Уроки по теме: "Степенная функция"

Степенная функция.

Обзор

1)

а) Если , то график

б)

2)

а) Если  ‑ нечетное,

б) Если  ‑ четное,

3)

а) Если  ‑ четное

б) Если  ‑ нечетное

Определение:

Функция вида , где , , называется степенной функцией.

Свойства:

1) Область определения степенной функции определяется индивидуально для каждой конкретной степенной функции.
Например,

Замечание 1:

Функция . Какая область определения этой функции?

, .

Эти функции совпадают для . Не существует степени с отрицательным основанием.

 ‑ не имеет смысла

.

Замечание 2:

Где существуют все степенные функции?

При !

Все степенные функции определены при .

Поэтому  это не область определения, а то множество, на котором сравниваем все свойства!

1) Область определения ‑ .

2) Множество значений функции (при ).

Если , то , значит, степенная функция не может принимать отрицательные значения и значения равное нулю. Следовательно, степенная функция при  не может принимать не положительные значения.

        

Докажем, что она может принимать положительные значения. Мы хотим доказать, что множество  ‑ все положительные числа.

Это означает, что любому положительному числу найдется единственный .

Уравнение  при любом  имеет решение относительно .

 обе части заведомо больше нуля, следовательно, можно возвести в любую степень.

, .

Значит при  множество значений  все положительные числа.

3) Монотонность.

тогда .

а) .

Пусть, следовательно, . Докажем, что .

Если , то , то есть функция возрастает, тогда , следовательно, . Следовательно, при  показательная функция возрастает в первой четверти.

     

б) .

Пусть, если , тогда , тогда , следовательно, . Т.е. при  показательная функция убывает.

4) Выпуклость (связана с показателем).

Основание больше 1 – выпуклость вверх.

Основание меньше 1 – выпуклость вниз.

Что означают слова выпуклость вверх и вниз?

Сравним с прямой .

Сравним  и . ().

Рассмотрим разность

.

а) Если , следовательно, ,  ‑ возрастающая функция, т.е. если , то , т.е. . Значит скобка . Это значит, что при   выше чем  ( выше чем ).

Если , поскольку это возрастающая функция, то , т.е. . Значит, при  график функции  ниже графика функции .

б) Если , то , следовательно,  ‑ убывающая функция.

5) Графики всех степенных функций, проходящих через точку .

Это узловая точка, которая помогает решать множество задач.