Урок по теме "Тригонометрические уравнения"

Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Урок по теме «Тригонометрические уравнения».

Бускина Елена Григорьевна, учитель математики.

Цели урока:

1. Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля усвоения знаний и умений.
2. Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
3. Обучающие - реализация принципа проблемности, выявление общих принципов при решении одного уравнения несколькими способами.
4. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.

Методы обучения: частично – поисковый. Проверка уровня знаний, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, рассмотрение возможности решения одного и того же уравнения различными способами; самопроверка,
взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Оборудование: экран, компьютер, видеопроектор, доска, мел. У учащихся на партах по два подписанных листочка и бланк для записи ответов.

План урока:

1. Оргмомент.
2. Проверочная работа по контролю знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.
3. Систематизация теоретического материала. 
4. Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x - cos x = 1 (задание творческого характера).
5. Итог урока.

1. Организационный момент. (Презентация. Слайды 1 – 2.)
            А. Энштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Вот мы и займемся сейчас уравнениями.  Сегодня на уроке приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений.

            Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Проверочная работа. (Презентация. Слайды 3, 4, 5.)

Т е м а: «Решение простейших тригонометрических уравнений».
Ц е л ь: контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

Работа проводится в двух вариантах. Вопросы проецируются на экран.

Работа окончена, учащиеся меняются работами, отмечают на листочках неправильные шаги и количество правильных ответов, заносят в лист учета знаний.

На экране – слайд 6. (Ответы)

3. Систематизация теоретического материала.

1. Найти ошибку. (Презентация. Слайд 7)

Цель: повторение понятий арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.

2. Устные задания на определение вида простейших тригонометрических уравнений. Презентация. Слайды 8 и 9.

Цель: обобщение знаний по видам простейших тригонометрических уравнений.
На слайдах вы видите схемы решений тригонометрических уравнений. Как вы думаете, какая из схем представленной группы является лишней? Что объединяет остальные схемы?

О т в е т ы :

Слайд 8. 5-я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида sin x = a; 1, 2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида cos x = a.

Слайд 9. 1-я схема лишняя, так как она изображает решение уравнения вида cos x = a;
5-я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида ctg x = a;
2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида tg x = a.

Слайды 10, 11. Установить соответствие: Уравнение ↔ Корни.

Классификация тригонометрических уравнений.

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

Слайды 12 – 17 (Презентация). Составление таблицы по методам решения тригонометрических уравнений.
Ответьте на вопрос теста:

1. Тест: определите метод решения каждого тригонометрического уравнения.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Впишите ваш ответ в таблицу:

Учитель: Желаю вам успеха, ребята! Помните, что, решая маленькие задачи, вы готовите себя к решению больших и трудных задач.

Метод решения	№ уравнения
Уравнения сводимые к алгебраическим
Разложение на множители
Введение новой переменной(однородные уравнения)
Уравнения решаемые с помощью формул сложения
Введение вспомогательного угла

Учащиеся работы сдают (можно предложить гостям проверить выполнение теста) – оценивается индивидуальная работа учащихся.

6. Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x - cos x = 1 (задание творческого характера).

Учитель: 

Вы завершили индивидуальную работу, а теперь вспомним: какие способы мы применяли для решения уравнения sin x - cos x = 1?

1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Введение вспомогательного угла.

Я просила ………………..приготовить презентацию этих методов.

Два ученика показывают готовую презентацию.

А теперь я попрошу ответственных в группах выбрать задание – карточку, на каждой карточке указано одно и тоже уравнение sin х - cosx = 1, но предлагается определённый метод решения, отличный от тех, что мы применяли.

1 карточка.

Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя формулы приведения, т.е. способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

2 карточка.

Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя  метод приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций( применить основное тригонометрическое тождество).

3 карточка.

Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя  возведение обеих частей уравнения в квадрат.

4 карточка.

Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя  выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).

5 карточка.

1. Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя  графический метод решения.

Затем  4 решения одновременно записываются на доске, а графический способ готовиться на компьютере.

Остальным учащимся в это время предлагается решить уравнение из таблицы.

После оформления решения уравнений на доске,  каждый из отвечающих проводит защиту метода своего решения. Остальные записывают в тетрадь только название способа решения.

4. Домашнее задание.

1)      Решить уравнение sin х - cosx = 1 новыми способами.

2)      №            «Алгебра и начала анализа  10-11»

5. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Учитель:

Итак, подведем итоги урока.

Какими методами можно решать тригонометрические уравнения?

Ответы учащихся:

1. Разложение на множители;
2. Метод замены переменной:
• сведение к квадратному уравнению;
• введение вспомогательного аргумента (метод Ибн Юниса)
• выражение всех функций через tg x  или универсальная тригонометрическая подстановка.
3. Сведение к однородному уравнению;
4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
• обращение к условию равенства тригонометрических функций;
• использование свойства ограниченности функции.

Рефлексия. Продолжите фразу:

• Самым сложным на уроке было…определение метода решения уравнения, все было легко, вникнуть в другой способ решения.
• Самым интересным при работе для меня было…искать ошибки, устанавливать соответствие, решать уравнение новым способом, слушать другие решения.
• Самым неожиданным для меня было…то, что одно уравнение может иметь столько способов решения.

Приложения.

1 карточка.

Решение уравнения sin x - cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

Запишем уравнение в виде , используя формулу приведения . Применяя формулу разности двух синусов, получим

;

и так далее, аналогично предыдущему способу.

Ответ:

2 карточка.

Решение уравнения sin x - cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество , откуда следует
подставим полученное выражение в данное уравнение.
sin x - cos x = 1 ,

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.

Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Остается проверить третье решение Подставим.
Левая часть:

Правая часть: 1.

Получили: , следовательно, – постороннее решение.

Ответ:

3 карточка.

Возведение обеих частей уравнения sin x - cos x = 1 в квадрат.

Рассмотрим уравнение sin x - cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

;

;

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим ; sin 2x = 0 ; .

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

(эти решения можно нанести на единичную окружность). Проверка показывает, что первое и четвертое решения - посторонние.

Ответ:

4 карточка.

Использование универсальной подстановки в решении уравнения sin x - cos x = 1. Выражение всех функций через tg x по формулам:

Запишем данное уравнение с учетом приведенных формул в виде

Получим

ОДЗ данного уравнения – все множество R. При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т. е. или .

Следует проверить, не являются ли решениями данного уравнения. Подставим в левую и правую часть уравнения эти решения.

Левая часть: .

Правая часть: 1.

Получили 1=1. Значит, - решение данного уравнения.

Ответ:

5 карточка.

Рассмотрим графическое решение уравнения sin x - cos x = 1.

Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.

Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.

y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1 вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Ответ: