Урок по теме "Упрощение тригонометрических выражений"

Тема урока: Практикум «Решение тригонометрических уравнений»

Цели урока: отработка навыков решения тригонометрических уравнений; создание электронного образовательного продукта по теме «Преобразование тригонометрических выражений» для подготовки обучающихся 11-х классов к ЕГЭ по математике ( задание уровня В7); развитие умения обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов; воспитание умения рассуждать, аргументировать, делать выводы.

Структура урока

1. Организационный момент. Постановка целей урока.

2. Математическая разминка

Обучающимся предлагается разгадать шараду:

Что кружится, что ложится и на землю и на крыши.

И о чем поэт зимою по ночам поэмы пишет.

Это первое словечко, а второе просто – на-

Ну, а третье – догадайтесь, что бежит по проводам.

Запиши, что получилось и прочти наоборот

Не запутайтесь, читая, слово задом наперед.

Снег – на – ток: котангенс.

Сообщается тема урока.

3. Создание электронного тренажера по теме «Преобразование тригонометрических выражений»

Для решения тригонометрических выражений необходимо уметь преобразовывать тригонометрические выражения. Преобразование тригонометрических выражений включается в темы, которые проверяются у выпускников на ЕГЭ по математике. Для успешной сдачи ЕГЭ по математике поможем выпускникам 11 –х классов повторить данную тему, создав электронный образовательный продукт.

Для выполнения задания уровня В7 обучающаяся 10 А класса подготовила презентацию, позволяющую повторить тригонометрические формулы:

1. Основные тригонометрические формулы

sin² x + cos² x = 1; tg x = ; ctg x = ;

tg x∙ ctg x = 1

1 1

1 + tg² x = ---------; 1 + ctg² x = -----------.

cos² x sin² x

2. Формулы суммы и разности аргументов

sin ( x + y) = sin x cos y + cos x sin y ;

sin ( x – y) = sin x cos y – cos x sin y;

cos ( x + y) = cos x cos y – sin x sin y;

cos ( x – y) = cos x cos y + sin x sin y.

2. Формулы двойного угла 2 tg x

sin 2x = 2 sinx cos x ; cos 2x = cos²x – sin² x; tg 2x = -------------.

1 – tg² x

4) Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

sin x + sin y = 2 sincos ;

sin x – sin y = 2 sin cos ;

cos x + cos y = 2 cos cos ;

cos x – cos y = - 2 sin sin .

Обучающимся 10 А класса предлагается рассмотреть несколько основных типов заданий уровня В7 по тригонометрии. После получения ответов дается задание подготовить подсказки, позволяющие выполнить решение примера, в случае возникших затруднений.

1. Вычислите: Ответ: -36

1). Воспользуйся формулой синуса двойного угла.

2). Сократи дробь

3). Приведи к синусу или косинусу одного аргумента

4). Запиши ответ.

Решение: =

2. Найдите значение выражения: .

Ответ: - 0,8

1). Приведи аргумент к виду (Не забудь свойства четности

функций)

2) Воспользуйся формулами приведения

3)Приведи подобные слагаемые и сократи дробь

4) Запиши ответ в виде десятичной дроби

Решение: = =

3. Вычислите: , если tg α = 3 Ответ: - 0,3

1). Используя условие tg α = 3, вырази sin α через cos α.

2). Подставив полученное выражение в заданное упрости выражение и

сократи дробь.

3). Запиши ответ в виде десятичной дроби

Решение: tg α = 3 , т.е sin α = cos α

= .

Итак, ребята мы передаем диск с записанным продуктом обучающимся 11 А класса.

4. Практикум по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

1). Найдите 16cos2β, если 2cos2β +9sin2β – 4 = 0.

Решение: 2cos2β +9sin2β – 4 = 0,

2∙( 1 – 2sin²β) + 9 sin β – 4 =0,

4 sin²β-9sin β+ 2=0,

sin β = t,

4t² -9t +2 =0, D = 49; t₁ = 2, t₂ =

sin β=2 ; sin β = .

нет корней

Тогда 16cos2β = 16∙(1-2sin² β)= 16∙( 1 - 2∙ = 14.

Ответ: 14

2). ( 2sinx - )∙ log₃ (tgx) = 0.

Решение: ( 2sinx - )∙ log₃ (tgx) = 0, ОДЗ: tgx > 0

2sinx - = 0; log₃ (tgx) = 0,

sinx = , tgx = 1,

х = .

Заметим, что x=не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: ; .

3). x² +y² + cos²x = 2xy.

Решение: x² +y² + cos²x = 2xy,

x² +y² - 2xy + cos²x = 0,

( x – y)² + cos²x =0,

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, если они одновременно равны нулю, т.е:

Ответ: (

4). Найдите корень ( или сумму корней, если их несколько) уравнения

cos( cos x) = 1, принадлежащих промежутку ( 1;2]

Решение: cos( cos x) = 1,

cos x = 2πn, n

Полученное уравнение имеет корни при n = 0/

cos = 0,

=

k=0, x =

k=1, x =

k=2, x > 2

Ответ: 1,5

5. Постановка домашнего задания

Д.А. Мальцев «Промежуточная аттестация в форме ЕГЭ» - тематические тесты по решению тригонометрических уравнений ( по вариантам)

6. Подведение итогов урока.

Закончить урок хочется словами В. Белинского:

«Кто не идет вперед, тот идет назад: стоячего положения нет».