Урок-лекция по математике на тему : "Арифметическая прогрессия".

МБОУ СОШ № 41 г.Владикавказ.                       УРОК – ЛЕКЦИЯ                        ПО АЛГЕБРЕ (9 класс)       НА ТЕМУ «  АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ». ( 2 урока ).                                        РАЗРАБОТАЛА                                        УЧИТЕЛЬНИЦА                                       МАТЕМАТИКИ                                                     Будаева Людмила Куцуковна.

УРОК – ЛЕКЦИЯ НА ТЕМУ

 « АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ». ( 2УРОКА ). 

ЦЕЛЬ УРОКА:

    - Расширить знания учащихся о последовательностях, ввести понятие арифметической прогрессии, формулу п-го члена и формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии и их вывод.

   - Способствовать воспитанию у учащихся логического мышления, внимания и аккуратности при применении формул

п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Вызвать интерес учащихся к математике.

   - Способствовать формированию у учащихся:

 умения анализировать математическое предложение;

умения выделять среди последовательностей арифметическую прогрессию;

умения записывать, выполнять вывод формул п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии и применять их при решении задач;

совершенствование решение задач по данной теме; повышать качество образовательного процесса.

ПЛАН:

1.Обосновать необходимость изучения темы.

2.Предоставить возможность учащимся самим дать определение арифметической прогрессии и свойство ее членов.

3. Провести вместе с учащимися вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии . Решение ключевых задач.

4.Провести вместе с учащимися вывод формул суммы п первых членов арифметической прогрессии. Решение ключевых задач.

5. Легенда о немецком математике Гауссе.

6. Историческая справка о Колмогорове А.Н.

7. Постановка проблемных вопросов, близко примыкающих к теме, предназначенных для самостоятельной работы( с указанием литературы).

8. Домашнее задание.

ХОД УРОКА.

1.Организационная часть.

2. Сформировать цели урока .

Научиться выделять среди всех  последовательностей 

арифметическую  прогрессию и ее свойства.

3.Актуализация знаний учащихся.

УСТНО.

          1. Назовите первые три члена последовательности (  а_п), если а_п = п²+ 5

          2. Выделите общее свойство членов  последовательностей:

               2;3;4;5;…

              14;12;10;8;…

               -3;-4;-5;….

               0,3;0,6;0,9;…

Вопросы к устной работе:

       1.Что такое последовательность?

       2. Какие бывают последовательности? Приведите примеры.

      3.Какие существуют способы задания последовательностей?

          Приведите примеры.

4.Новая тема.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА.

        Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший  5дм, а каждый следующий на 2дм длиннее. Запишите длину семи стержней фермы (см. рисунок  ).

 

1)Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

5;7;9;11;13;15;17.

2) Запишите последовательность с помощью таблицы.

а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7
5	7	9	11	13	15	17

3) Найдите разность между предыдущим и последующими членами последовательности.

     а₂ -  а₁ =7-5=2                                      а₃  -   а₂ =9-7=2

      а₄   -  а ₃=11-9=2                                   а₅    -     а₄=13-11=2

     а₆     -   а₅ =15-13=2                              а₇    -  а₆ =17-15=2

d-разность ;

d= а₂ - а₁  = а_{3 -} - а₂    =     а₄   - а_{3  = …}

	d= ап+1 – ап

 

                                                                           - разность

4)Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

а₁    =   5,      а_п+1  = а_п  +2

УЧИТЕЛЬ:

Такая последовательность называется арифметической прогрессией. Термин «прогрессия» (от лат.  рrogressio — движение вперед) был введен римским философом Боэцием в VI в. и понимался просто как последователь­ность чисел, построенная по такому за­кону, который позволяет неограничен­но продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее вре­мя термин «прогрессия» в этом широком смысле не применяется; вместо этого употребляют слово последовательность. Но два простых и важных для практиче­ских нужд вида последовательностей со­хранили свои старые названия, правда, их уже дополнили прилагательными — арифметическая и геометрическая.

       Арифметическая прогрессия появилась с возникновением натуральных чисел, так как каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.

5) Попробуйте дать определение арифметической прогрессии.

                      Учащиеся пытаются сформулировать     

                         определение, учитель им  помогает.

 6) Работа с учебником.

                     Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся

                 читает определение вслух.

7) Найдите среднее арифметическое чисел 5 и 9.

                (5+9):2=7.

8) Справедлива ли такая закономерность для любых трех членов арифметической прогрессии?

 (а₁+ а₃ ) :2= а₂         (5+9):2=7, а₂=7,

9) Докажите, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность   

d= а_п+1  - а_п =  а_п+2  - а_п+1=…

а_п+1  - а_п =  а_п+2  - а_п+1

2 а_п+1  = а_п+2  + а_п

а_п+1  =( а_п+2  + а_п):2

	ап+1 =( ап+2 + ап):2

 

                                                                 -  свойство членов арифметической                                               прогрессии.

ВЫВОД:

         Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее      арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии- арифметическая.

ПРИМЕР.1.     Дано:( а_п)-арифметическая прогрессия, 

                          а₁ =4,  d= 7.

                          Найти: первые пять членов, т.е. а_2, а_3, а_4, а₅

                          Решение:

а₂ = а₁+ d=4+7=11

 а₃= а₂+ d=11+7=18

 а₄ = а₃+ d=18+7=25

а₅ = а₄+ d=25+7=32

Ответ: 4;11;18;25;32.

2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ  п-го  ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

(  а_п  )- арифметическая прогрессия,

d-разность прогрессии,

 а₁  - первый член .

а₂  = а₁ + d 

а₃= а₂+ d = а₁+ d + d = а₁ +2 d

а₄ = а₃+ d  = а₁ +2 d + d = а₁ +3d

………………………………

ап              ап  =  а1  + (п-1) d

 - формула п-го члена арифметической прогрессии.

ПРИМЕР.2.    Дано: (а_п   )-арифметическая прогрессия,d=3, а₁=20_,

                          Найти: а₅ ,а₁₂  .

                          Решение: а_п  =  а₁  + (п-1) d

а₅= а₁  + (5-1) d

а₅=20+4*3=32

а₁₂= а₁  + (12-1) d

а₁₂=20+11*3=53

Ответ: а₅=32, а₁₂=53.

ПРИМЕР.3.     Дано: 15; 13; 11;… -арифметическая прогрессия.

                          Найти: а₁₁

                          Решение:                                                   

а₁=15, а₂=13, d= а₂ – а₁

        d=13-15= - 2,

  а_п  =  а₁  + (п-1) d

а₁₁ =  а₁  + (11-1) d

а₁₁ =  15  + 10*(-2)=-5.

Ответ: а₁₁=-5.

3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

1)Постановка проблемы.

              2;5;8;11;14.-арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

2)Изобразим эти числа с помощью ступенчатой фигуры (используя клетки тетради).

В          Д                                                                                                  О    

А                                                                                                    С        Е

3) Дополним эту фигуру АВДС до прямоугольника АВОЕ.

4) Получим две равные фигуры: АВДС=ОЕСД.

    Следовательно, равны их площади: S(АВДС)=S(ОЕСД).

5) Найдем площадь фигуры АВОД как площадь прямоугольника.

S(ABGE)= AE*AB

S(ABGE)=(AC +CE)*AB
2 S(ABDC)=( первый член + п-й член) * число членов

S(ABDC)=n

S_n-  сумма  n – первых членов арифметической прогрессии.

-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

  а_п  =  а₁  + (п-1) d

-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

ПРИМЕР.4.       Дано: (а_п)-арифметическая прогрессия,

        а₁=-40, а₅= -32.

                             Найти:S₅.

                             Решение:

=

S₅=-180

Ответ: S₅=-180.

ПРИМЕР.5.          Дано:8;4;0;…-арифметическая прогрессия.

                               Найти:S₂₀

                               Решение:

20

d= a₂ – a₁=4-8=-4

20 =- 600 .

Ответ: -600.

4 .СООБЩЕНИЕ    УЧАЩЕГОСЯ.

     Крупнейший немецкий математик Карл Гаусс (1777— 1855) в

раннем возрасте проявил необыкновенные способ­ности к

изучению арифметики.

    Семи лет Карл начал учиться в народной школе. В этом типе

учебных заведений два первых года обуче­ния почти

полностью отводились на чтение и письмо.

    И мальчик Гаусс из среды своих одноклассников ничем не

выделялся.

    Положение изменилось с переходом Карла в третий класс. В этом классе основное внимание уделяли ариф­метике.

     Учитель, по фамилии Бюттнер, на одном из уроков предложил третьеклассникам найти сумму всех натураль­ных чисел от единицы до ста.

    Нервно заскрипели на аспидных досках грифели уче­ников. Их всех, за исключением только одного, пугала на­висшая угроза почувствовать на собственном теле силь­ные удары хлыста учителя. Ведь многие из них очень хо­рошо знали по личному опыту, что учитель больно хлещет не только за ошибки, но и за отставание от товарищей.

    Этим одним был Карл Гаусс. Ему удалось почти мгно­венно решить предложенную учителем задачу.

По установленному в классе распорядку решивший задачу первым клал свою доску на середину большого стола. Туда и положил свое решение маленький Гаусс, едва только учитель договорил последние слова форму­лировки задачи.

    Насмешливый взгляд Бюттнера, не расстававшегося с хлыстом, был весьма выразительным. Наставник Гаус­са даже и не допускал мысли, что на столь поспешно по­ложенной доске может оказаться правильное решение задачи.

    Но Карл оставался совершенно спокойным. Он был уверен в правильности своего ответа.

    Долго сидел маленький Гаусс в ожидании окончания работы своими товарищами. Очень много прошло време­ни, прежде чем следующая доска легла на его доску. Но в конце концов доски учеников последовательно легли друг на друга.

    Учитель привычным движением рук перевернул эту кучу досок так, чтобы начать просмотр с тех работ, кото­рые были сданы первыми.

     Работа Карла удивила учителя. Решение мальчика было не только правильным, но к тому же весьма про­стым и оригинальным.

    В решении Карла ярко проявилась его математиче­ская зоркость. Ему оказалось достаточным взглянуть на запись задания 1+2 + 3+ ...  +98 + 99 + 100, чтобы заметить, что сум­ма каждой  пары слагае­мых, которые одинаково отстоят от концов запи­санного выражения, рав­на 101 

 ( 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, ...,50 + 51).

А таких пар, рассуждал дальше мальчик, в два раза мень­ше, чем слагаемых, т. е. 50. Выходит, что вся иско­мая сумма

 равна 101-50 = 5050.

     Способности   Гаусса  в области счета всегда удив­ляли  людей, которым до­водилось с ним встречать­ся. В   развитии   этих спо­собностей очень большую роль сыграли целеустрем­ленность, трудолюбие и тщательность выполнения каж­дой работы, в том числе и чисто ученических упражнений. При выполнении вычислений  Карл  Гаусс всегда  со­блюдал образцовый порядок.   Каждую цифру он  писал четко; каждое число занимало надлежащее ему место.

      Почти неизвестно ошибок в работах Гаусса. Он умел своевременно выявлять и исправлять свои ошибки. С этой целью им широко использовались различные спо­собы проверки.

К. Гаусс.

5 .СООБЩЕНИЕ    УЧАЩЕГОСЯ.

 С  арифметической прогрессией связано на­чало творческого пути другого выдающегося матема­тика — Андрея Николаевича Колмогорова. В своей статье «Как я стал математиком»  он пишет: «Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести  лет закономерность

1 = 1²,

1 + 3 = 2²,

1 + 3 + 5 = З²,

1+3 + 5 + 7 = 4² и так далее.

В нашем доме под Ярославлем мои тетушки уст­роили маленькую школу, в которой занимались с де­сятком детей разного возраста по новейшим рецептам педагогики того времени. В школе издавался журнал «Весенние ласточки». В нем мое открытие было опубликовано. Там же я опубликовал приду­манные мною арифметические задачи».

Как была обнаружена эта закономерность, автор приведенных строк не указывает (как и в описанной выше легенде о Гауссе также не ясно, как он заметил нужное свойство). Вполне возможно, что это были только чисто арифметические наблюдения. Может быть, он использовал такой же прием, как и Гаусс, просуммировав прогрессию а_п = 2п - 1. Но могло быть и так.

Положим в тождестве

2к - 1 = к² - (к - 1)²

последовательно  к = 1, 2, 3, ..., п; имеем цепочку равенств

1 = I²,

3 = 2² - I²,

5 = 3² - 2²

7 = 4² - З²,

………….

2к - 1 = п² - (п - I)².

Сложив эти равенства, получим нужную формулу:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2п - 1) = п².

6. УЧИТЕЛЬ:

 Арифметическая   и геометрическая прогрессии — два  важных инструмен­та, которые используются в различных   построениях и при решении чисто прак­тических задач. Поэтому вполне зако­номерно, что в знаменитой книге Л.Ф.

 Магницкого «Арифметика», напи­санной для учеников Математико-навигационной школы (первой специализи­рованной школы в России, которая указом Петра от 14 января 1701 года  была открыта в Москве), пятая часть имеющихся в ней задач отведена уче­нию о прогрессиях.

Свойства прогрессий и задачи, с ними связанные, являются эффектив­ным пропедевтическим средством для изучения основ алгебры, дифференци­ального и интегрального исчислений. И, тем самым, не случайно, что экзамена­ционные комиссии различных ВУЗов не­пременно включали задачи на прогрес­сии в

 свои варианты вступительных эк­заменов (например, в вариантах

 МГУ им. М.В. Ломоносова в период 2000-2005 г. встретилось 34 такие задачи).

 Задачи, в которых используются определения, свойства, формулы п члена и суммы п первых членов арифметической  прогрессии , встречаются  в КИМах ГИА и ЕГЭ.

Знание определения и свойств арифметической прогрессии позволяет решать сложные уравнения. А при решении еще, каких задач используются свойства арифметической прогрессии, Вы можете узнать в журнале «Математика в школе»№2 за 1991 год, в газете « Математика» № 6 за 2006 год. 

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ

   (х+5)+(х+8)+(х+11)+…+(х+32)=200.

х+5,х+8,х+11 … х+32- арифметическая прогрессия,

а₁= х+5, а₂= х+8

d= а₂ – а₁

d=  (х+8)-(х+5)=3

 а_п  =  а₁  + (п-1) d

а_п= х+32, то             х+32=(х+5)+ (п-1)*3

        х+32- х-5= 3п- 3

        3п=30

        п=10

Итог урока.

  Учитель  повторяет весь теоретический материал    урока и обращает внимание учащихся на основные понятия и формулы  арифметической прогрессии.

 7.Рефлексия.Вопрос:Где можно применить новые знания? Оцените себя и свое настроение на уроке и покажите это с помощью убывающей или возрастающей прогрессии.

8. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

      Изучить материал учебника ( п.25,п.26) и конспекта лекции;

      рассмотреть другой способ вывода формулы п-первых членов арифметической прогрессии в учебнике ; выучить определение, свойства и формулы.

9. ЛИТЕРАТУРА:

1.     Алгебра . 9 класс:  автор : Никольский С.М. и др.-М.: Просвещение,2010.

2.     Глейзер Г.И. История математики в школе, 7-8 классы. Пособие для учителей. – М  .: Просвещение, 1983.

3.     Учебно – методическая газета « Математика»

          ( приложение к газете     « Первое сентября»).

4.     Журнал « Математика в школе »

5.     Савин А.П.. Станцо В.В. и др. Я познаю мир: Детская энциклопедия: математика. – М.: АСТ, 1997.

6.      Коваленко В.Г.Дидактические игры на уроках математики: Кн. для  учителя.- М.: Просвещение, 1991.

7.     Интернет. Википедия.