √l - 1/4
cos 30° = √3/2
sin 60° = cos (90° - 30°) = cos 30° = √3/2
cos 60° = sin (90° - 30°) = sin 30° = 1/2
Если угол
прямоугольного треугольника равен 45°, то катеты равны:
sin2 45°
+ cos2 45° = 1, 2sin2 45°
= 1, sin 45° = √2/2
cos 45° = √2/2
Полезно записать значения этих углов в
таблицу:
t
|
sin t
|
Cos t
|
tg t
|
ctg t
|
0
|
0
|
1
|
0
|
-
|
30°, π/6
|
1/2
|
√3/2
|
√3/3
|
√3
|
45°, π/4
|
√2/2
|
√2/2
|
1
|
1
|
60°, π/3
|
√3/2
|
1/2
|
√3
|
√3/3
|
90°, π/2
|
1
|
0
|
-
|
0
|
Решение простейших тригонометрических уравнений
Возьмем уравнение sin t = 0. Вращающаяся точка Pt имеет ординату 0 в точках 0, π, 2π
Т. к. период синуса равен 2π, то вращающаяся
точка будет иметь ординату 0 также и в точках -π, -2π, 3π, 4π, т. е. в точках πк,
k ċ Z
Таким образом,
решение уравнения sin t = 0
можно записать в виде t = πк, k ċ
Z
Запишем еще решения простейших уравнений:
sin t =
1, t = π/2 + 2πк,
k ċ Z
sin t = -1, t = 3π/2 + 2πk, k ċ
Z
cos t = 0, t = π/2 + πk, k ċ Z
cos t = 1, t = 2πk, k ċ Z
cos t = -1, t = π + 2πk, k ċ Z
4. Решение задач
1) sin 135° = sin (90° + 45°) = cos 45° = √2/2
2) cos 135° = cos (90° + 45°) =
- sin 45° = √2/2
3) cos 120° = cos (90° + 30°) =
- sin 30° = -1/2
4) tg 150° =
tg (90° + 60°) = - tg 60° = - √3
9) tg 3/4π = tg (π/2 + π/4) = - ctg π/4 = -1
10) ctg 4/3π = ctg (π + π/3) = ctg π/3 = - √3
16) sin2 402° + sin2 48° + tg2 225° = sin2 (360° + 42°) + sin2 (90° - 42°) + tg2 (180° + 45°) =
= sin2 42° + cos2 42° + tg2 45° = 1 + 1 = 2
№20
1) sint = 12/13 ; π/2 < t < π
cos t = - √l - sin2 = - √25/169 = - 5/13
tg t = sin t / cos t = -12/5
ctg t = 1 / tg t = - 5/12
3) tg t = 5/2 ; π <
t < 3π/2
cos t = - √l / (1 + tg2t) = - √l / (1 + 25/4) = - 2/√29
sin t = tg t cos t = 5/2 (-2π/√29) = - 5/√29
ctg t =
1 / tg t =2/5
Самостоятельная
работа
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.