Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме "Тригонометрические уравнения"

Урок по теме "Тригонометрические уравнения"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Урок по теме «Тригонометрические уравнения».

Бускина Елена Григорьевна, учитель математики.

Цели урока:

  1. Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля усвоения знаний и умений.

  2. Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

  3. Обучающие - реализация принципа проблемности, выявление общих принципов при решении одного уравнения несколькими способами.

  4. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.

Методы обучения: частично – поисковый. Проверка уровня знаний, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, рассмотрение возможности решения одного и того же уравнения различными способами; самопроверка,
взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Оборудование: экран, компьютер, видеопроектор, доска, мел. У учащихся на партах по два подписанных листочка и бланк для записи ответов.


План урока:

  1. Оргмомент.

  2. Проверочная работа по контролю знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

  3. Систематизация теоретического материала.

  4. Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x - cos x = 1 (задание творческого характера).

  5. Итог урока.

1. Организационный момент. (Презентация. Слайды 1 – 2.)
А. Энштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Вот мы и займемся сейчас уравнениями. Сегодня на уроке приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений.

Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Проверочная работа. (Презентация. Слайды 3, 4, 5.)

Т е м а: «Решение простейших тригонометрических уравнений».
Ц е л ь: контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

Работа проводится в двух вариантах. Вопросы проецируются на экран.

hello_html_41b23c39.png

Работа окончена, учащиеся меняются работами, отмечают на листочках неправильные шаги и количество правильных ответов, заносят в лист учета знаний.

На экране – слайд 6. (Ответы)

hello_html_5cda1462.png


3. Систематизация теоретического материала.

  1. Найти ошибку. (Презентация. Слайд 7)

Цель: повторение понятий арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.

hello_html_7db5661d.png

  1. Устные задания на определение вида простейших тригонометрических уравнений. Презентация. Слайды 8 и 9.

Цель: обобщение знаний по видам простейших тригонометрических уравнений.
На слайдах вы видите схемы решений тригонометрических уравнений. Как вы думаете, какая из схем представленной группы является лишней? Что объединяет остальные схемы?

О т в е т ы :

Слайд 8. 5-я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида sin x = a; 1, 2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида cos x = a.

Слайд 9. 1-я схема лишняя, так как она изображает решение уравнения вида cos x = a;
5-я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида ctg x = a;
2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида tg x = a.

Слайды 10, 11. Установить соответствие: Уравнение ↔ Корни.

hello_html_m1de2d32f.png


Классификация тригонометрических уравнений.

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

Слайды 12 – 17 (Презентация). Составление таблицы по методам решения тригонометрических уравнений.
Ответьте на вопрос теста:

1Тест: определите метод решения каждого тригонометрического уравнения.

1. hello_html_45fd3cd7.gif

2. hello_html_64110514.gif


3. hello_html_b5f0334.gif


4. hello_html_4816bff2.gif

5. hello_html_1ad78493.gif

6. hello_html_71e78165.gif

7. hello_html_m7da2d53c.gif


8. hello_html_1c6cbc50.gif


9. hello_html_m22e38352.gif

10. hello_html_45fd3cd7.gif

Впишите ваш ответ в таблицу:

Учитель: Желаю вам успеха, ребята! Помните, что, решая маленькие задачи, вы готовите себя к решению больших и трудных задач.

Метод решения

уравнения

Уравнения сводимые к алгебраическим

 

Разложение на множители

 

Введение новой переменной(однородные уравнения)

 

Уравнения решаемые с помощью формул сложения

 

Введение вспомогательного угла

 

Учащиеся работы сдают (можно предложить гостям проверить выполнение теста) – оценивается индивидуальная работа учащихся.


  1. Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x - cos x = 1 (задание творческого характера).

Учитель: 

Вы завершили индивидуальную работу, а теперь вспомним: какие способы мы применяли для решения уравнения sin x - cos x = 1?

  1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.

  2. Разложение левой части уравнения на множители.

  3. Введение вспомогательного угла.

Я просила ………………..приготовить презентацию этих методов.

Два ученика показывают готовую презентацию.

А теперь я попрошу ответственных в группах выбрать задание – карточку, на каждой карточке указано одно и тоже уравнение sin х - cosx = 1, но предлагается определённый метод решения, отличный от тех, что мы применяли.


1 карточка.

Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя формулы приведения, т.е. способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.


2 карточка.

Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя метод приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций( применить основное тригонометрическое тождество).




3 карточка.

Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя возведение обеих частей уравнения в квадрат.



4 карточка.

Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).



5 карточка.

  1. Решить уравнение sin х - cosx = 1, используя графический метод решения.


Затем 4 решения одновременно записываются на доске, а графический способ готовиться на компьютере.

Остальным учащимся в это время предлагается решить уравнение из таблицы.

После оформления решения уравнений на доске, каждый из отвечающих проводит защиту метода своего решения. Остальные записывают в тетрадь только название способа решения.


4. Домашнее задание.

  1. Решить уравнение sin х - cosx = 1 новыми способами.

  2. «Алгебра и начала анализа 10-11»


  1. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Учитель:

Итак, подведем итоги урока.

Какими методами можно решать тригонометрические уравнения?

Ответы учащихся:

  1. Разложение на множители;

  2. Метод замены переменной:

    • сведение к квадратному уравнению;

    • введение вспомогательного аргумента (метод Ибн Юниса)

    • выражение всех функций через tg x или универсальная тригонометрическая подстановка.

  3. Сведение к однородному уравнению;

  4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:

    • обращение к условию равенства тригонометрических функций;

    • использование свойства ограниченности функции.

Рефлексия. Продолжите фразу:

  • Самым сложным на уроке было…определение метода решения уравнения, все было легко, вникнуть в другой способ решения.

  • Самым интересным при работе для меня было…искать ошибки, устанавливать соответствие, решать уравнение новым способом, слушать другие решения.

  • Самым неожиданным для меня было…то, что одно уравнение может иметь столько способов решения.













Приложения.

1 карточка.


Решение уравнения sin x - cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

Запишем уравнение в виде hello_html_5c0ed40d.png, используя формулу приведения hello_html_7a70f20.png. Применяя формулу разности двух синусов, получим

hello_html_m77b38fa9.pnghello_html_m77a16350.pnghello_html_56a7d407.png;

и так далее, аналогично предыдущему способу.hello_html_m493f5f95.png

Ответ: hello_html_m1f7de9f3.png




2 карточка.


Решение уравнения sin x - cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество hello_html_41def4bb.png, откуда следует
hello_html_1a91233d.pngподставим полученное выражение в данное уравнение.
sin x - cos x = 1 hello_html_m1047fb6.pnghello_html_6650f2b1.png,

hello_html_78137964.png

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

hello_html_375c7ed2.png

hello_html_73ccc56a.png

hello_html_1e3043e6.pnghello_html_1ede1c7.pnghello_html_m1047fb6.pnghello_html_m44b7850f.pnghello_html_m44feb6d6.pnghello_html_m25e98aab.png

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.

Полученные решения эквивалентны объединению трех решений: hello_html_m14da59dc.png

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Остается проверить третье решение hello_html_5843e897.pngПодставим.
Левая часть: hello_html_m667ee013.png

Правая часть: 1.

Получили: hello_html_6b25fb0.png, следовательно, hello_html_5843e897.png– постороннее решение.

Ответ:

hello_html_m1f7de9f3.png


3 карточка.


Возведение обеих частей уравнения sin x - cos x = 1 в квадрат.

Рассмотрим уравнение sin x - cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

hello_html_3e93ee0b.png;

hello_html_m42433a55.png;

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим hello_html_m493f5f95.pnghello_html_m4cdce1dd.png; sin 2x = 0 ; hello_html_m777053c1.png.

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

hello_html_m481e82ec.png

(эти решения можно нанести на единичную окружность). Проверка показывает, что первое и четвертое решения - посторонние.

Ответ:

hello_html_m1f7de9f3.png


4 карточка.


Использование универсальной подстановки в решении уравнения sin x - cos x = 1. Выражение всех функций через tg x по формулам:

hello_html_7532e4cf.png

Запишем данное уравнение с учетом приведенных формул в виде

hello_html_7d631d5d.png

hello_html_6c6d0155.pnghello_html_m2c9acbac.png

Получим

hello_html_f400ffa.png

hello_html_32ab2c93.png

ОДЗ данного уравнения – все множество R. При переходе к hello_html_9330766.pngиз рассмотрения выпали значения, при которых hello_html_9330766.pngне имеет смысла, т. е. hello_html_m7ae71851.pngили hello_html_m59c6e1c.png.

Следует проверить, не являются ли hello_html_m59c6e1c.pngрешениями данного уравнения. Подставим в левую и правую часть уравнения эти решения.

Левая часть: hello_html_m6bfffd60.png.

Правая часть: 1.

Получили 1=1. Значит, hello_html_m59c6e1c.png- решение данного уравнения.

Ответ:

hello_html_m1f7de9f3.png



5 карточка.


Рассмотрим графическое решение уравнения sin x - cos x = 1.

Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.

Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.

y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1 вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Ответ:

hello_html_m1f7de9f3.png


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров169
Номер материала ДВ-007489
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх